2024年中考数学复习重难点题型训练—二次函数与几何图形综合题(与特殊三角形问题)

2024年中考数学复习重难点题型训练—二次函数与几何图形综合题
（与特殊三角形问题）
1．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=︒，求出点F 的坐标；
【答案】(1)2142y x x =-++；(2)()1,1F 或()1,5F -或()1,3F -；(3)162
OM ON +=，理由见解析
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）先求得抛物线的对称轴为直线1x =，设l 与x 交于点G ，过点E 作ED l ⊥于点D ，证明DFG GBF ≌，设()F 1,m ，则1DE m =+，3DG DF FG GB FG m =+=+=+，进而得出E 点的坐标，代入抛物线解析式，求得m 的值，同理可求得当点F 在x 轴下方时的坐标；当E 点与A 点重合时，求得另一个解，进而即可求解；
【详解】（1）解：将点()2,0A -，()4,0B ，代入24
y ax bx =++得424016440
a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得：121
a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴抛物线解析式为2142
y x x =-++；（2）∵点()2,0A -，()4,0B ，
∴抛物线的对称轴为直线l ：2412
x -+==，如图所示，设l 与x 交于点G ，过点E 作ED l ⊥于点D
∵以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=︒，
∴EF BF =，
∵90DFE BFG GBF ∠=︒-∠=∠，
∴DFE GBF ≌，
∴,GF DE GB FD ==，
设()F 1,m ，则DE m =，3DG DF FG GB FG m
=+=+=+∴()1,3E m m ++，
∵E 点在抛物线2142
y x x =-++上∴()()2131142
m m m +=-++++解得：3m =-（舍去）或1m =,
∴()1,1F ，
如图所示，设l 与x 交于点G ，过点E 作ED l ⊥于点D
∵以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=︒，
∴EF BF =，
∵90DFE BFG GBF ∠=︒-∠=∠，
∴DFE GBF ≌，
∴,GF DE GB FD ==，
设()F 1,m ，则DE m =，3DG DF FG GB FG m
=+=+=-∴()1,3E m m --，
∵E 点在抛物线2142
y x x =-++上∴()()2131142
m m m -=--+-+解得：3m =（舍去）或5m =-，
∴()1,5F -，
当E 点与A 点重合时，如图所示，
∵6AB =，ABF △是等腰直角三角形，且90BFE ∠=︒，
∴2
GF AB 1==3
此时()0,3F -，
综上所述，()1,1F 或()1,5F -或()1,3F -；
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线25y ax bx =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点,4C AB =．抛物线的对称轴3x =与经过点A 的直线1y kx =-交于点D ，与x 轴交于点E ．
(1)求直线AD 及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点M ，使得ADM △是以AD 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)直线AD 的解析式为1y x =-；抛物线解析式为265y x x =-+；(2)存在，点M 的坐标为()4,3-或()0,5或()5,0；
【分析】（1）根据对称轴3x =，4AB =，得到点A 及B 的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出点D 的坐标，再分两种情况：①当90DAM ∠=︒时，求出直线AM 的解析式为
1y x =-+，解方程组2165y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩
，即可得到点M 的坐标；②当90ADM ∠=︒时，求出直
线DM 的解析式为5y x =-+，解方程组2565
y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩，即可得到点M 的坐标；【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴3x =，4AB =，
∴()()1,0,5,0A B ，
将(
)1,0A 代入直线1y kx =-，得10k -=，解得1k =，
∴直线AD 的解析式为1y x =-；
将()()1,0,5,0A B 代入25y ax bx =++，得
5025550a b a b ++=⎧⎨++=⎩
，解得16a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为265y x x =-+；
（2）存在点M ，
∵直线AD 的解析式为1y x =-，抛物线对称轴3x =与x 轴交于点E ．
∴当3x =时，12y x =-=，
∴()3,2D ，
①当90DAM ∠=︒时，
设直线AM 的解析式为y x c =-+，将点A 坐标代入，
得10c -+=，
解得1c =，
∴直线AM 的解析式为1y x =-+，
解方程组2165y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩
，得10x y =⎧⎨=⎩或43
x y =⎧⎨=-⎩，
∴点M 的坐标为()4,3-；
②当90ADM ∠=︒时，
设直线DM 的解析式为y x d =-+，将()3,2D 代入，
得32d -+=，
解得5d =，
∴直线DM 的解析式为5y x =-+，
解方程组2565
y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩，解得05x y =⎧⎨=⎩
或50x y =⎧⎨=⎩，∴点M 的坐标为()0,5或()
5,0综上，点M 的坐标为()4,3-或()0,5或()5,0；
【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．
3.（2022·山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．
(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；
(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．
【答案】()11，-(3)()14-，或()25-，或1522⎛+ ⎝⎭或1522⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
