同济大学高等数学§1.3.1 极限存在准则

若 n N ，都有 xn xn1（或 xn xn1 ），则称
xn 单调增加（或单调减少）。
单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。
定理2（单调有界原理）： 单调增加（减少）有上（下）界的数列必定有极限。
x1 x2 x3 xn xn1 a M
x
定理的几何解释：若数列{xn } 单调增加且有上界，即
n
n
※夹逼定理在肯定{yn} 收敛的同时也给出了其极
限当值n，在N实1 时际，应有用x时n ，a若nlim， y从n 而不a易求得xn，，则将yn 适当当n缩小N、2 时放，大有，z得n 两a个具，有从相而同zn极限a的辅，助数列
{x取n}N，{mzna}x，(N即1, 可N求2 )出，nl则im当ynn 。N 时，有
a xn yn zn a yn a ，
故 lim yn a 。
n
例 1．（1） a1,a2,, ak 为 k 个给定的正数， 求 lim n a1n a2n ak n 。
n
解：设a max{a1, a2 ,, ak } ，则
a n an n a1n a2n ak n n kan a n k ，
∵ lim a a ， lim a n k a ，
n
n
∴ lim n a1n a2n ak n a 。
n
lim n k 1
n
（2）求 lim 1 352n1. n 2 4 6 2n
解：令 xn
1 3 5 () 2n 1
246
2n
，
yn
2 4 6 () 2n ，
357
2n 1
定理3(Cauchy 收敛准则)：
数列an 收敛的充分必要条件是
0 N N使得m, n N有 am - an 。
Cauchy 收敛准则常写成另一种等价形式：
数列an 收敛的充分必要条件是
0
N
N使得n
N,
p
N
有
an p - an
。
例 4：
设 an
1
1 22
1 32
1 n2
, 证明数列an收敛。
Cauchy 收敛准则不仅可判断数列的敛散性，也可以 用来判断数列的发散性。
数列an 发散的充分必要条件是
0 0 N Nm, n N有 am - an
。
0
例 5：
设
an
1
1 2
1 3
1 n
, 证明数列an发散。
定理 1’（夹逼定理）
设在 N(x) 内 f ( x) g( x)h( x) 且 lim f (x) lim h(x) A ，
1 x
1
。
n(n 1) 2!
(
1 n
)2
n(n1)(n2) ( 1 )3 n(n1)[n(n1)]( 1 )n
3!
n
n!
n
11 1 (1 1 ) 1 (1 1 )(1 2) 1 (1 1 )(1 2)(1 n1)
2! n 3! n n
n! n n
n
类似可计算
xn1
(1
1) n 1
n1
11
1 (1 2!
1) n 1
则 xn 0 ，n (1 xn )n ，
∵n(1 Fra bibliotekxn )n1
nxn
n(n 1) 2!
xn2
xnnn(n2，1)
xn2
∴0 xn
2， n 1
从而1 n n 1 2 (n 1) ，但 lim (1
n 1
n
故由夹逼定理得lim n n 1 。
n
2 ) 1 ， n 1
单调有界原理
设xn 为一数列，
xn xn1 且 xn M (n 1, 2,) ，则在数轴上点xn 随着
n 的增大 不断向右方移动，因为有上界，所以这些点必
无限地趋向于某一定点 a ，即{xn } 收敛于数a 。
例 3：
证明数列
xn
(1
1 n
)n
的极限存在。
（1）先证xn 是单调增加数列。
xn
(1
1 n
)
n
1
n
1 n
A f ( x) g( x)h( x) A ， 故 lim g( x) A 。
xx
例
5．求极限:
xl i m0 x
1 x
。
解：∵
1 x
1
1 x
1 x
，（
x0
）
∴当
x
0
时，1
x
x
1 x
1
；
当
x0
时，1
x
x
1 x
1
，
∵ lim 1 lim (1 x)1 ，
x0 x0
∴由夹逼定理可知 xl i m0 x
1 (1 3!
1 )(1 n 1
2) n 1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n )
(n1)! n1 n1
n1
比可较以x证n 明与 xn1 l的im展(开1式1可)知n ，exn xn1 ， n n
故xn 是单(e调 2增.7加18数2列81。828549045)
（2）证明数列xn 有上界。
xn
11
1 (1 2!
1 n
)
1 (1 3!
1 n
)(1
2 n
)
1 (1 n!
1 n
)(1
2 n
)(1
n 1) n
11 1 1 1 2 1 1 1 2! 3! n! 12 23 (n1)n
2(1 1)(1 1)( 1 1 ) 3 1 3
2 23
n1 n n
故xn 是单调增加且有上界的数列，必定有极限。
则 lim g( x) A 。
xx
xx
xx
证明：∵ lim f ( x) lim h( x) A ，
x x
x x
∴0 ， 1 0, 2 0 ，
当0 x x 1 时，有 f (x)A ，从而 A f (x) ， 当0 xx 2 时，有 h(x) A ，从而h(x) A ，
取 min(1, 2 ) ，则当0 x x 时，有
1.3 极限存在准则
1.3.1 极限存在准则
定理 1（夹逼定理）设有三个数列{xn} ，{yn} ，{zn} ，
若 xn yn zn (n N ) ，且 lim xn lim zn a ，
n n
则 lim yn a 。
n
证明：∵ lim xn lim zn a ，∴ 0 ， N1, N2 N ，
则有 0 xn yn, 0 xn2 xn yn
即0
xn2
1 2n 1
，从而 ，
0
xn
∵ lim 0 0 ， lim 1 0 ，
n
n 2n1
1。 2n 1
∴ lim
n
xn
0
，
即 lim 1 352n1 0 。 n 2 4 6 2n
例 2．证明： lim n n 1。 可直接引用！
n
证明：当n 1 时，n n 1 ，故可设xn n n 1 ，