实数典型例题的探索1
初一数学实数典型例题
=-3
5、估算思想
估算思想是一种重要的数学思维方法，估算思想就是在处理问题时，采用估算的方法达到问题解决的目的，在遇到无理数的大小比较或确定无理数的范围等问题时，常用到估算的方法进行解决。
2、实数与数轴
实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．观察下图（图1中是用单位圆找到 的位置；图2中用边长为1的正方向找到 的位置）：
图1图2
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。
解：由m≠x≠y，∴x—m≠0，y—m≠0
又被开方数x—m≥0，m—y≥0即y—m≤0
即有x—m＞0，y—m＜0
而被开方数 ∴ ∴m＝0
将m=0代入等式，得 ∴x＝－y＞0
∴ ＝ ＝ ＝
【题型5】实数大小比较
（一）差值比较法
差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a－b﹥0时，得到a﹥b。
分析：－2、 将数轴分为三部分，应讨论化简
解答：依题意作图如4所示，
①当a＜－2时，|a+2|－|2a－3|=－a－2+2a－3=a－5
②当－2≤a≤ 时，|a+2|－|2a－3|=a+2－（3－2a）=3a－1
③当a＞ 时，|a+2|－|2a－3|=a+2－（2a－3）=－a+5。
点评：将使绝对值里为0的数(零点)标在数轴上，可将实数分为几部分，然后进行讨论。
2014中考数学名师课件：第1课时 实数的有关概念(考点管理+归类探究+易错警示+课时作业,均13年典型题)
( A
)
B．－2 1 D．± 2
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填空题： 0 ． (1)相反数等于它本身的数是______ ±1 ． (2)倒数等于它本身的数是_______ 0或1 ． (3)平方等于它本身的数是________ (4)平方根等于它本身的数是_____ 0 ． 0或正数 ． (5)绝对值等于它本身的数是__________ ±1或0 ． (6)立方等于它本身的数是_________
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第一部分
数与代数
第一单元 实数 第1课时 实数的有关概念
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1．数轴上的点与实数一一对应． －a ． 2．(1)实数a的相反数是_________ |b| ． a＋b ＝0，|a|＝______ (2)若a，b互为相反数，则有________ 零 ． (3)相反数等于它本身的数是_______ 3．(1)零是唯一没有倒数的数．
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1．[2013· 台州]－2的倒数为 1 1 A．－ B. 2 2 C．2 D．1
( A )
2．[2013· 义乌]在2，－2，8，6这四个数中，互为相反数
的是
A．－2与2 C．－2与6 B．2与8 D．6与8
( A )
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思想，分类讨论思想和数形结合思想．
专题01：有理数与实数
专题01：有理数与实数01—1：正负数、有理数C级突破【知识梳理】1. 正负数是互为相反意义的两个量2. 有理数可分为：正数、__ 0__ 、__负数___。
还可以分为整数、分数。
3. 整数包括：正整数、_ _0__、负整数；分数包括：正分数、负分数。
4. 0 既不是正数，也不是负数。
5. 非负整数包括：0 、正整数；非正整数包括：0 、负整数。
题1. 某班8名同学的体重(单位：千克）分别为：52, 51.5， 49.5， 50.5， 45， 56， 47.5，42.5你能设定一个标准用正负数表示他们的体重吗？题2. 在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作＋0.02克，那么－0.03克表示什么？题3. 辨析：（1）一个数不是正数就是负数（）是负数（）（2）a是正数，a题4. 填空：在这样一组数中 －4.5， 3.14， －2， ＋43， .0.6-， 0.618， 851，0，－0.212，184-，有负数： 个；分数： 个；正分数： 个；负整数： 个；非正整数： 个；非负整数： 个。
B 级突破题1. 辨析：（1）π是有理数 （ ） （2）23-是非正数，非正数就是负数（ ） （3）0215.23、、、等都是非负整数（ ）题2. 下列说法正确的个数是 ( )①一个有理数不是整数就是分数 ②一个有理数不是正数就是负数 ③一个整数不是正的，就是负的 ④一个分数不是正的，就是负的 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个题3. 某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为（25±0.1）kg,（25±0.2）kg, （25±0.3）kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ）（A ）0.2kg （B ）0.6kg （C ）0.5kg （D ）0.4kg01—2：数轴C级突破【知识梳理】画一条水平直线，在直线上取一点表示O（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到下面的数轴。
