拜城县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

拜城县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）
A．B．C．D．
2．函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0
3．已知f（x）为R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），x1，x2∈[0，3]，x1≠x2时，有
成立，下列结论中错误的是（）
A．f（3）=0
B．直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴
C．函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点
D．函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数
4．从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有（）
A．120个B．480个C．720个D．840个
5．若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）
A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）
6．若命题“p∧q”为假，且“¬q”为假，则（）
A．“p∨q”为假B．p假
C．p真D．不能判断q的真假
7．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
8．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系．则在H0成立的情况下，估算概率P（K2≥6.635）≈0.01表示的意义是（）
A．变量X与变量Y有关系的概率为1%
B．变量X与变量Y没有关系的概率为99%
C．变量X与变量Y有关系的概率为99%
D．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%
9．若复数z=2﹣i （i为虚数单位），则=（）
A．4+2i B．20+10i C．4﹣2i D．
10．已知e为自然对数的底数，若对任意的
1
[,1]
x
e
∈，总存在唯一的[1,1]
y∈-，使得2
ln1y
x x a y e
-++=
成立，则实数a的取值范围是（）
A.
1
[,]e
e
B.
2
(,]e
e
C.
2
(,)
e
+∞ D.
21
(,)
e
e e
+
【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．
11．已知a∈R，复数z=（a﹣2i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内对应的点为M，则“a=0”是“点M在第四象限”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=﹣1， =S n ．则数列{a n }的通项公式a n = ．
14．已知向量,满足42
=，2||=，4)3()(=-⋅+，则与的夹角为 .
【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题. 15．已知
是等差数列，
为其公差,
是其前项和，若只有
是
中的最小项,则可得出的结论中
所有正确的序号是___________ ①
②
③
④
⑤
16．已知函数为定义在区间[﹣2a ，3a ﹣1]上的奇函数，则a+b= ．
17．若直线：012=--ay x 与直线2l ：02=+y x 垂直，则=a .
18．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为 ．
三、解答题
19．设F 是抛物线G ：x 2=4y 的焦点．
（1）过点P （0，﹣4）作抛物线G 的切线，求切线方程；
（2）设A ，B 为抛物线上异于原点的两点，且满足FA ⊥FB ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C ，D ，求四
边形ABCD 面积的最小值．
20．在等比数列{a n}中，a3=﹣12，前3项和S3=﹣9，求公比q．
21．已知集合A={x|x2+2x＜0}，B={x|y=}
（1）求（∁R A）∩B；
（2）若集合C={x|a＜x＜2a+1}且C⊆A，求a的取值范围．
22．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。

规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。

学生甲三轮考试通
过的概率分别为2
3，3
4
，4
5
，且各轮考核通过与否相互独立。

（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；
（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。

