人教版九年级数学上册第23章 《旋转》提技能·题组课时训练

人教版九年级上册数学第23章《旋转》提技能·题组课时训练
（1）
旋转的相关概念
1.在旋转过程中,确定一个三角形旋转的位置所需的条件是( )
①三角形原来的位置; ②旋转中心; ③三角形的形状; ④旋转角.
A.①②④
B.①②③
C.②③④
D.①③④
【解析】选A.一个三角形旋转后的位置与三角形的形状无关.
【知识归纳】准确理解旋转变换中的“三个要素”
1.旋转中心:旋转中心是点而不是直线,比如生活中的开门、关门,虽然门转动了,但它是绕轴旋转一定的角度,所以不属于我们要研究的绕定点旋转.
2.旋转角:因为经过旋转,图形上每一个点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度,所以任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,不要把图形中的某些对应角误以为是旋转角.
3.旋转方向:旋转方向通常指顺时针方向或逆时针方向.
2.下列关于旋转的说法不正确的是( )
A.旋转中心在旋转过程中保持不动
B.旋转中心可以是图形上的一点,也可以是图形外的一点
C.旋转由旋转中心、旋转方向和旋转角度所决定
D.旋转由旋转中心所决定
【解析】选D.旋转由旋转中心、旋转角、旋转方向所决定.
【知识归纳】平移、轴对称、旋转的联系
1.共同点:都是一种图形的变换,变换前后的两个图形全等.
2.不同点:见表格.
3.(玉溪中考)如图,点A,B,C,D都在方格纸的格点上,若△AOB绕点O 按逆时针方向旋转到△COD的位置,则旋转的角度为( )
A.30°
B.45°
C.90°
D.135°
【解析】选C.对应点与旋转中心的连线的夹角,就是旋转角,∠BOD,∠AOC都是旋转角.由图可知∠BOD=90°.
4.正方形ABCD又可看成是由正方形FGCE绕点,顺时针旋转得到的.
【解析】观察图形可得,旋转中心为点C,旋转角为180°.
答案:C 180°
5.如图,若△ABD绕A点逆时针方向旋转60°得到△ACE,
则(1)旋转中心是.
(2)图中为60°的角有.
【解题指南】找出旋转图形中的任何一组对应点,连接对应点和旋转中心所组成的角,该角即表示旋转角.
【解析】(1)根据旋转的概念可得旋转中心是点A.
(2)由题意可知旋转的角度为60°,点B和点C是一组对应点,点D和点E是一组对应点,对应点与旋转中心所连线段的夹角有∠BAC,∠DAE,所以∠BAC和∠DAE都表示旋转角,即∠BAC=∠DAE=60°.
答案:(1)点A (2)∠BAC,∠DAE
6.钟表的指针在不停地转动,从2时到6时,时针转动了度. 【解析】从2时到6时,时针转动了4个大格,每个大格30°,即120°. 答案:120
【知识拓展】12点后,时针与分针何时首次重合?
时针、分针转动一周都经过12大格或60小格.因此,每小时时针转动=30°,每分钟时针转动=0.5°,每分钟分针转动=6°.设x时y分时针与分针重合,则时针转了×30度,分针转了6y度,∵时针与分针重合其度数差为0°,∴×30-6y=0,∴y=x,当x=1时,得y=,∴时针与分针首次重合为1点分.
旋转的性质
1.在图形旋转中,下列说法错误的是( )
A.连接一组对应点和旋转中心正好组成一个等腰三角形
B.旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上
C.图形中每一个点的位置都要改变
D.图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等
【解析】选C.在旋转的过程中,如果图形上的某一个点是旋转中心,则该点的位置并不改变.
2.(莆田中考)如图,将Rt△ABC(其中∠B=35°,∠C=
90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置,使得点
C,A,B1在同一条直线上,那么旋转角等于( )
A.55°
B.70°
C.125°
D.145°
【解析】选 C.根据旋转的定义,可以得到旋转角为∠BAB1,因为∠BAB1是△ABC的外角,得到∠BAB1=90°+35°=125°.
