高三年级数学综合训练(一).doc

高三年级数学综合训练(一)
试卷
总分150分
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1．函数ln 1(0)y x x =+>的反函数为（ ） （A ）1
()x y e x R +=∈ （B ）1()x y e x R -=∈
（C ）1
(1)x y e
x +=> （D ）1(1)x y e x -=>
2．函数2
()46f x x ax =-+在区间[1,2]-上存在反函数的充要条件是 （ ）
A 、12a ≤-
或1a ≥ B 、12a <-或1a > C 、112a -≤≤ D 、1
12
a -<< 3. 函数2
3log )(x x f =在其定义域上单调递减，且值域为]4,2[，则它的反函数的值（ ） A ．]9,3[- B ．]3,9[- C ．]3,9[-- D ．]9,3[
4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o
的直线与
双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞ 5．已知实数,x y 同时满足（1）122x y ≤-≤；（2）0x ≥；（3）3y x ≤-+，则34x y + 的最大值是 （ ） A 、
313 B 、323 C 、343 D 、353
6．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的 （ ） A 外心
B 内心
C 重心
D 垂心
7．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域互不相同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2
y x =，[1,2]x ∈与函数2
y x =，[2,1]x ∈--即为“同族函数”。

下面4个函数中，能够被用来构造“同族函数”的是 ( )
A 、sin y x =
B 、y x =
C 、2x
y = D 、2log y x = 8．设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
（1）
//////αββγαγ⎫
⇒⎬
⎭
（2）//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭（3）//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭ （4）
////m n m n αα⎫
⇒⎬⊂⎭
，其中，假命题是（ ） A 、（1）（2） B 、（2）（3） C 、（1）（3） D 、（2）（4） 9. 已知不等式1()()9a
x y x
y
++
≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值 为 ( )
（Ａ）8 （Ｂ）6 （C ）4 （D ）2
10. 当04
x π
<<时，函数22
cos ()cos sin sin x
f x x x x =-的 ( ) A 、最小值是
14 B 、最大值是1
4
C 、最小值是4
D 、最大是4 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在答题卡的相应位置
11．若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11
a b
+的值等于_________________.
12．双曲线2
21x y m
-=上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3，则m 等于 13．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，20S －7S ＝30，则8S ＝ ., 14. 如果函数()f x 满足：对任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=，且()12f =，则
()()
()()
()()
()()
()()
2345200712342006f f f f f f f f f f +++++
=…______________________.
15. 三棱柱ABC-111C B A 中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为 .
16. 设a r ，b r 是两个不共线的向量，若2AB a kb =+u u u r r r ，3CB a b =+u u u r r r ，2CD a b =-u u u r r r ，
且A B D 、、 三点共线，则k =_______
三．解答题：本大题共5小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (本题12分)已知ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，3PD AD =，设点E 是棱PB 上的动点（不含端点），过点,,A D E 的平面交棱PC 于点F （1）求证：//BC EF
（2）求二面角A PB D --的大小（结果用反正弦函数值表示） （3）试确定点E 的位置，使PC ⊥平面ADFE ，试说明理由
18.(本题14分)已知点A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （cosα，sinα），3(
,)22
ππ
α∈。

(1)若AC CB =u u u r u u u r ，求角α的值； (2)若1AC CB ⋅=-u u u r u u u r ，求22sin sin 21tan αα
α
++的值.
19.(本小题满分14分)
设数列{a n }的各项都是正数，Sn 是其前n 项和，且对任意n ∈N *
都有a 2n =2S n -a n .
(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；
(Ⅱ)若b n =(2n+1)2n a
,求数列{b n }的前n 项和T n . 20. （本题满分14分） 如图已知F 1、F 2为
椭圆2
212
x y +=的两焦点，M 是椭圆上一点， 延长F 1M 到N ，P 是NF 2上一点，且满足
222F N F P =u u u u r u u u u r ，20MP F N ⋅=u u u r u u u u r
，点N 的轨迹方程为
E 。