【分析】（1）根据解析式求出A ，B ，C 的坐标，然后用勾股定理求得AC 的长；（2）求出对称轴为x=1，设P （1，t ），用t 表示出PA 2和PC 2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M （m,m 2-2m-3），分情况讨论，当222CM BC BM +=，222BM BC CM +=，222BM CM BC +=分别列出等式求解即可．
(1)
223y x x =--与x 轴交点：
令y=0，解得121,3x x =-=，
即A （-1，0），B （3，0），
223y x x =--与y 轴交点：
令x=0，解得y=-3，
即C （0，-3），
∴AO=1,CO=3,
∴AC ==(2)抛物线223y x x =--的对称轴为：x=1，
设P （1，t ），
∴()()22221104PA t t =++-=+，()()()222
210313PC t t =-++=++，∴24t +()
2
13t =++∴t=-1，
∴P （1，-1）；(3)设点M （m,m 2-2m-3），
()()()()22
222223230323BM m m m m m m =-+---=-+--，
()()()22
2222202332CM m m m m m m =-+--+=+-，()()22
2300318BC =-++=,
①当222CM BC BM +=时，
()()()222222218323m m m m m m +-+=-+--，解得，10m =（舍），21m =，
∴M （1，-4）；
②当222BM BC CM +=时，
()()()222222323182m m m m m m -+--+=+-，
解得，12m =-，23m =（舍），
∴M （-2，5）；
③当222BM CM BC +=时，
()()()222222323218m m m m m m -+--++-=，
解得，m =
，
∴M 1522⎛+ ⎪ ⎪⎝⎭或1522⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
；
综上所述：满足条件的M 为()14-，或()25-，或⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭
．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．
4．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线214
y x bx c =
++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中()3,0B ，()0,3C -．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的QEF △是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．
【答案】(1)211344y x x =+-；(2)PD 取得最大值为45，52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭；(3)Q 点的坐标为9,12⎛⎫- ⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）直线AC 的解析式为334
y x =--，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q ，设211,344P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则3,34Q t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则45PD PQ =，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）根据平移的性质得出2
19494216y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，对称轴为直线92x =，点52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭向右平移5个单位得到53,2E ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，()0,2F ，勾股定理分别表示出222,,EF QE QF ，进而分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：将点()3,0B ，()0,3C -．代入214
y x bx c =
++得，2133043b c c ⎧⨯++=⎪⎨⎪=-⎩
解得：143
b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线解析式为：211344y x x =
+-，（2）∵211344
y x x =+-与x 轴交于点A ，B ，当0y =时，2113044
x x +-=解得：124,3x x =-=，
∴()4,0A -,
∵()0,3C -．
设直线AC 的解析式为3y kx =-，∴430
k --=解得：3
4
k =-∴直线AC 的解析式为334
y x =--，如图所示，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q
，设211,344P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则3,34Q t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，∴223111334444PQ t t t t t ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭
，∵AQE PQD ∠=∠，90AEQ QDP ∠=∠=︒，∴OAC QPD ∠=∠，
∵4,3OA OC ==，
∴5AC =，
∴4cos cos =5PD AO QPD OAC PQ AC ∠=
=∠=，∴()222441141425545555PD PQ t t t t t ⎛⎫==--=--=-++ ⎪⎝⎭
，∴当2t =-时，PD 取得最大值为
45，()()2211115322344442t t +-=⨯-+⨯--=-，∴52,2P ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
；（3）∵抛物线211344y x x =+-2
11494216
x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭将该抛物线向右平移5个单位，得到219494216y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，对称轴为直线92x =，点52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭向右平移5个单位得到53,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令0x =，则2
194924216
y ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，∴()0,2F ,∴2