实数知识点及例题
实数习题集【知识要点】1．实数分类：2．相反数：b a ,互为相反数 0=+b a4．倒数：b a ,互为倒数0;1=ab 没有倒数.5．平方根，立方根：==x ，a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2±a . 若a x ，a x a x 33,==记作的立方根叫做数则数6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法.实数易错题分类汇总典型例题一：计算1.计算()2010200902211-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-的结果是【答案】-1 2． ()()212321-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--π的值为【答案】13.下列计算中，正确的是（ ）A ．020= B ．2a a a =+C3=±D ．623)(a a =【答案】D4.下列运算正确的是（ ）A ．1331-÷＝ Ba = C ．3.14 3.14ππ-=- D ．326211()24a b a b =典型例题二：估算 1．82cm 接近于（ ）实数有理数无理数 整数（包括正整数，零，负整数） 分数（包括正分数，负整数）正无理数 负无理数)0(>a 3．绝对值： =aa 0 a -)0(=a )0(<aA ．珠穆朗玛峰的高度B ．三层楼的高度C ．姚明的身高D ．一张纸的厚度 【答案】C2.如图，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b ，则下列结论正确的是( )A ．0>abB ．0>-b aC ．0>+b aD ．0||||>-b a【答案】D典型例题三：应用题1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为（ ） A ．8人 B ．9人 C ．10人 D ．11人【答案】B.2.一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了 【注：销售利润率=（售价—进价）÷进价】 【答案】40%典型例题四：信息与推断题1.观察下列算式，用你所发现的规律得出20102的末位数字是（ ）21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，… A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B 2.观察下列算式：,65613,21873,7293,2433,813,273,93,1387654321========，通过观察，用你所发现的规律确定20023的个位数字是（ ）A.3B.9C.7D.1 【答案】B 3．观察下列各式：()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯ ()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯ ()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯……计算：3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)=（ ）A ．97×98×99B ．98×99×100C ．99×100×101D ．100×101×102 【答案】C4．已知：3212323=⨯⨯=C ，1032134535=⨯⨯⨯⨯=C ，154321345646=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C ，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算=610C ． 【答案】210典型例题五：比较大小10 -1 a b B A1. 31.0与1.02.331与213. 215--与－2 4. 2003－2002与2002－2001作业：设2的整数部分为a ，小数部分为b ,则1＋2a b －2b =第三讲 平移、旋转与对称专题例题精讲1. 正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D 点顺时针方向旋转90后，B 点的坐标为（ ）A ．(22)-，B ．(41)，C ．(31)， D ．(40)，随堂练习1下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（ ）．2.观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例题精讲2将图(六)的正方形色纸沿其中一条对角线对折后，再沿原正方形的另 一条对角线对折，如图(七)所示。
实数知识点总结及典型例题练习