⑴求曲线E 的方程；
⑵过F 1的直线l 交椭圆于G ，交曲线E 于H ，
（G 、H 都在x 轴上方），若112F H FG =u u u u r u u u r
，
求直线l 的方程；
21、（本小题满分16分）已知函数)0(|,1
1|)(>-=x x
x f . （1）当)()(,0b f a f b a =<<且时，求证：1>ab ；
（2）是否存在实数)(,b a b a <，使得函数)(x f y =的定义域、值域都是],[b a ，若存在，则求出b a ,的值，若不存在，请说明理由；
（3）若存在实数)(,b a b a <，使得函数)(x f y =的定义域为],[b a 时，值域为)0](,[≠m mb ma ，求m 的取值范围.
参考答案：
一、1—5 BACCB , 6—10 DADCC 二、11．
21 12．81 13．7717
3
14．4012 15．721 16．- 8
17.（1）//,//BC AD BC ADFE BC ADFE ⊄∴Q 面，面，又ADFE PBC EF =Q I 面面，
//BC EF ∴
（2）连结AC ，交BD 于点O ，AC BD ⊥Q ，
又PD ABCD ⊥面，面PBD ⊥面ABCD AC PBD ⊥Q 面，AH PB ∴⊥，AHO ∴∠是二面角A PB D --的平面角，不妨设
1AD =
则PD =，2PA =，
2
AO =
，
AH =
，Rt AHO ∆中，
sin 4
AO AHO AH ∠=
=
∴ 二面角A PB D --的大小为arcsin
4
（3）假设棱PB 上存在点E ，由题意得PC AD ⊥，要使PC ADFE ⊥面，只要
PC DF ⊥即可
当PC DF ⊥时，Rt PDC ∆中，2
CD CF PC =⋅，
11
1,2,,23
CF CD PC CF FP ==∴==Q
//BC EF Q ，1
3
BE EP ∴
=时，PC ADFE ⊥面
18．解：解：(1)∵AC u u u r =(cos α－3, sin α), BC uuu r
=(cos α, sin α－3).
∴∣AC u u u r
∣
=
∣BC uuu r
∣=a a a sin 610)3sin (cos 22-=-+。

