课时作业6：2.5.2 第三课时 直线与椭圆的位置关系

第三课时 直线与椭圆的位置关系
一、选择题
1.已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2
＝1，则直线与椭圆的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切
答案 A
解析 把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2
＝1， 得x 2
4＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0， ∴直线与椭圆相离.
2.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2
2，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( ) A.22 B.±22
C.12
D.±12 答案 B
解析 根据椭圆的离心率为22，得c a ＝2
2.
由x 0＝b ，得y 20＝b 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－b 2a 2＝b 2c 2a 2，
所以y 0＝±bc a ，∴k ＝y 0x 0
＝±c a ＝±2
2.
3.椭圆x 24＋y 2
＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|为( ) A.32
B. 3
C.72
D.4
答案 C
解析 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|＝b 2a ＝1
2，
∴|PF 2|＝4－12＝7
2.
4.直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 2
2＝1所截得的弦的中点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，73 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13
2，－172 答案 C
解析 联立⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋4x －2＝0，
设直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－4
3，
故AB 的中点横坐标x 0＝x 1＋x 22＝－2
3. 纵坐标y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝1
3.
5.已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心
率为2
2，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223 B.2
C. 2
D.42
3 答案 D
解析 由题意得椭圆方程为x 22＋y 2
＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－x ＋1，化简得3x 2－4x ＝0，
得x ＝0或x ＝4
3，代入直线方程得
⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1
或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43
，y ＝－13，
不妨设A (0，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4
3，－13，
所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43－02＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13－12＝
42
3. 二、填空题
6.已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，当直线与椭圆有公共点时，实数m 的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－52
，52
解析 由⎩⎨⎧4x 2＋y 2＝1，
y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，
当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m 2－4×5(m 2－1)≥0， 即－4m 2＋5≥0，解得－52≤m ≤5
2.
7.椭圆x 24＋y 2
3＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是________. 答案 3
2
解析 椭圆x 24＋y 2
3＝1的右焦点为(1，0)， 所以右焦点到直线y ＝3x 的距离为
|3|
1＋（3）2＝32. 8.经过椭圆x 22＋y 2
＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点.设O 为坐标原点，则OA
→·OB →＝________.
答案 －1
3
解析 由x 22＋y 2
＝1，得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1，焦点为(±1，0). 不妨设直线l 过右焦点，倾斜角为45°，直线l 的方程为y ＝x －1. 代入x 22＋y 2
＝1得x 2＋2(x －1)2－2＝0， 即3x 2－4x ＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1·x 2＝0，x 1＋x 2＝43，y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1－43＝－1
3， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2
＝0－13＝－13. 三、解答题
9.求过点(3，0)且斜率为45的直线被椭圆x 225＋y 2
16＝1所截得的线段的长度.
解 过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝4
5(x －3)， 设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程代入椭圆方程得x 225＋（x －3）2
25＝1，
即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8.
∴|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2
＝1＋1625·9＋32＝41
5.
10.已知椭圆x 24＋y 2
3＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，经过点F 1的一条直线与椭圆交于A ，B 两点. (1)求△ABF 2的周长；
(2)若直线AB 的倾斜角为π
4，求弦长|AB |. 解 (1)椭圆x 24＋y 2
3＝1，a ＝2，b ＝3，c ＝1， 由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4， |BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝4， 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，
∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝8. (2)由(1)可得F 1(－1，0)，
∵AB 的倾斜角为π
4，则AB 的斜率为1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 故直线AB 的方程为y ＝x ＋1，
由⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 23
＝1，整理得7y 2－6y －9＝0，
由根与系数的关系得y 1＋y 2＝67，y 1y 2＝－97， 则由弦长公式 |AB |＝
1＋1
k 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2
＝1＋1·
⎝ ⎛⎭⎪⎫672－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－97＝247
.