实数知识点总结考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0）0≥a==a a 2 -a （a <0） ；注意a 的双重非负性：a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
实数知识点归纳及典型例题
第十三章实数----知识点总结一、算术平方根1.算术平方根的定义：一般地，如果的等于a ，即，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为，读作“根号a ”，a 叫做．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2(x ≥0)中，规定a x =。
理解：a x =2(x ≥0)a x =a 是x 的平方x 的平方是ax 是a 的算术平方根a 的算术平方根是x 2.a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
3.当被开方数扩大(或缩小)时，它的算术平方根也扩大(或缩小)；4.夹值法及估计一个（无理）数的大小（方法：）二、平方根1.平方根的定义：如果的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的．即：如果，那么x 叫做a 的． 理解：a x =2<—>a x ±=a 是x 的平方x 的平方是ax 是a 的平方根a 的平方根是x2.开平方的定义：求一个数的的运算，叫做．开平方运算的被开方数必须是才有意义。
3.平方与开平方：±3的平方等于9，9的平方根是±34.一个正数有平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数平方根，即负数不能进行开平方运算5.符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．6.平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
三、立方根1.立方根的定义：如果的等于a ，这个数叫做a 的（也叫做），即如果，那么x 叫做a 的立方根。
2.一个数a “三次根号a ”，其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
理解：a x =3<—>3a x =a 是x 的立方x 的立方是ax 是a 的立方根a 的立方根是x3.一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。
实数1
0.12121121112… 3
…}
无理数集合{ 27
正实数集合{ 3 1
2
…}
…} …}
27
负实数集合{ 3 8 -0.5 -3.14159
讨论
有理数都可以用数轴上 的点来表示，反过来，数轴 上的点是否都表示有理数？
实数和数轴前，古希腊有一位伟大的数学家——毕达 哥拉斯。他最伟大的贡献就是发现了“勾股定理”。所 以直到现在，西方人仍然称勾股定理为“毕达哥拉斯定 理”。据传说，当勾股定理被发现之后，毕达哥拉斯学 派的成员们曾经杀了99头牛来大摆筵席，以示庆贺。
其后不久，他的弟子希勃索斯(Hippasus)通过勾股 定理，发现了一个惊人的事实，边长为1的正方形的对 角线长度并不是有理数。这下可惹祸了，因为毕达哥拉 斯一向认为“万物兼数”，而他所说的“数”，仅仅是 整数与整数之比，也就是现代意义上的“有理数”（整 数和分数的统称）。也就是说，他认为除了有理数以外， 不可能存在另类的数。
当希勃索斯提出他的发现之后，毕达哥 拉斯大吃一惊，原来世界上真的有“另类数” 存在。 15世纪意大利著名画家达.芬奇称之 为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普 勒称之为“不可名状”的数。这一发现使该 学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们 在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁， 受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。 希勃索斯终于为宣传科学而献出了宝贵 的生命，这在科学史上留下了悲壮的一页。 正因为希勃索斯发现了无理数，数的概念才 得以扩充。从此，数学的研究范围扩展到了 实数领域。
2.5实数（1）
探索： 边长为1的正方形的 对角线的长是多少？ 1 D A 1
2
BD2=12+12
初中奥数-专题一(实数)
专题一 实数第一讲 数的整除（一）一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y例2己知五位数x 1234能被12整除，求X例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数三、练习1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2若四位数a12X能被11整除，那么X＝__________-3若五位数3435m能被25整除4当m=_________时，59610能被7整除5当n=__________时，n6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？1234能被15整除，试求A的值。
