2015高考数学一轮课件：第3章 专题一 高考中的导数应用问题

解得
2 0<x<a.
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练出高分 第七页，编辑于星期五：十三点 四十四分。
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题型一
利用导数研究函数的单调性
【例 1】 已知函数 f(x)＝ x2e－ax，a∈R. (1)当 a＝1 时，求函数 y＝f(x) 的图象在点(－1，f(－1))处的 切线方程． (2)讨论 f(x)的单调性．
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题型二
利用导数研究与不等式有关的问题
【例 2】 已知 f(x)＝xln x，g(x) ＝－x2＋ax－3. (1)求函数 f(x)在[t，t＋2](t>0) 上的最小值； (2) 对 一 切 x∈(0 ， ＋ ∞) ，
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综上所述，当 a＝0 时，f(x)在 (－∞，0)上单调递减，在 (0，＋∞)上单调递增； 当 a>0 时，f(x)在(－∞，0)，(2a， ＋∞)上单调递减，在(0，2a)上单 调递增； 当 a<0 时，f(x)在(2a，0)上单调递 减，在(－∞，2a)，(0，＋∞)上 单调递增．
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题型二
利用导数研究与不等式有关的问题
【例 2】 已知 f(x)＝xln x，g(x) ＝－x2＋ax－3.
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(3)问题等价于证明 xln x>exx－2e
(1)求函数 f(x)在[t，t＋2](t>0)
(1)因为当 a＝1 时，f(x)＝ x2e－x，f′(x)＝2xe－x－x2e－x ＝(2x－x2)e－x， 所以 f(－1)＝e，f′(－1)＝ －3e. 从而 y＝f(x)的图象在点 (－1，f(－1))处的切线方程 为 y－e＝－3e(x＋1)，即 y ＝－3ex－2e.
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＝－x2＋ax－3. (1)求函数 f(x)在[t，t＋2](t>0) 上的最小值； (2) 对 一 切 x∈(0 ， ＋ ∞) ， 2f(x)≥g(x)恒成立，求实数 a 的 取值范围； (3)证明：对一切 x∈(0，＋∞)， 都有 ln x>e1x－e2x成立．
②当1e≤t<t＋2，即 t≥1e时， f(x)在[t，t＋2]上单调递增， f(x)min＝f(t)＝tln t.
(－13， 1)
1
(1， ＋∞)
f′(x) ＋0－0＋f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
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跟踪训练 1 已知函数 f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且 a＝f′23. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间； (3)设函数 g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数 g(x)在 x∈[－3，2]上单调 递增，求实数 c 的取值范围．
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题型一
利用导数研究函数的单调性
【例 1】 已知函数 f(x)＝ x2e－ax，a∈R. (1)当 a＝1 时，求函数 y＝f(x) 的图象在点(－1，f(－1))处的 切线方程． (2)讨论 f(x)的单调性．
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数学 粤（理）
专题一 高考中的导数应用问题
第三章 导数及其应用
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题号
1 2 3 4 5
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自我检测 查缺补漏
答案
D
A A [e，＋∞) [－2，－1]
解析
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题型一
利用导数研究函数的单调性
(3)证明：对一切 x∈(0，＋∞)， 都有 ln x>e1x－e2x成立．
②当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，
h(x)单调递增， 所 以 h(x)min ＝ h(1) ＝ 4 ， 对 一 切
x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立， 所以 a≤h(x)min＝4.
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跟踪训练 1 已知函数 f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且 a＝f′23. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间； (3)设函数 g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数 g(x)在 x∈[－3，2]上单调 递增，求实数 c 的取值范围．
(2)求函数 f(x)的单调区间； (3)设函数 g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数 g(x)在 x∈[－3，2]上单调
递增，求实数 c 的取值范围．
(2)由(1)可知 f(x)＝x3－x2－x＋c.
则 f′(x)＝3x2－2x－1＝3x＋13(x－1)，列表如下：
x
(－∞， －13)
－13
【例 1】 已知函数 f(x)＝
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解析
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x2e－ax，a∈R.
(1)当 a＝1 时，求函数 y＝f(x) (1)先求切点和斜率，再求 的图象在点(－1，f(－1))处的 切线方程；
切线方程． (2)讨论 f(x)的单调性．
(2)先求 f′(x)，然后分 a＝0， a>0，a<0 三种情况求解．
－ax2)e－ax. ① 当 a ＝ 0 时 ， 若 x<0 ， 则
f′(x)<0，若 x>0，则 f′(x)>0.