由∣AC u u u r ∣=∣BC uuu r ∣得sin α=cos α.又∵α)23,2(ππ∈，∴α=45π
(2)由AC u u u r ·BC uuu r
=－1,得(cos α－3)cos α+sin α (sin α－3)=－1
∴ sin α+cos α=3
2
.①
又
a a a
a a
a a a
a a cos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222=+
+=++. 由①式两边平方得1+2sin αcos α=94 , ∴2sin αcos α=9
5
-,
∴
9
5
tan 12sin sin 22-=++a a a 19.(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)∴a 2n =2S n -a n ,n ∈N *
，
∴当n=1时，a 21=2a 1-a 1,即a 2
1=a 1
∵a 1>0 a 1=1. …1分
又a 11212+++-=n n n a S ，
∴a 21+n -a ()n n n n n a a S S +--=++1122,
即(a n+1-a n ) ()11n n n n a a a a +++=+,
从而a n+1-a n =1. …4分
故数列{a n }是1为首项，公差为1的等差数列. ∴a n =n. …6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：b n =(2n+1)2n a
=(2n+1)2n
.
∴T n =b 1+b 2+…+b n =3×2+5×22
+…+(2n+1)2n
①
∴2T n =3×22+5×23+…+(2n-1)2n +(2n+1)2n+1
②
①—②得-T n =3×2+2×22+2×23+…+2×2n -(2n+1)2n+1
=6-（2n+1）2n+1
+2
121213---)
(n
=-(2n-1)2n+1
-2… 11分
故T n =(2n-1)2n+1
+2.… 12分
20.解：⑴由已知得F 1（－1，0）
∵222F N F P =u u u u r u u u u r ，2MP F N u u u r u u u u r
g ＝0
∴MP 为线段NF 2的垂直平分线 ∴│MN │＝│MF 2│ …3分
由椭圆的定义知：│MF 1│＋│MF 2│＝
∴│NF 1│＝│MN │＋│MF 1│＝│MF 2│＋│MF 1│＝
显然M 为椭圆左、右端点时不满足2MP F N u u u r u u u u r
g ＝0
∴曲线E 的方程为（x ＋1）2＋y 2＝8 （y ≠0）
⑵由⑴知│F 1H │＝
∵1F H u u u u r ＝21FG u u u r ∴G 为线段F 1H 的中点
∴│F 1G │＝
1
2
│F 1H
∴G 点的轨迹是以F 1（－1，0为半径的圆的x 轴上半部分 ∴G 点轨迹方程是（x ＋1）2＋y 2＝2 （y ＞0）
又∵G 在椭圆上：2
22
x y +＝1
由()()222212022
x y y x y ⎧++=>⎪⎨+=⎪⎩ 解得 0
1
x y =⎧⎨=⎩ ∴G （0，1） …13分
∴所求的直线方程为：y ＝x ＋1
21、解：（1）∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥-=∴>.10,11,1,1
1)(,0x x
x x
x f x
∴)(x f 在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数. 由)()(,0b f a f b a =<<且，可得b a b a 1111,10-=-<<<所以有，即21
1=+b
a . ∴a
b b a ab 22>+=…3分 故1>ab ，即1>ab …4分 （2）不存在满足条件的实数b a ,.
若存在满足条件的实数b a ,，使得函数|1
1|)(x
x f y -==的定义域、值域都是[b a ,]，则0>a .
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧<<-≥-=.10,11,1,1
1)(x x
x x
x f ①当b a ,∈（0，1）时，11
)(-=
x
x f 在（0，1）上为减函数. 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=-⎩⎨⎧==.
11,
11
.)(,)(a b
b a a b f b a f 即 解得b a =. 故此时不存在适合条件的实数b a ,.…6分
②当b a ,∈[)+∞,1时，x
x f 1
1)(-=在（1，+∞）上为增函数.
故⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=-⎩⎨⎧==.
11,
1
1.)(,)(b b
a a
b b f a a f 即
此时b a ,是方程012=+-x x 的根，由于此方程无实根.
故此时不存在适合条件的实数b a ,.…8分 ③当a ∈（0，1），[)+∞∈,1b 时，由于1∈[b a ,]，而[]b a f ,0)1(∉=，故此时不存在适合条件的实数b a ,.
综上可知，不存在适合条件的实数b a ,.…10分
（3）若存在实数)(,b a b a <，使得函数)(x f y =的定义域为[b a ,]时，值域为],[mb ma ，则0,0>>m a .
①当b a ,∈（0，1）时，由于)(x f 在（0，1）上是减函数，值域为],[mb ma ，
即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11
ma b
mb a 解得a=b>0，不合题意，所以b a ,不存在.
②当),1()1,0(+∞∈∈b a 或时，由（2）知0在值域内，值域不可能是],[mb ma ，所以b a ,不存
在. 故只有[)+∞∈,1,b a .
∵|11|)(x x f -=在（1，+∞ ）上是增函数，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=-⎩⎨⎧==.
11,
1
1.)(,)(mb b ma a
mb b f ma a f 即 b a ,是方程012=+-x mx 有两个根.
即关于x 的方程012=+-x mx 有两个大于1的实根. 设这两个根为21,x x .
则m x x m x x 1,12121=⋅=+ ∴⎪⎩⎪⎨⎧>->-⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>-->-+->∆.021
,041.0)1)(1(,0)1()1(,
021
21m
m x x x x 即 解得4
1
0<
<m .…14分 综上m 的取值范围是4
10<
<m .。