人教版初一数学第六章实数典型例题及答题技巧
人教版初一数学第六章实数典型例题及答题技巧单选题1、下列实数为无理数的是（）A．-5B．7C．0D．π2答案：D解析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．A、﹣5是整数，是有理数，选项错误；是分数，是有理数，选项错误；B、72C、0是整数，是有理数，选项错误；D、π是无理数，选项正确.故选D．小提示：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2、下列四个数中，最大的有理数是（）A．-1B．-2019C．√3D．0答案：D解析：根据有理数大小比较判断即可；已知选项中有理数大小为0＞−1＞−2019，故答案选D．小提示：本题主要考查了有理数比大小，准确判断是解题的关键．3、如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为√3时，输入值x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为√2；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（）A．①②B．②④C．①④D．①③答案：D解析：根据运算规则即可求解．解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；②输入值x为16时，√16=4，,√4=2，y=√2，故②说法正确；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．其中错误的是①③．故选：D．小提示：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．4、下面四位数学家里有三位对π进行了深入的研究，其中有一位研究方向在其他方面，这位数学家是( ) A．祖冲之B．张衡C．刘徽D．杨辉答案：D解析：根据中国古代数学家对圆周率的研究逐项判断即可.A、祖冲之，他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率π”精算到小数第七位，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献B、张衡，他研究过球的外切立方体积和内接立方体积，研究过球的体积，其中还定圆周率值为10的开方，这个值比较粗略，但却是中国第一个理论求得π的值C、刘徽，首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法D、杨辉，他的数学研究重点在于改进筹算乘除计算技术，总结各种乘除捷算法故选：D.小提示：本题考查了关于圆周率的史实，掌握相关史实是解题关键.5、25的平方根是（）A．5B．-5C．±5D．±√5答案：C解析：如果一个数x的平方等于a，那么x是a是平方根，根据此定义即可解题．解：∵（±5）2＝25∴25的平方根±5．故选C．小提示：本题主要考查了平方根定义，关键是注意一个正数有两个平方根．6、√3﹣2的绝对值是（）A．2−√3B．√3−2C．√3D．1答案：A解析：根据差的绝对值是大数减小数，可得答案．解：√3﹣2的绝对值是2﹣√3．故选：A．小提示：本题主要考查了绝对值化简，准确分析计算是解题的关键．7、4的算术平方根是（）A．-2B．2C．±2D．√2答案：B解析：4的算术平方根是2．故选B ．小提示：本题考查求一个数的算术平方根．掌握算术平方根的定义是解题关键．8、下列四个实数中，是无理数的为（ ）A ．0B ．27C ．−2D ．√3 答案：D解析：根据无理数的定义“也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比”即可．由无理数的定义得：四个实数中，只有√3是无理数故选：D ．小提示：本题考查了无理数的定义，熟记定义是解题关键．填空题9、若√x 3+√y 3=0，则x 与y 关系是______．答案：x+y=0解析：先移项，然后两边同时进行三次方运算，继而可得答案.∵√x 3+√y 3=0，∴√x3=−√y3，∴（√x3）3=（−√y3）3，∴x=-y，∴x+y=0，故答案为x+y=0.小提示：3)=a是解题的关键.本题考查了立方根，明确(√a10、数学家发明了一个魔术盒，当任意“数对” (a,b)进入其中时，会得到一个新的数：a2−b+1，例如把(3,−2)放入其中，就会得到32−(−2)+1=12，现将“数对”(−3,−2)放入其中后，得到的数是__________．答案：12解析：根据题中“数对”的新定义，求出所求即可．解：根据题中的新定义得：（-3）2+2+1=9+2+1=12，所以答案是：12．小提示：此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．11、一个正数的两个平方根的和是__________，商是__________．答案： 0 -1解析：根据平方根的性质可知一个正数的两个平方根互为相反数，由此即可求出它们的和及商．∵一个正数有两个平方根，它们互为相反数，∴一个正数的两个平方根的和是0，商是-1．故答案为0，-1．小提示：本题考查了平方根的定义．