所以当 a＝0 时，函数 f(x)在区间
(－∞，0)上为减函数，在区间(0，
＋∞)上为增函数．
②当 a>0 时，由 2x－ax2<0，解
得 x<0 或 x>2a，由 2x－ax2>0，
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(1)由 f(x)＝xln x，x>0，得 f′(x) ＝ln x＋1， 令 f′(x)＝0，得 x＝1e. 当 x∈(0，1e)时，f′(x)<0，f(x)单 调递减；
2f(x)≥g(x)恒成立，求实数 a 的 取值范围；
(3)证明：对一切 x∈(0，＋∞)， 都有 ln x>e1x－e2x成立．
函数，在区间(2a，0)上为减函数．
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题型一
利用导数研究函数的单调性
【例 1】 已知函数 f(x)＝ x2e－ax，a∈R. (1)当 a＝1 时，求函数 y＝f(x) 的图象在点(－1，f(－1))处的 切线方程． (2)讨论 f(x)的单调性．
(1)判断函数的单调性，求函数的 单调区间、极值等问题，最终归 结到判断 f′(x)的符号问题上， 而 f′(x)>0 或 f′(x)<0，最终可 转化为一个一元一次或一元二 次不等式问题． (2)若已知 f(x)的单调性，则转 化 为 不 等 式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立 问题求解．
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(2)2xln x≥ － x2 ＋ ax － 3 ， 则
a≤2ln x＋x＋3x， 设 h(x)＝2ln x＋x
＋ 3x
(x>0)
，则
h′(x)＝x＋3x2x－1， ①当 x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)
2f(x)≥g(x)恒成立，求实数 a 的 单调递减，
取值范围；
当 x∈(1e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)
单调递增． ①当 0<t<1e<t＋2，即 0<t<1e时， f(x)min＝f(1e)＝－1e；
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题型二
利用导数研究与不等式有关的问题
【例 2】 已知 f(x)＝xln x，g(x)
所以 f(x)min＝－tln1et，，0t≥<t<1e1e
.
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题型二
利用导数研究与不等式有关的问题
【例 2】 已知 f(x)＝xln x，g(x) ＝－x2＋ax－3. (1)求函数 f(x)在[t，t＋2](t>0) 上的最小值； (2) 对 一 切 x∈(0 ， ＋ ∞) ，
(3)证明：对一切 x∈(0，＋∞)， 都有 ln x>e1x－e2x成立．
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练出高分 第十五页，编辑于星期五：十三点 四十四分。
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题型二
利用导数研究与不等式有关的问题
【例 2】 已知 f(x)＝xln x，g(x)
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＝－x2＋ax－3. (1)求函数 f(x)在[t，t＋2](t>0) 上的最小值；
解 (1)由 f(x)＝x3＋ax2－x＋c， 得 f′(x)＝3x2＋2ax－1. 当 x＝32时，得 a＝f′23＝3×322＋2a×23－1， 解之，得 a＝－1.
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练出高分 第十一页，编辑于星期五：十三点 四十四分。
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跟踪训练 1 已知函数 f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且 a＝f′23. (1)求 a 的值；
练出高分 第六页，编辑于星期五：十三点 四十四分。
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题型一
利用导数研究函数的单调性
【例 1】 已知函数 f(x)＝ x2e－ax，a∈R. (1)当 a＝1 时，求函数 y＝f(x) 的图象在点(－1，f(－1))处的 切线方程． (2)讨论 f(x)的单调性．
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(2)f′(x)＝2xe－ax－ax2e－ax＝(2x
(1)求 f′(x)，讨论参数 t 求最小值； (2)分离 a，利用求最值得 a
(2) 对 一 切 x∈(0 ， ＋ ∞) ， 的范围；
2f(x)≥g(x)恒成立，求实数 a 的 取值范围；
(3)证明：对一切 x∈(0，＋∞)， 都有 ln x>e1x－e2x成立．
(3)寻求所证不等式和题中 函数 f(x)的联系，充分利用 (1)中所求最值．
(3)函数 g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex， 有 g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex ＝(－x2－3x＋c－1)ex， 因为函数 g(x)在 x∈[－3,2]上单调递增， 所以 h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0 在 x∈[－3,2]上恒成立． 只要 h(2)≥0，解得 c≥11，所以 c 的取值范围是[11，＋∞)．
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练出高分 第九页，编辑于星期五：十三点 四十四分。
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题型一
利用导数研究函数的单调性
【例 1】 已知函数 f(x)＝ x2e－ax，a∈R. (1)当 a＝1 时，求函数 y＝f(x) 的图象在点(－1，f(－1))处的 切线方程． (2)讨论 f(x)的单调性．
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练出高分 第十四页，编辑于星期五：十三点 四十四分。
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题型二
利用导数研究与不等式有关的问题
【例 2】 已知 f(x)＝xln x，g(x)
思维启迪 解析
＝－x2＋ax－3.
(1)求函数 f(x)在[t，t＋2](t>0)
上的最小值；
思维升华
(2) 对 一 切 x∈(0 ， ＋ ∞) ， 2f(x)≥g(x)恒成立，求实数 a 的 取值范围；
【例 1】 已知函数 f(x)＝
思维启迪 解析 思维升华
x2e－ax，a∈R.
(1)当 a＝1 时，求函数 y＝f(x)
的图象在点(－1，f(－1))处的
切线方程．
(2)讨论 f(x)的单调性．
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练出高分 第四页，编辑于星期五：十三点 四十四分。
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题型一
利用导数研究函数的单调性
思维启迪
解析
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所以当 a>0 时，函数 f(x)在区间
(－∞，0)，(2a，＋∞)上为减函
数，在区间(0，2a)上为增函数． ③当 a<0 时，由 2x－ax2<0，解
得2a<x<0，由 2x－ax2>0，解得
x<2a或 x>0. 所以，当 a<0 时，函数 f(x)在区
间(－∞，2a)，(0，＋∞)上为增
所以 f(x)的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)； f(x)的单调递减区间是－13，1.
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练出高分 第十三页，编辑于星期五：十三点 四十四分。
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跟踪训练 1 已知函数 f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且 a＝f′23. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间； (3)设函数 g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数 g(x)在 x∈[－3，2]上单调 递增，求实数 c 的取值范围．