3.如图,将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A′B′C,若AC⊥A′B′,则
∠BAC等于( )
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
【解析】选A.∵△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A′B′C,∴∠ACA′=
40°,∴∠A′=90°-40°=50°,
∴∠BAC=∠A′=50°.
4.如图所示,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG,EF交AD于点H,求DH的长.
【解析】连接线段HC,如图所示,
由旋转的性质可以知道∠BCF=∠DCG=30°,∴∠FCD=60°,
∵∠F=∠D=90°,FC=DC,HC是Rt△FHC和Rt△DHC公共的斜边,根据HL 公理可以判断Rt△FHC≌Rt△DHC,
∴∠FCH=∠DCH=30°,∴HC=2DH,
根据勾股定理可得DH2+DC2=HC2,
即DH2+DC2=(2DH)2,∵DC=3,∴DH=.
5.如图,在△ABC中,AC=BC,将△ABC绕点C逆时针旋转角α(0°<α<90°)得到△A1B1C,连接BB1.设CB1交AB于D,A1B1分别交AB,AC于E,F.在图中不再添加其他任何线段的情况下,请你找出一对全等的三角形,并加以证明(△ABC与△A1B1C全等除外).
【解析】由旋转性质,旋转角∠A1CA=α,△ABC≌△A1B1C.
∴∠A1=∠A,A1C=AC.
又∵AC=BC,∠A=∠CBA,∴∠A1=∠CBA,
又∵∠A1CF=∠BCD=α,A1C=BC,∴△A1FC≌△BDC.
【错在哪？】作业错例课堂实拍
如图,将△ABC逆时针旋转得到△ADE,若∠DAC=15°,∠BAE=105°,AB=AD,则旋转角度为多少度?
(1)找错:从第步开始出现错误.
(2)纠错:
.
答案: (1)①
(2)∵∠BAD和∠CAE都表示旋转角,∠BAE=105°,∴∠BAD+∠CAE+
∠DAC=105°,即2∠BAD+15°=105°,得∠BAD=45°,所以旋转角为
45°.
（2）
中心对称的概念及性质
1.下列说法不正确的是( )
A.关于中心对称的两个图形面积相等
B.关于中心对称的两个图形周长相等
C.关于中心对称的两个图形的对称点连线经过对称中心
D.关于中心对称的两个图形一定关于直线对称
【解析】选D.关于中心对称的两个图形是全等图形,所以两个图形的面积相等,周长也相等;根据中心对称的性质可知:对称点连线经过对称中心;关于中心对称的两个图形不一定关于直线对称.
【特别提醒】中心对称的两个图形是全等图形,但是,两个全等图形不一定是中心对称.
2.(梧州中考)如图,△ABC以点O为旋转中心,旋转180°后得到
△A′B′C′.ED是△ABC的中位线,经旋转后为线段E′D′.已知BC=4,则
E′D′=( )
A.2
B.3
C.4
D.1.5
【解析】选A.∵△A′B′C′是△ABC以点O为旋转中心,旋转180°后得到的,∴△A′B′C′≌△ABC,∴B′C′=BC,
∵ED是△ABC的中位线,∴E′D′是△A′B′C′的中位线,
∵BC=4,∴E′D′=B′C′=BC=2.
【互动探究】如果旋转的角度不是180°,而是170°,结果发生变化吗? 【解析】旋转角为170°时,结果不发生变化.
因为△A′B′C′是△ABC以点O为旋转中心,旋转170°后得到的,
∴△A′B′C′≌△ABC,∴B′C′=BC,
∵ED是△ABC的中位线,∴E′D′是△A′B′C′的中位线,
∵BC=4,∴E′D′=B′C′=BC=2.
