玉门市民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

玉门市民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．x=1 B ．x= C ．x=﹣1 D ．x=﹣
2． 已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（ ）
A ．150°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
3． 若复数z=2﹣i （ i 为虚数单位），则=（ ）
A ．4+2i
B ．20+10i
C ．4﹣2i
D ．
4． 已知向量
，
，其中
．则“
”是“
”成立的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 5． 已知f （x ）=4+a x ﹣1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．（1，5） B ．（1，4） C ．（0，4） D ．（4，0）
6． 若函数f （x ）=2sin （ωx+φ）对任意x 都有f （+x ）=f （﹣x ），则f （
）=（ ）
A ．2或0
B ．0
C ．﹣2或0
D ．﹣2或2
7． 直线的倾斜角是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为
2
1
时，则输入的值为（ ）
A ．2
B ．1-
C ．1-或2
D ．1-或10
9． 已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，(1,0)A -，点P 是抛物线上的动点，则当||
||
PF PA 的值最小时，PAF ∆的 面积为（ ）
A.
2
B.2
C.
D. 4
【命题意图】本题考查抛物线的概念与几何性质，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力.
10．若关于的不等式2
043
x a
x x +>++的解集为31x -<<-或2x >，则的取值为（ ） A ． B ．12 C ．1
2
- D ．2-
11．已知x ＞1，则函数的最小值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
12．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）若PA=AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长．
【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．
二、填空题
13．已知i 是虚数单位，复数的模为 ．
14．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=﹣1，
=S n ．则数列{a n }的通项公式a n = ．
15．抽样调查表明，某校高三学生成绩（总分750分）X 近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P （400＜X ＜450）=0.3，则P （550＜X ＜600）= ．
16．设直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题： A ．M 中所有直线均经过一个定点
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上
C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
17．设函数f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是 ．
18．定积分
sintcostdt= ．
三、解答题
19．如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连
接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC=90°（如图2所示），
（1）当BD 的长为多少时，三棱锥A ﹣BCD 的体积最大；
（2）当三棱锥A ﹣BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小。

20．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．
（1）若不等式1()21(0)2
f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值；
（2）若不等式()2|23|2
y
y a
f x x ≤+
++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值．
21．斜率为2的直线l经过抛物线的y2=8x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
22．已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
23．（本小题满分12分）
∆的内角,,
ABC
a b c，(sin,5sin5sin)
A B C所对的边分别为,,
m B A C
=+，
n B C C A
=--垂直.
(5sin6sin,sin sin)
（1）求sin A的值；
∆的面积S的最大值.
（2）若a=ABC
24．（本小题满分12分）
在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式x2cos C＋4x sin C＋6≥0对一切实数x恒成立.
（1）求cos C的取值范围；
（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的形状.
【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.
玉门市民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：由题意可得抛物线y2=2px（p＞0）开口向右，
焦点坐标（，0），准线方程x=﹣，
由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5，
即4﹣（﹣）=5，解之可得p=2
故抛物线的准线方程为x=﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题．
2．【答案】D
【解析】解：∵，B=45°
根据正弦定理可知
∴sinA==
∴A=30°
故选D．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．
3．【答案】A
【解析】解：∵z=2﹣i，
∴====，
∴=10•=4+2i，
故选：A．
【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．
4．【答案】A
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】若，则成立；
反过来，若，则或
所以“”是“”成立的充分而不必要条件。