注意：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根．④1或0平方等于它的本身．12、将实数√5，π，0，﹣6由小到大用“＜”号连起来，可表示为_____．答案：﹣6<0<√5<π解析：正数大于0和负数，0大于负数，所以-6＜0＜√5＜π，故答案为-6＜0＜√5＜π.13、观察下列各式：√1+112+122=1+11×2，√1+122+132=1+12×3，√1+132+142=1+13×4，……请利用你所发现的规律，计算√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+…+√1+192+1102，其结果为_______．答案：9910解析：直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．由题意可得：√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+...+√1+192+1102 =1+11×2+1+12×3+1+13×4+ (1)19×10 =9+（1﹣12+12﹣13+13﹣14+…+19﹣110） =9+910=9910．故答案为9910． 小提示：：此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．解答题14、计算：(−3)2−√16+|−2|．答案：7解析：先算平方、绝对值、二次根式化简，再计算加减法即可求解．解：原式=9-4+2=7．小提示：本题考查了实数的运算，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握平方、二次根式、绝对值等知识点的运算．15、如果一个正数m的两个平方根分别是2a－3和a－9，求2m－2的值．答案：48解析：根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a的值，利用平方根和平方的关系求出m，再求出2m-2的值．解：∵一个正数的两个平方根分别是2a－3和a－9，∴(2a－3)+(a－9)=0，解得a= 4，∴这个正数为(2a－3) 2=52=25，∴2m－2=2×25－2= 48；故答案为48.小提示：本题考查平方根.。
中考数学常考易错专题 1-1《实数》
实数易错清单1.用科学记数法表示较大或较小的数时指数n的确定.【例1】(2014·湖北随州)2013年,我市以保障和改善民生为重点的“十件实事”全面完成,财政保障民生支出达74亿元,占公共财政预算支出的75%,数据74亿元用科学记数法表示为().A. 74×108元B. 7.4×108元C. 7.4×109元D. 0.74×1010元【解析】①本题考查了科学记数法的相关知识.一些较大的数,可以用a×10n的形式来表示,其中1≤a<10,n是所表示的数的整数位数减1.②a×10n中n所表示的数容易搞错.74亿元=7.4×109元.【答案】 C2.实数的运算,要先弄清楚按怎样的顺序进行,要注意负指数幂、零次幂和三角函数等在算式中的出现.【解析】本题考查实数的运算法则、方法、技巧.运算时要认真审题,确定符号,明确运算顺序.本题易错点有三处:①不能正确理解算术平方根、负指数幂、绝对值的意义;②不能正确确定符号;③把三角函数值记错.3.实数计算中整体思想的运用.【例3】(2014.甘肃兰州)为了求1+2+22+23+...+2100的值,可令S=1+2+22+23+ (2100)则2S=2+22+23+24+…+2101,因此2S-S=2101-1,所以S=2101-1,即1+2+22+23+…+2100=2101-1,仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是.【解析】根据等式的性质,可得和的3倍,根据两式相减,可得和的2倍,根据等式的性质,可得答案.设M=1+3+32+33+…+32014,①则3M=3+32+33+…+32015.②②-①得2M=32015-1,两边都除以2,得名师点拨1.能记住有理数、数轴、相反数、倒数、绝对值等概念,运用概念进行判断.2.能说明任意两个有理数之间的大小关系.3.能利用有理数运算法则熟练进行有理数的混合运算.4.利用科学记数法表示当下热点问题.5.能解释实数与数轴的一一对应关系.6.能利用估算思想估算一个无理数的大致大小.7.能利用运算律快速进行实数的运算.提分策略1.实数的运算.(1)在进行实数的混合运算时,首先要明确与实数有关的概念、性质、运算法则和运算律,要弄清按怎样的运算顺序进行.中考中常常把绝对值、锐角三角函数、二次根式结合在一起考查.(2)要注意零指数幂和负指数幂的意义.负指数幂的运算:a-p=(a≠0,且p是正整数),零指数幂的运算:a0=1(a≠0).【例1】计算:+(-1)0+2×(-3).【解析】根据零指数幂:a0=1(a≠0),以及负整数指数幂运算法则得出即可.【答案】原式=5+1-6=0.2.实数的大小比较.两个实数的大小比较方法有:(1)正数大于零,负数小于零;(2)利用数轴;(3)差值比较法;(4)商值比较法;(5)倒数法;(6)取特殊值法;(7)计算器比较法等.3.探索实数中的规律.关于数式规律性问题的一般解题思路:(1)先对给出的特殊数式进行观察、比较;(2)根据观察猜想、归纳出一般规律;(3)用得到的规律去解决其他问题.