2251173224EF ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．
则Q 点的横坐标为92
，设9,2Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，∴22295322QE m ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2
22922QF m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当QF EF =时，()2
2922m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=1174，解得：1m =-或5m =，
当QE QF =时，2295322m ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=()22922m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，
解得：7
4
m =综上所述，Q 点的坐标为9,12⎛⎫- ⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与x 轴交于(
)1,0A 和()5,0B -两点，与y 轴交于点C ．直线33y x =-+过抛物线的顶点P ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ．
①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值；
②当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．
【答案】(1)245y x x =--+；(2)①当52m =-
时，EF 有最大值，最大值为254；②()38-，或()45-，
或)
52-【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出()05C ，
，进而求出直线BC 的解析式为5y x =+，则()()2455E m m m F m m --++，，，，进一步求出2
52524EF m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线x m =与x 轴交于H ，先证明BHF 是等腰直角三角形，得到45EFC BFH =∠=︒∠；再分如图3-1所示，当EC FC =时，如图3-2所示，当EF EC =时，如图3-3所示，当EF CF =时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x 轴交于(
)1,0A 和()5,0B -两点，∴抛物线对称轴为直线5122
x -+==-，在33y x =-+中，当2x =-时，9y =，
∴抛物线顶点P 的坐标为()29-，
，设抛物线解析式为()229y a x =++，
∴()2
1290a ++=，
∴1a =-，
∴抛物线解析式为()222945
y x x x =-++=--+（2）解：①∵抛物线解析式为245y x x =--+，点C 是抛物线与y 轴的交点，
∴()05C ，，设直线BC 的解析式为1y kx b =+，
∴11505
k b b -+=⎧⎨=⎩，∴15k b =⎧⎨=⎩
，∴直线BC 的解析式为5y x =+，
∵直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F
∴()
()2455E m m m F m m --++，，，，
∴()
2455EF m m m =--+-+25m m
=--2
52524m ⎛⎫=-++ ⎪⎝
⎭，∵10-<，
∴当52m =-时，EF 有最大值，最大值为254；
②设直线x m =与x 轴交于H ，
∴5BH m =+，5HF m =+，
∴BH HF =，
∴BHF 是等腰直角三角形，
∴45EFC BFH =∠=︒∠；
如图3-1所示，当EC FC =时，
过点C 作CG EF ⊥于G ，则()5G m ，
∴点G 为EF 的中点，
由（2）得()
()2455E m m m F m m --++，
，，，∴245552m m m --+++=，∴230m m +=，
解得3m =-或0m =（舍去），
∴()38E -，
；
如图3-2所示，当EF EC =时，则EFC 是等腰直角三角形，
∴90FEF =︒∠，即CE EF ⊥，
∴点E 的纵坐标为5，
∴2455m m --+=，
解得4m =-或0m =（舍去），
∴()45E -，
如图3-3所示，当EF CF =时，过点C 作CG EF ⊥于G ，
同理可证CFG △是等腰直角三角形，
∴FG CG m ==-，∴22CF CG m ==-，∴252m m m --=-，∴(2520m m +-=，解得25m =-或0m =（舍去），
∴()225522EF CF ==-⨯
-=-，2HF =，∴622HE =-，
∴()25622
E --，综上所述，点E 的坐标为()38-，或()45-，或()
25622--，【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
6.(2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为（-1，0），点C 的坐标为（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E 为△ABC 边AB 上的一动点，F 为BC 边上的一动点，D 点坐标为（0，-2），求△DEF 周长的最小值；
（3）如图2，N 为射线CB 上的一点，M 是抛物线上的一点，M 、N 均在第一象限内，B 、N 位于直线AM 的同侧，若M 到x 轴的距离为d ，△AMN 面积为2d ，当△AMN 为等腰三角形时，求点N 的坐标．
【解析】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-3）．
∴1−b+c=0
c=−3，
∴b=−2c=−3，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．
由对称性可知DE=D1E，DF=D2F，△DEF的周长=D1E+EF+D2F，
∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，
令y=0，则x2-2x-3=0，
解得x=-1或3，
∴B（3，0），
∴OB=OC=3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC垂直平分DD2，且D（-2，0），∴D2（1，-3），
∵D，D1关于x轴的长，
∴D1（0，2），
∴D1D2=D2C2+D1C2=52+12=26，∴△DEF的周长的最小值为26．
（3）∵M到x轴距离为d，AB=4，连接BM．∴S△ABM=2d，
又∵S△AMN=2d，
∴S△ABM=S△AMN，
∴B，N到AM的距离相等，
∵B，N在AM的同侧，
∴AM∥BN，
设直线BN的解析式为y=kx+m，
则有m=−33k+m=0，
∴k=1m=−3，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