故答案为：A 5． 【答案】A
【解析】解：令x ﹣1=0，解得x=1，代入f （x ）=4+a x ﹣1
得，f （1）=5，
则函数f （x ）过定点（1，5）． 故选A ．
6． 【答案】D
【解析】解：由题意：函数f （x ）=2sin （ωx+φ），
∵f （
+x ）=f （﹣x ），
可知函数的对称轴为x=
=
，
根据三角函数的性质可知，
当x=时，函数取得最大值或者最小值．
∴f （
）=2或﹣2
故选D ．
7． 【答案】A
【解析】解：设倾斜角为α，
∵直线的斜率为，
∴tan α=
，
∵0°＜α＜180°， ∴α=30° 故选A ．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．
8． 【答案】D 【解析】
试题分析：程序是分段函数⎩⎨⎧=x y x lg 2 0
0>≤x x ，当0≤x 时，212=x
，解得1-=x ，当0>x 时，21lg =x ，
解得10=x ，所以输入的是1-或10，故选D.
考点：1.分段函数；2.程序框图.11111]
9．【答案】B
【解析】设
2
(,)
4
y
P y
，则
2
1
||
||
y
PF
PA
+
=.又设
2
1
4
y
t
+=，则244
y t
=-，1
t…
，所以
||
||
PF
PA
==，当且仅当2
t=，即2
y=±时，等号成立，此时点(1,2)
P±，PAF
∆的面积为
1
||||222
22
AF y
⋅=⨯⨯=，故选B.
10．【答案】D
【解析】
试题分析：由题意得，根据不等式与方程的关系可知，不等式解集的端点就是对应的方程的根，可得方程2
43
x a
x x
+
=
++
，解得3,1,
x x x a
=-=-=-，其对应的根分别为3,1,2
x x x
=-=-=，所以2
a=-，故选D.
考点：不等式与方程的关系.
11．【答案】B
【解析】解：∵x＞1∴x﹣1＞0
由基本不等式可得，
当且仅当即x﹣1=1时，x=2时取等号“=”
故选B
12．【答案】
【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A
所以BD⊥平面PAC
（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，
所以BO=1，
AO=OC=，
以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则
P（0
，﹣，2），A（0
，﹣，0），B（1，0，0），C（0
，，0）
所以=（1，，﹣2），
设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|
（III）由（II）知，设，
则
设平面PBC的法向量=（x，y，z）
则=0，
所以令，
平面PBC的法向量所以，
同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，
所以=0，即﹣6+=0，解得t=，
所以PA=．
【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：∵复数==i﹣1的模为=．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．
14．【答案】．
【解析】解：S n是数列{a n}的前n项和，且a1=﹣1，=S n，
∴S n+1﹣S n=S n+1S n，
∴=﹣1，=﹣1，
∴{}是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列，
∴=﹣1+（n﹣1）×（﹣1）=﹣n．
∴S n=﹣，
n=1时，a1=S1=﹣1，
n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣+=．
∴a n=．
故答案为：．
15．【答案】0.3．
【解析】离散型随机变量的期望与方差．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】确定正态分布曲线的对称轴为x=500，根据对称性，可得P（550＜ξ＜600）．
【解答】解：∵某校高三学生成绩（总分750分）ξ近似服从正态分布，平均成绩为500分，
∴正态分布曲线的对称轴为x=500，
∵P（400＜ξ＜450）=0.3，
∴根据对称性，可得P（550＜ξ＜600）=0.3．
故答案为：0.3．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，正确运用正态分布曲线的对称性是关键．16．【答案】BC
【解析】
【分析】验证发现，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．M中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，D．M中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．
【解答】解：因为点（0，2）到直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离
d==1，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，
A．由于直线系表示圆x2+（y﹣2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点（0，2）不可能，故A不正确；
B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M（0，2）即符合条件，故B正确；
C．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，故C正确；
D．如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，
其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，
故本命题不正确．
故答案为：BC．
17．【答案】（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．
【解析】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：
g′（x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，
即当x＞0时，g′（x）恒小于0，
∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，
又∵g（﹣x）====g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（﹣1）==0，
∴函数g（x）的大致图象如图所示：
数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0
⇔或，
⇔0＜x＜1或x＜﹣1．
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．
18．【答案】．
【解析】解：0sintcostdt=0sin2td（2t）=（﹣cos2t）|=×（1+1）=．
故答案为：
三、解答题
19．【答案】（1）1
（2）60°
【解析】（1）设BD=x，则CD=3﹣x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴V A﹣BCD=×AD×S△BCD=×（3﹣x）××x（3﹣x）=（x3﹣6x2+9x）
设f（x）=（x3﹣6x2+9x） x∈（0，3），
∵f′（x）=（x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数
∴当x=1时，函数f（x）取最大值
∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；
（2）以D为原点，建立如图直角坐标系D﹣xyz，
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．
21．【答案】
【解析】解：设直线l的倾斜解为α，则l与y轴的夹角θ=90°﹣α，
cotθ=tanα=2，
∴sinθ=，
|AB|==40．
线段AB的长为40．
【点评】本题考查抛物线的焦点弦的求法，解题时要注意公式|AB|=的灵活运用．
22．【答案】已知数列{a n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，且a3=3，S3=9
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2，且{b n}为递增数列，若c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜1．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；证明题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，从而可得3（1++）=9，从而解得；
（Ⅱ）讨论可知a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，从而可得b n=log2=2n，利用裂项求和法求和．【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，
则3（1++）=9，
解得，q=1或q=﹣；
故a n=3，或a n=3•（﹣）n﹣3；
（Ⅱ）证明：若a n=3，则b n=0，与题意不符；
故a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，
故b n=log2=2n，
故c n==﹣，
故c1+c2+c3+…+c n=1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣＜1．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．
23．【答案】（1）
45
；（2）4． 【解析】 试题分析：（1）由向量垂直知两向量的数量积为0，利用数量积的坐标运算公式可得关于sin ,sin ,sin A B C 的等式，从而可借助正弦定理化为边的关系，最后再余弦定理求得cos A ，由同角关系得sin A ；（2）由于已知边及角A ，因此在（1）中等式22265bc b c a +-=中由基本不等式可求得10bc ≤，从而由公式 1sin 2S bc A =可得面积的最大值．
试题解析：（1）∵(sin ,5sin 5sin )m B A C =+，(5sin 6sin ,sin sin )n B C C A =--垂直，
∴2225sin 6sin sin 5sin 5sin 0m n B B C C A ∙=-+-=，
考点：向量的数量积，正弦定理，余弦定理，基本不等式．111] 24．【答案】
【解析
】。