3.已知A,B,O三点不共线,A,A′关于O对称,B,B′关于O对称,那么线段AB与
A′B′的关系( )
A.平行
B.相等
C.平行且相等
D.所在直线交于点O
【解析】选C.如图,∵A,A′关于O对称, B,B′关于O
对称,∴OA=OA′,OB=OB′,∠AOB=∠A′OB′,∴△ABO
≌△A′B′O,即AB=A′B′.∵△ABO≌△A′B′O,
∴∠A=∠A′,∴AB∥A′B′.
4.在图②③④⑤中,与图①是关于某一点成中心对称的为 .
【解析】根据中心对称的概念可得,把图①绕着某个点旋转180°后,可以和图③重合.
答案:图③
【知识归纳】中心对称与轴对称的区别与联系
5.如图所示的四组图形中,左边图形与右边图形成中心对称的有组.
【解析】根据中心对称的概念可得,成中心对称图形的有(1)(2)(3),共3组.
答案:3
6.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,△ABC和△AB′C′关于点A成中心对称.
(1)找出图中所有相等的线段.
(2)△ABC绕点A旋转了多少度?
(3)∠BB′C′是多少度?
【解析】(1)AB=AB′,AC=AC′,BC=B′C′. (2)180°.
(3)∠BB′C′=∠CBA=90°-30°=60°.
画一个图形关于某一点的对称图形
1.如图,将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE,则下列作图正确的是( )
【解析】选B.根据题意可知△AOB和△DOE关于点O成中心对称,所以选项B符合.
2.如图所示的图形是由三个半圆组成的图形,点O是大半
圆的圆心,且AC=CD=DB,则画出此图关于点O成中心对称的
图形是( )
【解析】选C.根据题意可知:直径以上的半圆和直径以下的半圆是关于点O成中心对称的,所以选项C符合.
3.画出与线段AB关于点O成中心对称的图形.
【解题指南】解答本题的关键是分别画出点A、点B的对称点,然后连接两点的对称点,即可得到答案.
【解析】作法:(1)如图,连接AO,在AO的延长线上截取OA′=OA,即可以求得点A关于点O的对称点A′.
(2)同理,可以求得点B关于点O的对称点B′.
(3)连接A′B′,就可以得到与AB关于点O对称的A′B′.
4.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,将△ABC绕点O旋转180°得到
△A1B1C1,再将△A1B1C1沿x轴翻折得到△A2B2C2.请依次画出△A1B1C1和△A2B2C2.
【解析】画图如下:
【知识归纳】中心对称的概念与作图方法
作出一个图形关于某一点成中心对称的图形,实质上是运用了中心对称的概念,利用连接并延长使之与已知点到对称中心的距离相等的方法将未知的对称点作出来.
【错在哪？】作业错例课堂实拍
如图,四边形ABCD为平行四边形,对角线AC,BD相交于点
O,E,F在直线BD上,且BE=DF,写出图中关于点O成中心对
称的三角形.
(1)错因:
(2)纠错:
答案：(1)遗漏对称中心在公共边上的情况.
(2)除了上面列举的四组外,还有△ABC与△CDA,△ABD与△CDB,△ADE
与△CBF.
（3）
识别中心对称图形
1.(齐齐哈尔中考)下列数字既是轴对称图形又是中心对称图形的有几
个
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选B.轴对称图形有数字0,1,3;中心对称图形有数字2,0,1;
所以既是轴对称图形又是中心对称图形的有数字0,1,共有2个.
2.(北京中考)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是
( )
【解析】选A.选项A仅是中心对称图形;选项B中的正六边形既是中心对称图形也是轴对称图形;选项C是轴对称图形,选项D既不是轴对称图形,也不是中心对称图形.
3.下列图形是中心对称图形的是( )
【解析】选B.根据中心对称的概念可知,图形绕着某一个点旋转180°后能够和原来的图形重合,该图形就是中心对称图形,选项B符合概念.
4.下列图案中,不是中心对称图形的是( )
【解析】选B.把B绕平面的任意一点旋转180°后,与原图形不重合,所以该图形不是中心对称图形.