∴设直线AM的解析式为y=x+n，
∵A（-1，0），
∴直线AM的解析式为y=x+1，
由y=x+1
y=x2−2x−3，解得x=1y=0或x=4y=5，
∴M（4，5），
∵点N在射线BC上，
∴设N（t，t-3），
过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．
∵A（-1，0），M（4，5），N（t，t-3），
∴AM=52，AN=(t+1)2+(t−3)2，MN=(t−4)2+(t−8)2，
∵△AMN是等腰三角形，
当AM=AN时，52=(t+1)2+(t−3)2，
解得t=1±21，
当AM=MN时，52=(t−4)2+(t−8)2，
解得t=6±21，
当AN=MN时，(t+1)2+(t−3)2=(t−4)2+(t−8)2，
解得t=72，
∵N 在第一象限，∴t ＞3，∴t 的值为72，1+21，6+21，
∴点N 的坐标为（72，12）或（1+21，-2+21）或（6+21，3+21）．
7．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x =--的顶点为P ．直线l 过点()()0,3M m m ≥-，且平行于x 轴，与抛物线1L 交
于A B 、两点（B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．
(1)当1m =时，求点D 的坐标；
(2)连接BC CD DB 、、，若BCD △为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，若BCD △的面积为3,E F 、两点分别在边BC CD 、上运动，且EF CD =，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．
【答案】(1)()1,6D ；(2)223y x x =-++或223y x x =-+-；
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标()1,4P -，根据对称性，即可求解．
（2）由题意得，1L 的顶点()1,4P -与2L 的顶点D 关于直线y m =对称，()1,24D m +，则抛物线()()222:124223L y x m x x m =--++=-+++．进而得出可得()0,23C m +，①当
90BCD ∠=︒时，如图1，过D 作DN y ⊥轴，垂足为N ．求得()3,B m m +，代入解析式得出0m =，求得22:23L y x x =-++．②当=90BDC ∠︒时，如图2，过B 作BT ND ⊥，交ND 的延长线于点T ．同理可得BT DT =，得出()5,B m m +，代入解析式得出3m =-代入22:223L y x x m =-+++，得22:23L y x x =-+-；③当90DBC ∠=︒时，此情况不存在．
【详解】（1）∵2223(1)4y x x x =--=--，
∴抛物线1L 的顶点坐标()1,4P -．
∵1m =，点P 和点D 关于直线1y =对称．
∴()1,6D ．
（2）由题意得，1L 的顶点()1,4P -与2L 的顶点D 关于直线y m =对称，
∴()1,24D m +，抛物线()()2
22:124223L y x m x x m =--++=-+++．
∴当0x =时，可得()0,23C m +．
①当90BCD ∠=︒时，如图1，过D 作DN y ⊥轴，垂足为N ．
∵()1,24D m +，
∴()0,24N m +．
∵()
0,23C m +∴1DN NC ==．
∴45DCN ∠=︒．
∵90BCD ∠=︒，
∴45BCM ∠=︒．
∵直线l x ∥轴，
∴90BMC ∠=︒．
∴45,CBM BCM BM CM ∠=∠=︒=．
∵3m ≥-，
∴()233BM CM m m m ==+-=+．
∴()3,B m m +．
又∵点B 在2=23y x x --图像上，
∴()()2
3233m m m =+-+-．
解得0m =或3m =-．
∵当3m =-时，可得()()0,3,0,3B C --，此时B C 、重合，舍去．当0m =时，符合题意．
将0m =代入22:223L y x x m =-+++，
得22:23L y x x =-++．
②当=90BDC ∠︒时，如图2，过B 作BT ND ⊥，交ND 的延长线于点T ．
同理可得BT DT =．
∵()1,24D m +，
∴()244DT BT m m m ==+-=+．
∵1DN =，
∴()145NT DN DT m m =+=++=+．
∴()5,B m m +．
又∵点B 在2=23y x x --图像上，
∴()()2
5253m m m =+-+-．解得3m =-或4m =-．
∵3m ≥-，
∴3m =-．此时()()2,3,0,3B C --符合题意．
将3m =-代入22:223L y x x m =-+++，得22:23L y x x =-+-．③当90DBC ∠=︒时，此情况不存在．
综上，2L 所对应的函数表达式为223y x x =-++或223y x x =-+-．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积问题，分类讨论是解题的关键．
8．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C -两点．与y 轴交于点()0,2A -．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P
作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12
PK PD +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得MAB △是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)211242y x x =--；(2)存在，12PK PD +的最大值为258，335,216P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
；(3)()1,6或()
1,4-【分析】（1）将A 、B 、C 代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线AB 的解析式为122y x =-，设211,242P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
（04m <<），可求22111,2242K m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，从而可求21132222PK PD m +=-++，即可求解；（3）过A 作2AM AB ⊥交抛物线的对称轴于2M ，过B 作1BM AB ⊥交抛物线的对称轴于1M ，
连接1AM ，设()11,M n ，可求22145AM n n =++，2219BM n =+，由22211AB BM AM +=，
可求1M ，进而求出直线1BM 的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
16404202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩
，
解得：14122a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩
，∴抛物线的解析式为211242
y x x =--．（2）解：设直线AB 的解析式为y kx b =+，则有
402k b b +=⎧⎨=-⎩
，解得：122
k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AB 的解析式为122
y x =-；设211,242P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
（04m <<），211122242
x m m ∴-=--，解得：212
x m m =
-，22111,2242K m m m m ⎛⎫∴--- ⎪⎝⎭，212PK m m m ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭
2122
m m =-+，21124
PK m m ∴=-+，211242PD m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭
211242
m m =-++，22111122442
PK PD m m m m ∴+=-+-++213222
m m =-++2
1325228m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，
102
-< ，∴当32m =时，12PK PD +的最大值为258
，∴21313352422216
y ⎛⎫=⨯--=- ⎪⎝⎭，∴335,216P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
．故12PK PD +的最大值为258，335,216P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
．（3）解：存在，
如图，过A 作2AM AB ⊥交抛物线的对称轴于2M ，过B 作1BM AB ⊥交抛物线的对称轴于1M ，连接1AM ，
∵抛物线211242
y x x =--的对称轴为直线1x =，∴设()11,M n ，
()
2
22112AM n ∴=++245n n =++，
2222420AB =+=，()2
22
141BM n =-+29n =+，
22211AB BM AM += ，
2292045n n n ∴++=++，
解得：6n =，
()11,6M ∴；
设直线1BM 的解析式为11y k x b =+，则有
1111
640k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1128
k b =-⎧⎨=⎩，∴直线1BM 解析式为28y x =-+，
21AM BM ∥ ，且经过()0,2A -，
∴直线2AM 解析式为22y x =--，
∴当1x =时，2124y =-⨯-=-，
()21,4M ∴-；
综上所述：存在，M 的坐标为()1,6或()1,4-．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．
9.（2021·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC
上以每秒个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．
（1）求b、c的值；
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使MPQ
是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（317
4
+
，
2317
8
+
）
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作PE⊥x轴，垂足为E，利用S
四边形BCPQ
=S△ABC-S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；
（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0），
则
093
01
b c
b c
=-++
⎧
⎨
=--+
⎩
，
解得：
2
3 b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
；
（2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x 2+2x+3，C （0，3），A （3，0），
∴△OAC 是等腰直角三角形，由点P 的运动可知：
AP=，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，
∴
AE=PE=，即E （3-t ，0），
又Q （-1+t ，0），
∴S 四边形BCPQ =S △ABC -S △APQ =()11433122t t ⨯⨯-⨯--+⎡⎤⎣
⎦=21262
t t -+∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
=，AB=4，
∴0≤t≤3，
∴当t=2122--
⨯=2时，四边形BCPQ 的面积最小，即为2122262⨯-⨯+=4
；（3）∵点M 是线段AC 上方的抛物线上的点，
如图，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E ，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于F ，
∵△PMQ 是等腰直角三角形，PM=PQ ，∠MPQ=90°，
∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，
∴∠PMF=∠QPE ，
在△PFM 和△QEP 中，
F QEP PMF QPE PM PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△PFM ≌△QEP （AAS ），
∴MF=PE=t ，PF=QE=4-2t ，
∴EF=4-2t+t=4-t ，又OE=3-t ，
∴点M 的坐标为（3-2t ，4-t ），
∵点M 在抛物线y=-x 2+2x+3上，
∴4-t=-（3-2t ）2+2（3-2t ）+3，
解得：
t=98
或98
+（舍），∴M
点的坐标为（34
，23178+
）．【点睛】
本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
10.（2021·江苏中考真题）如图，抛物线21y 2
x bx c =-++与x 轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ，点P 在抛物线上运动．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，若点P 在第四象限，点Q 在PA 的延长线上，当∠CAQ=∠CBA +45°时，求点P 的坐标；
(3)如图②，若点P 在第一象限，直线AP 交BC 于点F ，过点P 作x 轴的垂线交BC 于点H ，当△PFH 为等腰三角形时，求线段PH 的长．
【答案】（1）213222
