完全平方公式解

完全平方公式讲解
第一部分概念导入
1．问题：根据乘方的定义,我们知道：a2=a·a,那么a+b2应该写成什么样的形式呢a+b2的运算结果有什么规律计算下列各式,你能发现什么规律
1p+12=p+1p+1=_______；m+22=_______；
2p-12=p-1p-1=________；m-22=_______；
2．学生计算
3．得到结果：1p+12=p+1p+1=p2+2p+1
m+22=m+2m+2= m2+4m+4
2p-12=p-1p-1= p2-2p+1
m-22=m-2m-2=m2-4m+4
4．分析推广：结果中有两个数的平方和,而2p=2·p·1,4m=2·m·2,恰好是两个数乘积的二倍;12之间只差一个符号;
推广：计算a+b2=_____ ___ a-b2=_____ ___ 2
得到公式,分析公式
1．结论：a+b2=a2+2ab+b2 a-b2=a2-2ab+b2 即：
两数和或差的平方,等于它们的平方和,加或减它们的积的2倍．
2公式特征
左边：二项式的平方
右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和．
注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号,则2ab取“＋”,若这两项异号,则2ab的符号为“－”．
3公式中字母可代表的含义
公式中的a和b可代表一个字母,一个数字及单项式．
4几何解释
图1－5
图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①a＋b2②a2＋2ab＋b2,由于这两个代数式表示同一块面积,所以应相等,即a＋b2＝a2＋2ab＋b2
因此,用几何图形证明了完全平方公式的正确性．
学习方法指导
例1计算
13a＋2b22mn－n22
点拨：运用完全平方式的时候,要搞清楚公式中a,b在题目中分别代表什么,在展开的过程中要把它们当作整体来做,适当的地方应打括号,如：进行平方的时候．同时应注意公式中2ab的符号．解：13a＋2b2＝3a2＋2·3a·2b＋2b2＝9a2＋12ab＋4b2
注意：2中n 2的指数2与公式中b 2的二次方所代表含义不同,所以在展开过程中不要漏掉“二次方”． 例2计算
1－m －n 2 2－5a －25a ＋2
点拨：1可直接用完全平方公式．由于－m 与－n 是同号,所以公式中的2ab 取“＋”．2中两个二项式虽然不同,但若将第一个括号中的“－”提出,则剩下的两个括号里的项完全相同,可利用完全平方公式进行计算．
解：1－m －n 2
＝－m 2＋2·－m －n ＋－n 2
＝m 2＋2mn ＋n 2
2－5a －25a ＋2
＝－5a ＋25a ＋2
＝－5a ＋22
＝－25a 2＋20a ＋4
＝－25a 2－20a －4
小结：由2可知,将两个二项式相乘,两个括号里的每一项都相反的话,可先作适当调整,再利用完全平方公式进行计算．
例3计算
1x －2y 2－x －yx ＋y
2m －nm 2－n 2m ＋n
点拨：1可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算,再化简．2可先利用平方差公式将m －n 与m ＋n 相乘,再将所得结果m 2－n 2与中间括号里的m 2－n 2相乘,可利用完全平方公式．
解：1x －2y 2－x －yx ＋y
＝x 2－4xy ＋4y 2－x 2－y 2
＝x 2－4xy ＋4y 2－x 2＋y 2
＝－4xy ＋5y 2
2m －nm 2－n 2m ＋n
＝m －nm ＋nm 2－n 2
＝m 2－n 2m 2－n 2
＝m 22－2·m 2·n 2＋n 22
＝m 4－2m 2n 2＋n 4
说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式,是因为应用公式可以简化运算,若想不到,用多乘多也可． 例4计算：x ＋2y 2－x －2y 2
点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开,第二种方法是可利用平方差公式逆运算：a 2－b 2＝a
＋ba －b ,将此题转化为平方差公式进行计算．
解法一：x ＋2y 2－x －2y 2
＝x 2＋xy ＋4
2y －x 2－xy ＋42y ＝x 2＋xy ＋42
y －x 2＋xy －42y
＝2xy
解法二：
例5计算：a －2b ＋1a ＋2b －1
点拨：此题“三项式乘三项式”,且这两个括号中的三项只有符号不同．先找出两个括号中完全相同的项放在一起,再把互为相反数的项放在一起,构成a ＋ba －b 的形式,利用平方差公式进行简化运算．
关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化,要保证代数式在形式发生变化的同时,大小不变 随堂练习
一、选择题
1．下列运算中,正确的是
A ．3a+2b=5ab
B ．a －12=a 2－2a+1
C ．a 6÷a 3=a 2
D ．a 45=a 9
2．下列运算中,利用完全平方公式计算正确的是
A ．x+y 2=x 2+y 2
B ．x －y 2=x 2－y 2
C ．－x+y 2=x 2－2xy+y 2
D ．－x －y 2=x 2－2xy+y 2
3．下列各式计算结果为2xy－x2－y2的是
A．x－y2B．－x－y2C．－x+y2D．－x－y2
4．若等式x－42=x2－8x+m2成立,则m的值是
A．16 B．4 C．－4 D．4或－4 二、填空题
5．－x－2y2=_____．
6．若3x+4y2=3x－4y2+B,则B=_____．
7．若a－b=3,ab=2,则a2+b2=______．
8．_____－1
3
y2=
9
4
x2－xy+______；_____2=
9
16
a2－6ab+_____．
三、解答题
9．利用完全平方公式计算：120082；2782．
10．先化简,再求值：2x－1x+2－x－22－x+22,其中x=－1 3
．
11.利用公式计算：1962
12.某正方形边长a cm,若把这个正方形的边长减小3 cm,则面积减少了多少
13.已知x+y=1,求1
2
x2+xy+
1
2
y2的值．