5.(遂宁中考)下列图案由正多边形拼成,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
【解析】选B.选项A,C,D只是轴对称图形,选项B既是轴对称图形又是
中心对称图形.
6.(深圳中考)下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A.线段
B.等边三角形
C.正方形
D.圆
【解析】选B.根据轴对称图形的定义可知,选项A,B,C,D均为轴对称图形,根据中心对称图形的定义可知,选项B不是中心对称图形.
7.下列说法中,错误的是( )
A.中心对称就是中心对称图形
B.两个三角形关于某一点对称,则它们一定全等
C.直角是轴对称图形,但不是中心对称图形
D.中心对称图形是说明一个图形的形状特征
【解析】选A.中心对称和中心对称图形是两个不同的概念.中心对称是指两个图形之间的位置关系,而中心对称图形是指一个图形的形状特征.
【易错提醒】中心对称是指两个图形之间的位置关系,所研究的对象是两个图形;中心对称图形是指一个图形的形状特征,所研究的对象是一个图形.
8.从正面看下列物体,不是中心对称图形的是( )
【解析】选B.从正面看图中四个几何体,得到的图形分别是长方形、等腰三角形、圆以及正方形,只有等腰三角形不是中心对称图形.
作中心对称图形
1.(枣庄中考)在方格纸中,选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑,与图中阴影部分构成中心对称图形,该小正方形的序号是.
【解析】根据题意,可作出四种图形如下,其中旋转180°与自身重合的只有第2个图形,所以将②涂黑能构成中心对称图形.
答案:②
2.下列各图是中心对称图形吗?如果是,请找出它们的对称中心.
【解析】三种图形都是中心对称图形,它们的对称中心如图所示.
【易错提醒】
1.中心对称图形的对称中心一定在图形内.
2.中心对称图形上所有的点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上.
3.如图是一幅中心对称图形,请你找出点A绕点O旋转180°后的对应点B,点C的对应点D.你是怎么找的?现在你能很快找到点E的对应点F 吗?
从上面的操作过程,你能发现中心对称图形上的一对对应点与对称中心的关系吗?
【解析】如图所示:
关系:对应点到对称中心的距离相等,对应点的连线经过对称中心,并被对称中心平分.
【错在哪？】作业错例课堂实拍
在下列图形中,中心对称图形的个数是.
(1)错因: .
(2)纠错:
.
答案: (1)混淆了旋转图形和中心对称图形
(2)在四个图形中,绕着某一个点旋转180°后,能够与原图形重合的是
图②、图④,所以中心对称图形有图②、图④,一共有两个,答案:2
（4）
关于原点对称的点的坐标
1.在平面直角坐标系中,点P(2,-1)关于原点的对称点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.点P(2,-1)关于原点的对称点是(-2,1),在第二象限.
2.已知点A(m-1,1)和点B(2,n-1)关于原点对称,则m+n的值为( )
A.1
B.-1
C.3
D.2
【解析】选B.点A(m-1,1)和点B(2,n-1)关于原点对称,
∴m-1=-2,即m=-1,n-1=-1,即n=0.∴m+n=-1.
【互动探究】已知点A(m-1,1)和点B(2,n-1)关于x轴对称,则m+n的值为( )
A.1
B.-1
C.3
D.2
【解析】选C.点A(m-1,1)和点B(2,n-1)关于x轴对称,
∴m-1=2,即m=3,n-1=-1,即n=0.∴m+n=3.
3.点A关于y轴的对称点是(-2,6),点A和点B关于原点对称,则点B 的坐标是
( ) A.(-6,-2) B.(-6,2)
C.(2,-6)
D.(-2,-6)
【解析】选D.∵点A关于y轴的对称点是(-2,6),∴点A的坐标是(2,6),∴点B的坐标是(-2,-6).
4.已知点P到x轴的距离为2,到y轴的距离为5,则点P关于原点的对称点为.