y x x =-++；（2）（6，-7）；（3）PH=5-或1.5或158【分析】
（1）根据待定系数法解答即可；
（2）求得点C 的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断∠ACB=90°，继而可得∠ACO=∠CBA ，在x 轴上取点E （2，0），连接CE ，易得△OCE 是等腰直角三角形，可得∠OCE=45°，进一步可推出∠ACE=∠CAQ ，可得CE ∥PQ ，然后利用待定系数法分别求出直线CE 与PQ 的解析
式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；
（3）设直线AP 交y 轴于点G ，如图，由题意可得若△PFH 为等腰三角形，则△CFG 也为等腰三角形，设G （0，m ），求出直线AF 和直线BC 的解析式后，再解方程组求出点F 的坐标，然后分三种情况求出m 的值，再求出直线AP 的解析式，进而可求出点P 的坐标，于是问题可求解．
【详解】
解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入21y 2
x bx c =-++，得102840b c b c ⎧--+=⎪⎨⎪-++=⎩，解得：322
b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式是213222
y x x =-++；（2）令x=0，则y=2，即C （0，2），
∵222125AC =+=，2222420BC =+=，AB 2=25，
∴222AC BC AB +=，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°，
∴∠ACO=∠CBA ，
在x 轴上取点E （2，0），连接CE ，如图，
则CE=OE=2，
∴∠OCE=45°，
∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ ，
∴CE ∥PQ ，
∵C （0，2），E （2，0），
∴直线CE 的解析式为y=-x+2，
设直线PQ 的解析式为y=-x+n ，把点A （-1，0）代入，可得n=-1，
∴直线PQ 的解析式为y=-x-1，解方程组2132221
y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=--⎩，得10x y =-⎧⎨=⎩或67x y =⎧⎨=-⎩，∴点P 的坐标是（6，-7
）；
（3）设直线AP 交y 轴于点G ，如图，
∵PH ∥y 轴，
∴∠PHC=∠OCB ，∠FPH=∠CGF ，
∴若△PFH 为等腰三角形，则△CFG 也为等腰三角形，
∵C （0，2），B （4，0），
∴直线BC 的解析式为122
y x =-+，设G （0，m ），∵A （-1，0），
∴直线AF 的解析式为y=mx+m ，解方程组122y x y mx m ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，得4221521m x m m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，∴点F 的坐标是425,2121m m m m -⎛⎫ ⎪++⎝
⎭，∴()2222
22224254252,2,21212121m m m m CG m CF FG m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
当CG=CF 时，()222425222121m m m m m -⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
，解得：m =此时直线AF 的解析式为
y=
12-
x+12-，
解方程组213222y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪⎪⎩
10x y =-⎧⎨=⎩
或5112x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴点P
的坐标是（5
），此时点H
的坐标是（5
），∴
PH=111522
---=-；当FG=FC 时，2222425425221212121m m m m m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解得m=12或m=12-（舍）或m=2（舍），
此时直线AF 的解析式为y=12x+1
2，解方程组2132221122y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得10x y =-⎧⎨=⎩或32x y =⎧⎨=⎩，∴点P 的坐标是（3，2），此时点H 的坐标是（3，12），
∴PH=2-12=1.5；
当GF=GC 时，()22
242522121m m m m m m -⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得34m =或m=2（舍去），此时直线AF 的解析式为y=34x+34
，解方程组2132223344y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得10x y =-⎧⎨=⎩或52218x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴点P 的坐标是（
52，218），此时点H 的坐标是（52，34），∴PH=21315848
-=；
综上，PH=355或1.5或
158
．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．
11.（2021·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为()1,4-．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P 在抛物线上且满足PCB CBD ∠=∠，求点P 的坐标；
（3）如图2，M 是直线BC 上一个动点，
过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC
上一个动点，当QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐标
【答案】（1）223y x x =--；（2）()14,5P ，257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭
；()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．
【分析】
（1）由()1,0A -和D ()1,4-，且D 为顶点列方程求出a 、b 、c ，即可求得解析式；（2）分两种情况讨论：①过点C 作1//CP BD ，交抛物线于点1P ，②在BC 下方作BCF BCE ∠=∠交BG 于点F ，交抛物线于2P ；
（3）QMN 为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当90QM MN QMN =∠=︒，；②当90QN MN QNM =∠=︒，；③当90QM QN MQN =∠=︒，．
【详解】
解：（1）将()1,0A -和D ()1,4-代入2y ax bx c