11.椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m
n 的值是( )
A.22
B.233
C.922
D.2327 答案 A
解析 联立方程组可得⎩⎨⎧y ＝1－x ，mx 2＋ny 2＝1，
即(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0，
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，
则x 0＝x 1＋x 22＝n m ＋n ，y 0＝1－x 0＝1－n m ＋n ＝m m ＋n ，所以k OP ＝y 0x 0＝m n ＝2
2.
12.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 2
36＝1 B.x 236＋y 2
27＝1 C.x 227＋y 2
18＝1 D.x 218＋y 2
9＝1
答案 D
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1. ②
①－②得
（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2
＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）
b 2
. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2（x 1＋x 2）
a 2（y 1＋y 2）
. ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a 2. 而k AB ＝0－（－1）3－1＝1
2，
∴b 2a 2＝1
2，∴a 2＝2b 2，
∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9，∴b ＝c ＝3，a ＝32，
∴E 的方程为x 218＋y 2
9＝1.
13.已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，过点A (－a ，0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32. (1)求椭圆的方程；
(2)斜率大于零的直线过D (－1，0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程；
(3)对于D (－1，0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由. 解 (1)由b a ＝33，12ab ＝12×3
2×a 2＋b 2，
得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2
＝1.
(2)设EF ：x ＝my －1(m >0)代入x 23＋y 2
＝1， 得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2). 由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2
，
由y 1＋y 2＝－y 2＝2m
m 2＋3，
y 1y 2＝－2y 22＝
－2m 2＋3得⎝ ⎛
⎭⎪⎫－2m m 2＋32＝1m 2＋3
，
∴m ＝1或m ＝－1(舍去)，
直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0. (3)设P (x 1′，y 1′)，Q (x 2′，y 2′). 将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2
＝1， 得(3k 2＋1)x 2＋12kx ＋9＝0，(*) x 1′，x 2′是此方程的两个相异实根. 设PQ 的中点为M ，则x M ＝x 1′＋x 2′2＝－6k
3k 2＋1
， y M ＝kx M ＋2＝
2
3k 2＋1
， 由|DP |＝|DQ |，得DM ⊥PQ ，
∴k DM ＝y M x M ＋1
＝2
3k 2＋1－6k 3k 2＋1
＋1＝－
1
k ， ∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝1
3.
但k ＝1，k ＝1
3均使方程(*)没有两相异实根. 故这样的k 不存在.
14.已知O 为坐标原点，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，
e ＝6
3，椭圆C 上的点到焦点F 2的最短距离为6－2. (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 1的直线交椭圆C 于点P ，Q ，且TF 1→·PQ →
＝0，求|TF 1|
|PQ |的最小值. 解 (1)c a ＝6
3，
而a －c ＝6－2，
又a 2＝b 2＋c 2，得a ＝6，b ＝2， 故椭圆C 的标准方程为x 26＋y 2
2＝1. (2)由(1)知F 1(－2，0)，∵TF 1→·PQ →＝0，
故TF 1
→⊥PQ →，设T (－3，m )， ∴|TF 1|＝m 2＋1，直线TF 1的斜率为－m ， 当m ＝0时，直线PQ 的方程为x ＝－2， 也符合方程x ＝my －2.
当m ≠0时，直线PQ 的斜率为1m ， 直线PQ 的方程为x ＝my －2； 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立， 得⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝my －2，x 26＋y 22
＝1，消去x ，
得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， Δ>0，y 1＋y 2＝
4m
m 2＋3，y 1y 2
＝－2m 2＋3
， |PQ |＝m 2＋1（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2
＋1
⎝ ⎛⎭
⎪⎫4m m 2＋32
＋8m 2＋3＝24（m 2＋1）m 2＋3，
|TF 1|
|PQ |＝m 2＋124（m 2＋1）m 2＋3＝m 2＋324m 2＋1
＝124⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋2m 2＋1≥2224＝33，
当且仅当m 2＋1＝
2
m 2
＋1
，
即m ＝±1时，等号成立. ∴|TF 1||PQ |的最小值为33.。