【解析】∵点P到x轴的距离为2,
∴点P的纵坐标为±2,
同理得点P的横坐标为±5,
所以点P的坐标为四种情况,
即(5,2),(-5,-2),(-5,2),(5,-2),
关于原点的对称点分别为(-5,-2),(5,2),(5,-2),(-5,2).
答案:(-5,-2),(5,2),(5,-2),(-5,2)
【易错提醒】点P到x轴的距离为2,确定的是点P的纵坐标是2或-2,不要误认为该点的横坐标是2或-2.
5.已知点A与点B关于原点O对称,且点A的坐标为(-3,y),且AB=10,则点B的坐标为.
【解析】∵点A,O,B在同一直线上,且OA=OB,
∴OA=5;
根据勾股定理可知:
点A到x轴的距离为=4,
即点A的纵坐标为4或-4,
所以点A的坐标为(-3,4)或(-3,-4),
点A和点B关于原点对称,
所以点B的坐标为(3,-4)或(3,4).
答案:(3,-4)或(3,4)
【变式训练】已知点A与点B关于原点O对称,且点A的坐标为(-5,12),则AB的长度为.
【解析】OA==13,AB=2OA=26.
答案:26
6.已知点A(m-2n,-2)与点A′(-5,2m+n)关于原点O对称,求m,n的值. 【解析】因为两个点关于原点对称,所以它们的横、纵坐标互为相反数,列方程组,得解得m=,n=-.
关于原点对称的点的坐标的应用
1.下列函数中,图象一定关于原点对称的图象是( )
A.y=
B.y=2x-1
C.y=-8x+1
D.以上三种都不可能
【解析】选A.画出选项中的函数图象,通过观察发现只有函数y=的
图象是关于原点对称的.
【一题多解】选 A.设图象中的任意一点的坐标为(m,n),那么点(m,n)关于原点的对称点为(-m,-n),如果点(m,n)和(-m,-n)同时在同一个函数图象上,那么该图象一定关于原点对称,经过检验,函数y=的图象关于原点对称.
2.在如图所示编号为①,②,③,④的四个三角形中,关于y轴对称的两个三角形的编号为;关于坐标原点O对称的两个三角形的编号为.
【解析】根据轴对称的定义可得编号为①,②的两个三角形关于y轴对称,根据中心对称的定义可得编号为①,③的两个三角形关于原点O对称.
答案:①②①③
【知识归纳】关于原点、坐标轴对称的点的坐标特征
关于x 轴对称关于y
轴对称
关于原
点对称
P(x,y) (x,-y) (-x,y) (-x,-y)
3.直角坐标系中,直线y=2x+3关于原点对称的直线的解析式
为.
【解析】若两条直线关于原点对称,则这两条直线平行,即k值不变;与y轴的交点关于原点对称,即b值互为相反数.直线y=2x+3关于原点对称的直线的解析式为y=2x-3.
答案:y=2x-3
4.▱ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O,以点O为坐标原点建立平面直角坐标系,点A的坐标为(-5,-2),那么点C的坐标为. 【解析】平行四边形是中心对称图形,对称中心就是两对角线的交点,所以点A和点C关于原点对称,即点C的坐标为(5,2).
答案:(5,2)
5.若x1,x2是方程x2-4x-5=0的两个根,且点A(x1,x2)在第二象限,点B(m,n)和点A关于原点O对称,求m+n的值.
【解析】解x2-4x-5=0,
得x1=-1,x2=5,或x1=5,x2=-1.
又因为(x1,x2)在第二象限,
所以x1<0,x2>0,
即点A的坐标为(-1,5),点B的坐标为(1,-5),
即m+n=1-5=-4.
【错在哪？】作业错例课堂实拍
已知点P(a2-1,)在y轴上,求点P关于原点对称的点的坐标.
(1)找错:第步出现错误.
(2)纠错:_________________________________________________________ __.
答案：(1)③
(2)关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，所以点P关于原点
）
对称的点的坐标为（0,-1
2。