对数式进行观察的角度及方法:(1)横向观察:看等号左右两边什么不变,什么在变,以及变化的数字或式子间的关系;(2)纵向观察:将连续的几个式子上下对齐,观察上下对应位置的式子什么不变,什么在变,以及变化的数字或式子间的关系.【例3】观察下列等式:请解答下列问题:(1)按以上规律列出第5个等式:a5= = ;(2)用含n的代数式表示第n个等式:a n= = (n为正整数);(3)求a1+a2+a3+a4+…+a100的值.专项训练一、选择题2. (2014·河南洛阳模拟)在实数中,最小的数是().A. 0B. -πC. D. -43. (2014·浙江温州模拟)在0,-1,-2,-3.5这四个数中,最小的负整数是().A. 0B. -1C. -2D. -3.54. (2014·江苏泰州洋思中学模拟)在数轴上表示-2的点离原点的距离等于().A. 2B. -2C. ±2D. 45. (2014·浙江杭州模拟)若|x-5|=5-x,则下列不等式成立的是().A. x-5>0B. x-5<0C. x-5≥0D. x-5≤06. (2014·安徽安庆二模)数轴上点A表示的实数可能是().(第6题)8. (2013·吉林镇赉县一模)下列各数中最大的是().A. -2B. 09. (2013·浙江湖州模拟) 的平方根是().A. 4B. 2C. ±4D. ±210.(2013·浙江湖州模拟)3月11日,日本发生地震和海啸,3月12日,中国红十字会向日本红十字会提供100万元人民币的紧急援助,同时发出慰问电,向日本受灾群众表示诚挚的慰问,对地震遇难者表示深切的哀悼,并表示将根据灾区需求继续提供及时的人道援助.100万这个数用科学记数法表示为().A. 1.0×104B. 1.0×106C. 1.0×105D. 0.1×10611. (2013·河北三模)在下列各数(-1)0,-|-1|,(-1)3,(-1)-2中,负数的个数为().A. 0B. 1C. 2D. 312. (2013·江苏扬州弘扬中学二模)下列计算错误的是().13. (2013·山东德州一模)-7的相反数的倒数是().二、填空题15. (2014·甘肃天水一模)若0<a<1,则三者的大小关系是.16. (2013·安徽芜湖一模)2012年5月8日,“最美教师”张丽莉为救学生身负重伤,张老师舍己救人的事迹受到全国人民的极大关注,在住院期间,共有695万人以不同方式向她表示问候和祝福,将695万人用科学记数法表示为人.(结果精确到十万位)17.(2013·山东德州一模)某种商品的标价为200元,按标价的八折出售,这时仍可盈利25%,则这种商品的进价是元.三、解答题20. (2014·江苏南通海安县模拟)计算:21. (2014·内蒙古赤峰模拟)计算:22. (2014·甘肃天水一模)计算:|-3|+(-1)2014×(-2)0-+.23. (2013·浙江湖州模拟)计算:24. (2013·广东深圳育才二中一模)计算:参考答案与解析1. C[解析]可利用特殊值法解,例如令n=2,m=-3.2. D[解析]正数大于零,负数小于零,正数大于负数.3. C[解析]-3.5不是整数.4. A[解析]-2的绝对值等于2.5. D[解析]非负数的绝对值等于其相反数.7. D[解析]正数大于零,负数小于零,正数大于负数.10. B[解析]100万=1.0×106.11. C[解析](-1)0=1,-|-1|=-1,(-1)3=-1,(-1)-2=1.13. C[解析]-7的相反数是7,7的的倒数是.16. 7.0×106[解析]695万=6.95×106≈7.0×106.17. 128[解析]设每件的进价为x元,由题意,得200×80%=x(1+25%),解得x=128.18.原式=9+2-1-3+2=9.22.原式=3+1-3+4=5.23.原式=2+2×-3+1-1=1.学法指导: 怎样学好数学☆人生是一种体验，一种经历，一种探索，一种生活，而人生目标，则是一种自我的设定。
最新实数知识点及典型例题
（4）《实数》知识点总结及典型例题练习题第一节、平方根1.平方根与算数平方根的含义平方根：如果一个数的平方等于a ，那么数x 就叫做a 的平方根。
即a x =2，记作x=a ± 算数平方根:如果一个正数x 的平方等于a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，即x 2=a ，记作x=a 。
２.平方根的性质与表示⑴表示：正数a 的平方根用a ±表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根：a ±（根指数２省略） ０有一个平方根，为０，记作00= 负数没有平方根⑶平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数a 的平方根的运算。
a a =2==⎩⎨⎧-a a00<≥a a()a a =2（0≥a ）⑷a 的双重非负性：0≥a 且0≥a （应用较广） 例：y x x =-+-44 得知0,4==y x⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