=++得04
a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩又∵顶点D 的坐标为()
1,4-∴12b a
-=-∴解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
∴抛物线的解析式为：223y x x =--．
（2）∵()3,0B 和()
1,4D -∴直线BD 的解析式为：26
y x =-
∵抛物线的解析式为：223y x x =--，抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于点()1,0A -和点B ，
则C 点坐标为()0,3-，B 点坐标为()3,0．
①过点C 作1//CP BD ，交抛物线于点1P ，
则直线1CP 的解析式为23y x =-，
结合抛物线223y x x =--可知22323x x x --=-，
解得：10x =（舍），24x =，
故()14,5P ．
②过点B 作y 轴平行线，过点C 作x 轴平行线交于点G ，
由OB OC =可知四边形OBGC 为正方形，
∵直线1CP 的解析式为23
y x =-∴1CP 与x 轴交于点3,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，在BC 下方作BCF BCE ∠=∠交BG 于点F ，交抛物线于2
P ∴OCE FCG
∠=∠又∵OC=CG ，90COE G ∠=∠=︒
∴OEC △≌()GFC ASA ，
∴32FG OE ==，33,2F ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，又由()0,3C -可得
直线CF 的解析式为132y x =-，
结合抛物线223y x x =--可知212332
x x x --=-，解得10x =（舍），252
x =，故257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
．综上所述，符合条件的P 点坐标为：()14,5P ，257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
．（3）∵()3,0B ，()
0,3C -∴直线BC 的解析式为3
BC y x =-设M 的坐标为()3m m -，，则N 的坐标为()
223m m m --，∴()22=3233MN m m m m m
----=-∵()1,0A -，()
0,3C -∴直线BC 的解析式为33
AC y x =--∵QMN 为等腰直角三角形
∴①当90QM MN QMN =∠=︒，时，如下图所示
则Q 点的坐标为33m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，∴4=33m m QM m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭∴24=33
m m m -解得：10m =（舍去），2133m =，353m =∴此时154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭
；②当90QN MN QNM =∠=︒，时，如下图所示
则Q 点的坐标为222233m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭
∴222=33
m m m m QM m -+-=∴22=33
m m m m +-解得：10m =（舍去），25m =，32
m =∴此时()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；
③当90QM QN MQN =∠=︒，时，如图所示
则Q 点纵坐标为()()22211113236=32222
m m m m m m m -+--=----∴Q 点的坐标为22111136622m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭
，∴Q 点到MN 的距离=221151+6666
m m m m m --=∴22511+=3662
m m m m ⋅-（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）解得：10m =（舍去），27m =，31
m =∴此时()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．
综上所述，点M 及其对应点Q 的坐标为：154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭
；()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．
【点睛】
本题主要考查二次函数与几何图形．该题综合性较强，属于中考压轴题．
12.（2021·湖南中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如()()1,1,2021,2021……都是“雁点”．
（1）求函数4y x
=图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、
N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．
①求c 的取值范围；
②求EMN ∠的度数；
（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）(2,2)和(2,2)--；（2）①04c <<；②45°；（3）存在，P 点坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
或3122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或3122⎛⎫- ⎪⎝
⎭【分析】
（1）根据“雁点”的定义可得y=x ，再联立4y x
=求出“雁点”坐标即可；（2）根据25y ax x c =++和y=x 可得240ax x c ++=，再利用根的判别式得到4c a =
，再求出a 的取值范围；将点c 代入解析式求出点E 的坐标，令y=0，求出M 的坐标，过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，如图所示，根据EH=MH 得出EMH 为等腰直角三角形，∠EMN 的度数即可求解；
（3）存在，根据图1，图2，图3进行分类讨论，设C （m ，m ），P （x ，y ），根据三角形全等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P 的坐标．
【详解】
解：（1）联立4y x y x
⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩或22
x y =-⎧⎨=-⎩即：函数4y x
=上的雁点坐标为(2,2)和(2,2)--．（2）①联立25y x y ax x c
=⎧⎨=++⎩得240
ax x c ++=∵这样的雁点E 只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，
∴2440
ac ∆=-=∵4
c a
=∵1
a >∴04