14.已知a+1
a
=5,分别求a2+
2
1
a
,a－
1
a
2的值
15.为了扩大绿化面积,若将一个正方形花坛的边长增加3米,•则它的面积就增加39平方米,求这个正方形花坛的边长．
16.小明在计算2
222009200820092007200920092
+-时,找不到计算器,去向小华借,小华看了看题说根本不需要用计算器,而且很快说出了答案．你知道他是怎么做的吗
17．已知：a ＋b ＝－5,ab ＝－6,求a 2＋b 2．
18.利用公式计算：992－1
19.计算 1)1)(1(+-ab ab ； 2)32)(32(---x x ；
31022； 4992.
5)1)(1(-+++b a b a ；62)2(p n m +
-.
20.一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加392cm ,这个正方形的边长是多少
21.当2)2()23)(23(1,1b a b a b a b a
---+=-=时，求的值
22.求证：当n 为整数时,两个连续奇数的平方差22)12()12(--+n n 是8的倍数
23.观察下列等式：
10122=-,31222=-,52322=-,73422=-,……
请用含自然数n 的等式表示这种规律为：________________.
24.已知2294y Mxy x
+-是一个完全平方式,求M 的值.
年12月1日是星期四,请问：再过20052天的后一天是星期几
答案
一、
1．B
2．C 点拨：x+y 2=x 2+2xy+y 2,所以A 不正确；x －y 2=x 2－2xy+y 2,所以B 不正确；－x+y 2=－x 2+2－x·y+y 2=x 2－2xy+y 2,所以C 正确；
－x －y 2=x+y 2=x 2+2xy+y 2,所以D 也不正确,故选C ．
3．D
4．D 点拨：因为x －42=2－8x+16,所以若x －42=x 2－8x+m 2成立,
则m 2=16,从而得m=±4,故选D ．
二、
5．x 2+4xy+4y 2 点拨：－x －2y 2=－x+2y 2=x+2y 2=x 2+4xy+4y 2．
6．48xy 点拨：B=3x+4y 2－3x －4y 2=9x 2+24xy+16y 2－9x 2－24xy+16y 2•=•9x 2+•24xy+16y 2－92+24xy －16y 2=48xy ．
7．13 点拨：因为a －b=3,ab=2,所以a 2+b 2=a －b 2+2ab=32+2×2=9+4=13．
8．32x ；19y 2；34a －4b ；16b 2
三、
9．解：120082=2000+82=20002+2×2000×8+82=4000000+32000+64=4032064；
2782=80－22=802－2×80×2+22=6400－320+4=6084．
10．解：2x －1x+2－x －22－x+22=2x 2+4x －x －2－x 2－4x+4－x 2+4x+4
=2x 2+3x －2－x 2+4x －4－x 2－4x －4=3x －10．
当x=－13时,原式=3×－13
－10=－1－10=－11． 11.思路：196接近整数200,故196＝200－4,则此题可化为200－42,利用完全平方公式计算． 解：1962
① ＝200－42 ②
＝2002－2×200×4＋42
＝40000－1600＋16＝38416
说明：Ⅰ．可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算．
12.思路：先分别表示出新旧正方形的边长,再根据“正方形面积＝边长×边长”,表示出两个正方形的面积,用“大－小”即可得出所求．计算的关键在完全平方式的展开．
解：原正方形面积：a 2
现正方形面积：a －32
面积减少了a 2－a －32＝a 2－a 2－6a ＋9＝a 2－a 2＋6a －9＝6a －9cm 2
答：面积减少了6a －9 cm 2．
13.解：因为x+y=1,所以x+y 2=1,即x 2+2xy+y 2=1． 所以12x 2+xy+12y 2=12x 2+2xy+y 2=12×1=12．
点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式,从而巧妙求值．
14.因为a+1a =5,所以a 2+21a =a+1a 2－2·a·1a =52－2=23,
所以a －1a 2=a 2+21a －2·a·1a =23－2=21．
点拨：注意公式的一些变形形式,例如：a 2+b 2=a+b 2－2ab,a 2+b 2=a －b 2+2ab,a+b 2=a －b 2+4ab,a －b 2=a+b 2－4ab 等等．
15.解：设这个正方形花坛的边长为x 米,依题意列方程得,x+32－x 2=39,•
即x 2+6x+9－x 2=39,6x=30,x=5．
答：这个正方形花坛的边长为5米．
点拨：适当引进未知数,•根据题中的相等关系得到方程,解方程即可．
16．解：知道,做法如下：
2
222009200820092007200920092+-=22220092008(200920081)(200920081)2
-++- =2
22200920082009200822009200812009200822009200812
-⨯+++⨯+- =2220092008220092008⨯=12．
点拨：由2=－12,2=+12,运用完全平方公式化简即可．
17.点拨：同时存在a ＋b ,ab ,a 2＋b 2的公式为完全平方公式a ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2,将题目中所给条件分别看作整体,代入公式即可．
注意：Ⅰ．不要分别求出a 和b ,运算繁琐．
Ⅱ．若已知a ＋b 或a －b ,ab ,a 2＋b 2中的二者,都可利用完全平方公式求出第三者．
解：a 2＋b 2＝a ＋b 2－2ab
当a ＋b ＝－5,ab ＝－6时
原式＝－52－2×－6＝25＋12＝37．
18.点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案．
19.点拨1符合平方差公式的特征,只要将ab 看成是a,1看成是b 来计算.