记学生甲得到教育基金的金额为X，求X的分布列和数学期望。

23．已知集合A={x|2≤x≤6}，集合B={x|x≥3}．
（1）求C R（A∩B）；
（2）若C={x|x≤a}，且A C，求实数a的取值范围．
24．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN∥平面PMB；
（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求点A到平面PMB的距离．
拜城县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=；
∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF1BF2为矩形，
∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②
由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C
的实轴长为2m，焦距为2n，
2
则2m=|AF
|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，
2
∴双曲线C2的离心率e===．
故选D．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．2．【答案】A
【解析】解：f（0）=d＞0，排除D，
当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，
函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，
则f′（x）=0有两个不同的正实根，
则x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），
∴b＜0，c＞0，
方法2：f′（x）=3ax2+2bx+c，
由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，
则a＞0，且x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），
∴b＜0，c＞0，
故选：A
3．【答案】D
【解析】解：对于A：∵y=f（x）为R上的偶函数，且对任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3），
∴令x=﹣3得：f（6﹣3）=f（﹣3）+f（3）=2f（3），
∴f（3）=0，故A正确；
对于B：∵函数y=f（x）是以6为周期的偶函数，
∴f（﹣6+x）=f（x），f（﹣6﹣x）=f（x），
∴f（﹣6+x）=f（﹣6﹣x），
∴y=f（x）图象关于x=﹣6对称，即B正确；
对于C：∵y=f（x）在区间[﹣3，0]上为减函数，在区间[0，3]上为增函数，且f（3）=f（﹣3）=0，
∴方程f（x）=0在[﹣3，3]上有2个实根（﹣3和3），又函数y=f（x）是以6为周期的函数，
∴方程f（x）=0在区间[﹣9，﹣3）上有1个实根（为﹣9），在区间（3，9]上有一个实根（为9），
∴方程f（x）=0在[﹣9，9]上有4个实根．故C正确；
对于D：∵当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，有，
∴y=f（x）在区间[0，3]上为增函数，又函数y=f（x）是偶函数，
∴y=f（x）在区间[﹣3，0]上为减函数，又函数y=f（x）是以6为周期的函数，
∴y=f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为减函数，故D错误．
综上所述，命题中正确的有A、B、C．
故选：D．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，命题真假的判断，着重考查函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性，考查函数的零点，属于中档题．
4．【答案】B
【解析】解：要选取5个字母时首先从其它6个字母中选3个有C63种结果，
再与“qu“组成的一个元素进行全排列共有C63A44=480，
故选B．
5．【答案】C
【解析】解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，
故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），
故选C．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．
6．【答案】B
【解析】解：∵命题“p∧q”为假，且“¬q”为假，
∴q为真，p为假；
则p∨q为真，
故选B．
【点评】本题考查了复合命题的真假性的判断，属于基础题．
7．【答案】D
【解析】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；
C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；
故选：D．
8．【答案】C
【解析】解：∵概率P（K2≥6.635）≈0.01，
∴两个变量有关系的可信度是1﹣0.01=99%，
即两个变量有关系的概率是99%，
故选C．
【点评】本题考查实际推断原理和假设检验的应用，本题解题的关键是理解所求出的概率的意义，本题是一个基础题．
9．【答案】A
【解析】解：∵z=2﹣i，
∴====，
∴=10•=4+2i，
故选：A．
【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．
10．【答案】B
【解析】
11．【答案】A
【解析】解：若a=0，则z=﹣2i（1+i）=2﹣2i，点M在第四象限，是充分条件，
若点M在第四象限，则z=（a+2）+（a﹣2）i，推出﹣2＜a＜2，推不出a=0，不是必要条件；故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了复数问题，是一道基础题．
12．【答案】D
【解析】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，
∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，
故函数为偶函数，
当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；
当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，
∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，
故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，
故选：D
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：S n是数列{a n}的前n项和，且a1=﹣1，=S n，
∴S n+1﹣S n=S n+1S n，
∴=﹣1，=﹣1，
∴{}是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列，
∴=﹣1+（n﹣1）×（﹣1）=﹣n．
∴S n=﹣，
n=1时，a1=S1=﹣1，
n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣+=．
∴a n=．
故答案为：．
2
14．【答案】
3
【解析】
15．【答案】①②③④
【解析】
因为只有是中的最小项，所以，，所以，故①②③正
确;
，故④正确;
，无法判断符号，故⑤错误，
故正确答案①②③④
答案：①②③④
16．【答案】2．
【解析】解：∵f （x ）是定义在[﹣2a ，3a ﹣1]上奇函数， ∴定义域关于原点对称， 即﹣2a+3a ﹣1=0， ∴a=1，
∵函数为奇函数，
∴f （﹣x ）=
=﹣
，
即b •2x ﹣1=﹣b+2x
，
∴b=1． 即a+b=2， 故答案为：2．
17．【答案】1 【解析】
试题分析：两直线垂直满足()02-12=⨯+⨯a ，解得1=a ，故填：1. 考点：直线垂直
【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l ，当两直线垂直时，
需满足02121=+b b a a ，当两直线平行时，需满足01221=-b a b a 且1221c b c b ≠，或是2
12121c c
b b a a ≠=，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直
121-=k k ，两直线平行时，21k k =，21b b ≠.1
18．【答案】
．
【解析】解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点0作OC ⊥AB ，C 为垂足，
并延长OC 交
于D ，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1．
Rt △AOC 中，r=AO==
，
从而弧长为 αr=2×=，
故答案为
．
【点评】本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）设切点．
由，知抛物线在Q点处的切线斜率为，
故所求切线方程为．
即y=x0x﹣x02．
因为点P（0，﹣4）在切线上．
所以，，解得x0=±4．
所求切线方程为y=±2x﹣4．
（2）设A（x1，y1），C（x2，y2）．
由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k＞0．
因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1．
点A，C的坐标满足方程组，
得x2﹣4kx﹣4=0，
由根与系数的关系知，
|AC|==4（1+k2），
因为AC⊥BD，所以BD的斜率为﹣，从而BD的方程为y=﹣x+1．
同理可求得|BD|=4（1+），
S ABCD =|AC||BD|==8（2+k 2+
）≥32．
当k=1时，等号成立．
所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．
【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线相切的条件，以及直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查基本不等式的运用，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：由已知可得方程组，
第二式除以第一式得
=，
整理可得q 2
+4q+4=0，解得q=﹣2．
21．【答案】
【解析】解：（1）A={x|x 2
+2x ＜0}={x|﹣2＜x ＜0}，
B={x|y=}={x|x+1≥0}={x|x ≥﹣1}，
∴∁R A={x|x ≤﹣2或x ≥0}， ∴（∁R A ）∩B={x|x ≥0}；…
（2）当a ≥2a+1时，C=∅，此时a ≤﹣1满足题意； 当a ＜2a+1时，C ≠∅，
应满足
，
解得﹣1＜a ≤﹣；
综上，a 的取值范围是．…
22．【答案】（1）2
5
（2）X 的分布列为
数学期望为11124700()0100020003000361053
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=--
解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A ，则P （A ）＝23423455
⨯⨯= 所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为
2
5
-------------4分 （2）X 的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分
21(0)133P X ==-
=，231(1000)(1)346P X ==⨯-=，2341(2000)(1)34510P X ==⨯⨯-= 2342
(3000)3455P X ==⨯⨯=------------------9分
所以，X 的分布列为
数学期望为11124700()0100020003000361053
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=---------------------12分 23．【答案】
【解析】解：（1）由题意：集合A={x|2≤x ≤6}，集合B={x|x ≥3}． 那么：A ∩B={x|6≥x ≥3}． ∴C R （A ∩B ）={x|x ＜3或x ＞6}． （2）C={x|x ≤a}， ∵A ⊆C ， ∴a ≥6
∴故得实数a 的取值范围是[6，+∞）．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
24．【答案】
【解析】解：（1）证明：取PB 中点Q ，连接MQ 、NQ ， 因为M 、N 分别是棱AD 、PC 中点，
所以QN ∥BC ∥MD ，且QN=MD ，于是DN ∥MQ ．
⇒DN ∥平面PMB ．
（2）
⇒PD ⊥MB
又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，
所以MB⊥AD．
又AD∩PD=D，
所以MB⊥平面PAD.⇒平面PMB⊥平面PAD．
（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．
过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．
故DH是点D到平面PMB的距离.．
∴点A到平面PMB的距离为．
【点评】本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．。