区分：４的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=４开平方后，得____ (6)若0>>b a ，则b a > (7)())0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a b a b a b a ab b a 典型习题：（1）求算数平方根与平方根1:求下列数的平方根36 0.09 （-4）² 0 1（2）解简单的二次方程3:281250x -= 4 :4(x+1)2=8（3）被开方数的意义5:若为实数,下列代数式中,一定是负数的是( )A. －2B. －(+1)2 C.－D.－(+1)6:实数在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a（4）:有关x 的取值范围目前中考的所有考点 例题：求使得下列各式成立的x 的取值范围 7:53-x8: 当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义9:x-1110.等式1112-=+⋅-x x x 成立的条件是（ ）. A 、1≥x B 、1-≥xC 、11≤≤-xD 、11≥-≤或x(5)非负性知识点：总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．10．已知b a ,是实数，且有0)2(132=+++-b a ，求b a ,的值.11: ．已知实数a 、b 、c 满足，2|a-1|+2b c ++2)21(-c =0,,求a+b+c 的值.13.若111--+-=x x y ，求x ，y 的值。
实数典型例题(含答案)
实数典型例题1、如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．A ．－1B ．1－C ．2－D ．－2答案：C2、已知一个数的平方根为a+3与2a-15，则这个数是多少？答案：49或4413、已知355y +-+-=x x ，求x+y 的值。
4、若m 满足关系式y x y x m y x m y x --+-=-++--+199.19932253，试求m 的值。
答案：m=2015、比较大小：设a=1112-,b=10-11,则a 、b 的大小关系是_______。
答案：b a 〈6、已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为_____。
答案:117、（1）将a a 1-的根号外的a 移入根号内得( )A 、a --B 、a -C 、a -D 、a（2）已知a<b,化简二次根式b a 3-正确的结果是（ ）A 、ab a --B 、ab a -C 、ab aD 、ab a -8、已知实数、、在数轴上的位置如图所示：化简答案：9、已知：=0，求实数a, b的值。
答案：a=7, b=2110、判断下列说法是否正确（1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是±15.（3）当x=0或2时，（4）是分数答案：解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，故的平方根是.。
（3）注意到，当x=0时，=，显然此式无意义，发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0. （4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数.。
11、（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值. （2）把下列无限循环小数化成分数：①②③答案：解：由得的整数部分a=5, 的小数部分，∴（2）解：(1) 设x=①则②②-①得9x=6 ∴.(2) 设①则②②-①，得99x=23∴.(3) 设①则②②-①，得999x=107，∴.12、细心观察图表，认真分析各式，然后解答问题。
1.1实数的概念及运算
(8)、下列说法中，错误的个数是
（C ）
①无理数都是无限小数；②无理数都是开方开不尽的数； ③带根号的都是无理数；④无限小数都是无理数。 A.1个； B.2个； C.3个； D.4个。
9观察下列等式
，
1 1 1 1 2 2
1 1 1 23 2 3
1 1 1 3 4 3 4
．
1 n(n， 1)
．
1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 ． n( n 1)
（3）探究并计算：
1 1 1 1 2 4 4 6 68 2006 2008
• 搞清实数的分类标准，尤其要弄懂无理数的 三种常见形式：① ；②无限不循环小数， 如0.1010010001……；③开方开不尽的数， 如 等。 2 ; tg 60 0 • 绝对值的性质——要注意正确区分数的三种 情况，尤其是负数去掉绝对值应变为其相反 数。 • 实数的大小比较应重点掌握作差法和作商法， 才能更好地有的放矢。
将以上三个等式两边分别相加得：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 2 2 3 3 4 2 2 3 3 4 4 4
，
（1）猜想并写出：
1 1 1 1 （2）直接写出下列各式的计算结果： 1 2 2 3 3 4 2006 2007
无理数集合：{
8
;-π；0.100110001…
1
3.2
}。
中考时刻
（10上海）1.下列实数中，是无理数的为（ C ）
A. 3.14
1 B. 3
C.