2利用加法交换律将原式变形为)23)(23(x x --+-,然后运用平方差公式计算.
3可将102
2改写为2)2100(+,利用两数和的平方公式进行简便运算. 4可将992改写为2)1100(-,利用两数差的平方公式进行简便运算.
解：1)1)(1(+-ab ab =11)
(222-=-b a ab ； 2)32)(32(---x x
= )23)(23(x x --+-=22249)2()3(x x -=--； 3102
2= 2)2100(+=1040444001000022100210022=++=+⨯⨯+； 4992=2)1100(-=98011200100001110021002=+-=+⨯⨯-.
点拨5,6两个因式中都含有三项,把三项看成是两项,符号相同的看作是一项,符号相反的看作是一项,运用公式计算,本题可将)(b a +看作是一项.
先将三项看成是两项,用完全平方公式,然后再用完全平方公式计算.
解：5)1)(1(-+++b a b a =121)(]1)][(1)[(222-++=-+=-+++b ab a b a b a b a ； 62)2(p n m +-=222)2(2)2(])2[(p p n m n m p n m +⋅-⋅+-=+-
=2224244p np mp n mn m +-++-.
点评1.在运用平方差公式时,应分清两个因式中是不是有一项完全相同,有一项互为相反数,这样才可以用平方差公式,否则不能用；2.完全平方公式就是求一个二项式的平方,其结果是一个完全平方式,两数和或差的平方,等于这两个数的平方和,加上或减去这两个数乘积的2倍,在计算时不要发生：222)(b a b a +=+或222)(b a b a -=-这样的错误；3.当因式中含有三项或三项以上时,要适当的分组,看成是两项,用平方差公式或完全平方公式.
20. 点拨如果设原正方形的边长为xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解.
解：设原正方形的边长为xcm,则39)3(22+=+x x
即399622+=++x x x ,解得 x=5.
答:这个正方形的边长是5cm .
21. 点拨先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后,再将a 、b 的值代入计算出结果.
解：)44(49)2()23)(23(22222b ab a b a b a b a b a
+---=---+ =2222228484449b ab a b ab a b a
-+=-+--； 当时，1,1=-=b a
222848)2()23)(23(b ab a b a b a b a -+=---+=8-181)1(42-⨯-+=-4.
22.点拨运用完全平方公式将22)12()12(--+n n
化简,看所得的结果是否是8整数倍. 证明:22)12()12(--+n n
=)144(14422+--++n n n n =n n n n n 814414422=-+-++,
又∵n 为整数,∴8n 也为整数且是8的倍数.
23.点拨本题是属于阅读理解,探索规律的题目,认真观察、分析已知的等式的特点,从中总结出规律.同学们相互研讨交流一下.答案为:n n n n n 且1(12)1(22≥-=--为整数.
24.点拨已知条件是一个二次三项式,且是一个完全平方式,
22y x 与项的系数分别为4和9,所以这个完全平方式应该是2)32(y x ±,由完全平方公式就可以求出M.
解：根据2)32(y x
±=229124y xy x +±得: 12±=-M . ∴12±=M
答:M 的值是±12.
25.点拨因为每个星期都有7天,要求再过2005
2天的后一天是星期几,可以想办法先求出20052是7的多少倍数还余几天. 解：20052=93)2867(2)2867()3286
7(22+⨯⨯⨯+⨯=+⨯ =277)2866()2867(2++⨯⨯+⨯.
显然2005年12月1日是星期四,再过2005
2天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日.。