c <<②将4c a =代入，得2440E E ax x a
++=解得2k x a =-，∴22,E a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
对于245y x x a α=++，令0y =有2450ax x a
++=解得41,N M x x a a
=-=-∴4,0M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，
EH=2a ，MH=242()a a a
---=∴2
EH MH a ==
∴EMH 为等腰直角三角形，45EMN ∠=︒
（3）存在，理由如下：
如图所示：过P 作直线l 垂直于x 轴于点k ，过C 作CH ⊥PK 于点H
设C （m ，m ），P （x ，y ）
∵△CPB 为等腰三角形，
∴PC=PB ，∠CPB=90°，
∴∠KPB+∠HPC=90°，
∵∠HPC+∠HCP=90°，
∴∠KPB=∠HCP ，
∵∠H=∠PKB=90°，
∴△CHP ≌△PKB ，
∴CH=PK ，HP=KB ，
即3m x y m y x
-=⎧⎨-=-⎩∴3232x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
当32x =时，23315()23224
y =-+⨯+=∴315()24
P ，如图2所示，同理可得：△KCP ≌△JPB
∴KP=JB ，KC=JP
设P （x ，y ），C （m ，m ）
∴KP=x-m ，KC=y-m ，JB=y ，JP=3-x ，
即3x m y y m x
-=⎧⎨-=-⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
令23
-232
x x ++=解得122+1021022x x -=
=，∴2103(,)22P +或2103(,)22
P -如图3所示，
∵△RCP ≌△TPB
∴RC=TP ，RP=TB
设P （x ，y ），C （m ，m ）
即3y m x x m y
-=-⎧⎨-=⎩
解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
令23
-232
x x ++=解得122102-10,=22
x x +=∴此时P 与第②种情况重合
综上所述，符合题意P 的坐标为315()24，或2+103()22，或2103()22
-，【点睛】
本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键．
13.（2021·湖南中考真题）如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，4OB =，8OC =，抛物线的对称轴与直线BC 交于点M ，与x 轴交于点N ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 是对称轴上的一个动点，是否存在以P 、C 、M 为顶点的三角形与MNB 相似？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）D 为CO 的中点，一个动点G 从D 点出发，先到达x 轴上的点E ，再走到抛物线对称轴
上的点F ，最后返回到点C ．要使动点G 走过的路程最短，请找出点E 、F 的位置，写出坐标，并求出最短路程．
（4）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）228y x x =-++；（2）存在，()1,2P 或171,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点()2,0,1,23E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
最短路程为，理由见详解；（4）存在，当以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △时，点
Q ⎝⎭或3322Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，理由见详解．【分析】
（1）由题意易得()()()2,0,4,0,0,8A B C -，然后设二次函数的解析式为()()24y a x x =+-，进而代入求解即可；
（2）由题意易得BMN CMP ∠=∠，要使以点P 、C 、M 为顶点的三角形与△MNB 相似，则可分①当90CPM MNB ∠=∠=︒时，②当90PCM MNB ∠=∠=︒时，进而分类求解即可；（3）由题意可得作点D 关于x 轴的对称点H ，作点C 关于抛物线的对称轴的对称点I ，然后连接HI ，分别与x 轴、抛物线的对称轴交于点E 、F ，此时的点E 、F 即为所求，HI 即为动点G 所走过的最短路程，最后求解即可；
（4）由题意可分①当点Q 在第二象限时，存在等腰Rt CQR △，②当点Q 在第一象限时，
存在等腰Rt CQR △，然后利用“k 型”进行求解即可．
【详解】
解：（1）∵2OA =，4OB =，8OC =，
∴()()()2,0,4,0,0,8A B C -，
设二次函数的解析式为()()24y a x x =+-，代入点C 的坐标可得：88a -=，解得：1a =-，∴二次函数的解析式为()()24y x x =-+-，即为228y x x =-++；
（2）存在以点P 、C 、M 为顶点的三角形与△MNB 相似，理由如下：
由（1）可得抛物线的解析式为228y x x =-++，则有对称轴为直线1x =，
设直线BC 的解析式为y kx b =+，代入点B 、C 坐标可得：408k b b +=⎧⎨=⎩
，解得：28
a b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为28y x =-+，
∴点()1,6M ，()1,0N ，
∴由两点距离公式可得3,6,BN MN BM CM ====若使以点P 、C 、M 为顶点的三角形与△MNB 相似，则有BMN CMP ∠=∠，
①当90CPM MNB ∠=∠=︒时，则有//CP x 轴，如图所示：
∴点()1,8P ，
②当90PCM MNB ∠=∠=︒时，如图所示：
∴
35562
PM BM CM MN =∴52
PM =，∴点171,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）由题意得：动点G 从点D 出发，先到达x 轴上的点E ，再走到抛物线对称轴上的点F ，最后返回到点C ．根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知要使点G 走过的路程最短则有作点D 关于x 轴的对称点H ，作点C 关于抛物线的对称轴的对称点I ，然后连接HI ，分别与
x 轴、抛物线的对称轴交于点E 、F ，此时的点E 、F 即为所求，HI 即为动点G 所走过的最短路程，如图所示：
∵OC=8，点D 为CO 的中点，
∴OD=4，
∴()0,4D ，
∵抛物线的对称轴为直线1x =，
∴()()2,8,0,4I H -，
设直线HI 的解析式为y kx b =+，则把点H 、I 坐标代入得：284k b b +=⎧⎨=-⎩
，解得：64k b =⎧⎨=-⎩
，∴直线HI 的解析式为64y x =-，
当y=0时，则有064x =-，解得：23x =
，当x=1时，则有6142y =⨯-=，。