3
D. 9
数轴、相反数、绝对值、倒数 例2 1.如图，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上， CD = 6，点 A对应的数为-1，则点B所对应的数为 5 ．
第6章 实数知识点及典型例题
第6章 实数(一) 平方根1、平方根的含义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
即a x =2，(0x a =解得：≥），x 叫做a 的平方根。
正数a 的平方根用a ±表示，其中a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根，也称为算术平方根的相反数。
注意点：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数：记作a ±（根指数２省略）０有一个平方根，为０，记作0=，负数没有平方根。
0=，负数没有算术平方根。
（2）平方与开平方互为逆运算 开平方：求一个数a 的平方根的运算。
2222222223111211214413169141961522516256172891832419361=========（）熟记：，，，，，，，，（4a ≥0)a ≥0)表示非负数a 的算术平方根。
二次根式的要求：①根指数为2 ②被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等，但必须是非负数。
（5）二次根式中字母的取值范围：二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0。
二次根式无意义的条件：被开方数小于0，二次根式做分母时: 被开方数大于0. 例1：求下列各数的平方根：（1）81（2）1625（3）214（4）0.49例2：下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，要说明理由。
（1）－64（2）0（3）()-142（4）102-例3：求下列各数的算术平方根：（1）25（2）4964（3）0.81（4）81例4：求下列各式的值： （1）144（2）-36121（3）±00001.（4）214116+ 例5：（1）已知正方形的边长为5cm ，求这个正方形的面积；（2）已知正方形的面积是25cm 2，求这个正方形的边长。
例6：判断下列语句是否正确，正确的打“√”，错误的画“×”，并将错误改正。
（1）7是()-72的算术平方根； （ ）（2）-25的平方根是±5；（）（3）36等于±6； （） （4）16的平方根是±2；（）（5）6是()-62的平方根； （）（6）10是10的一个平方根； （）（7）正数的平方比它的算术平方根大。
完整版)新浙教版七年级上册数学第三章《实数》知识点及典型例题
完整版)新浙教版七年级上册数学第三章《实数》知识点及典型例题实数是数学中一个重要的概念，它包括有理数和无理数两种。
其中，一个数的平方等于a时，这个数就叫做a的平方根。
一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数。
需要注意的是，零的平方根是零，而负数没有平方根。
另外，一个正数a的平方根表示成±a（读做“正、负根号a”），其中a叫做被开方数。
例如，3的平方根是±3，4的平方根是±2.类似地，一个数a的立方等于a时，这个数就叫做a的立方根。
一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，它们互为相反数。
需要注意的是，立方根等于它本身的数是1和-1.一个数a的立方根表示成3a，其中a叫做被开方数。
例如，3的立方根是33，-8的立方根是-2.实数可以分为有理数和无理数两种。
有理数包括正有理数、负有理数和零，它们可以用分数表示，而无理数则不能用分数表示。
有限小数或无限循环小数都是有理数，而无限不循环小数是无理数。
实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数一样，有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然适用。
最后需要注意的是，在求一个数的平方根时，我们可以使用开平方运算，它可以用平方运算来计算。
例如，一个数的正平方根称为算术平方根，它可以表示为M/N的形式（M、N 均为整数，且N≠0）。
81的平方根是±9.1的立方根是±1.1=±1.-5是5的平方根的相反数。
一个自然数的算术平方根为a，则与之相邻的前一个自然数是a-1.考点三、计算类型题1、设26=a，则下列结论正确的是（）A.4.5<a<5.0B.5.0<a<5.5C.5.5<a<6.0D.6.0<a<6.5答案：B4、对于有理数x，2013-x+（3π-9）^2/4=（3π-10）/2，求x的值。
答案：x=2014-3π考点四、数形结合1.点A在数轴上表示的数为35，点B在数轴上表示的数为-5，则A，B两点的距离为40.2、如图，数轴上表示1，2的对应点分别为A，B，点B 关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）A．2－1 B．1－2C．2－2D．2－2答案：B考点五、实数绝对值的应用1、|3-22|+|3+2|-|2-3|=2考点六、实数非负性的应用1．已知：x²-2x-3≥0，求x的取值范围。