实数经典例题及习题--竞赛
数学竞赛中的“实数”
。
、
y
为 实数 )
，
求 ( 、 丁 )” ／
的值
．
3
A 4
．
如果
．
搿
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4
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则 12
一
一
、 百 赢 了 I的 值 为 ( ／
C
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4
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B
．
石
．
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—
石
D
．
戈
．
如果 6+何
叶
和 6
．
订
3
的小 数 部 分分别 是
口
和 b
，
不 用 计 算 器 和
查 表
．
求
6 的
：
值
1
．
参 考答 案
B
2
．
2
．
．
C
4
．
＝ｍ ， 以 所 ＋ ：一 ＋ ０． ｅ ｒ ｍ＝
所 以 、 ＋ ／
的 值 为 ２ 或 ０ ｍ ．
侧 了 若 ｍ 适 合 关 系 式 Ｖ＇ｘ ５ — － ＋Ｎ ＇ ＋ ｙ ｍ一 — ＋ ｙ ２ ｍ ／ ｘ ３ － ＝、 ３ － ￣ ２
．
％ ９ ／１ ９－ － ｘ ｙ
．
试确 定 ｍ 的值．
联 Ｉ／ ＋Ｉ。．解 、 ± ｌ—－ ． 立｛／。５Ｉ７ 得 ／ １ ， １— ３Ｔ 一３６Ｓ， ’ ｘ ＝ ： ９ ６ ４ １３ Ｓ ２ Ｎ ６＝ ９
２１＋５ ≥ Ｏ Ｓ
— —
．
９
’
因 为
≥ ０， １ ０， 以 Ｉ＞ ｂｌ 所
—
１ ４－３ ≥ ０ Ｓ
—
解 得一
实数经典例题及习题 竞赛
经典例题类型一．有关概念的识别1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）A、1B、2C、3D、4解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数故选C举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（）A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）A、1B、1.4C、D、【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．【变式3】【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10因此3π-9＞0，3π-10＜0∴类型二．计算类型题2．设，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.解析：（估算）因为，所以选B举一反三：【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________. 3）___________，___________，___________.【答案】1）；.2）-3. 3），，【变式2】求下列各式中的（1）（2）（3）【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4类型三．数形结合3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______解析：在数轴上找到A、B两点，举一反三：【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C 表示的数是（）．A．－1 B．1－C．2－D．－2【答案】选C[变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示：化简【答案】：类型四．实数绝对值的应用4．化简下列各式：(1) |-1.4|(2) |π-3.142|(3) |-| (4) |x-|x-3|| (x≤3)(5) |x2+6x+10|分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
中考数学模拟题汇总《实数》练习题及答案
中考数学模拟题汇总《实数》练习题及答案一、选择题1.2021的倒数是（）A．﹣2021 B．2021 C．D．﹣2.2021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学爱好者参加．阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风尚．5万用科学记数法表示为（）A．0.5×105B．5×104C．50×104D．5×1053．化简(1)--的结果为()A．1-B．0 C．1 D．24．据《吉林日报》2022年5月14日报道，第一季度一汽集团销售整车70060辆，数据70060用科学记数法表示为()A．37.00610⨯B．47.00610⨯C．370.0610⨯D．40.700610⨯5. －5的相反数是( )A.15- B.15C. 5D. -56．﹣（﹣2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣2 7.2021的相反数是（）A．﹣2021 B．2021 C．D．﹣8．实数√2+1在数轴上的对应点可能是（）A．A点B．B点C．C点D．D点9．16的平方根是（）A．4 B．±4 C．8 D．±8 10．计算|﹣3|﹣（﹣2）的最后结果是（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 11．下表是几种液体在标准大气压下的沸点：液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氦 沸点/℃﹣183﹣253﹣196﹣268.9则沸点最高的液体是（ ） A ．液态氧 B ．液态氢 C ．液态氮D ．液态氦12．已知a ＝﹣，b ＝，c ＝﹣，判断下列各式之值何者最大？（ ） A ．|a +b +c |B ．|a +b ﹣c |C ．|a ﹣b +c |D ．|a ﹣b ﹣c |13．若a 、b 为正整数，且a ×b ＝25×32×5，则下列何者不可能为a 、b 的最大公因数？（ ） A ．1B ．6C ．8D ．1214．下列实数是无理数的是（ ） A ．﹣2B ．1C ．D ．215.设6a ，小数部分为b ，则(2a b 的值是（ ）A．6B ．C ．12D ．二、填空题16．截至2020年末，达州市金融精准扶贫共计392.5亿元，居全省第2，惠及建档立卡贫困户8.96万人,将392.5亿元用科学记数法表示应为 元． 17．已知a ，b 满足等式a 2+6a +9+√b −13=0，则a 2021b 2020＝ ．18．实数√16的算术平方根是 ．19．中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于2021年5月22日因病去世，享年91岁，袁隆平的去世是中国乃至全世界的重大损失．袁隆平一生致力于水稻杂交技术研究，为提高我国水稻亩产量做出了巨大贡献．截至2021年，“种三产四”丰产工程项目累计示范推广面积达2000多万亩，增产20多亿公斤．将20亿这个数据用科学记数法表示为 ．20．如图，实数−√5，√15，m 在数轴上所对应的点分别为A ，B ，C ，点B 关于原点O 的对称点为D ．若m 为整数，则m 的值为 ．21．计算：＝ ．22．要使二次根式在实数范围内有意义，x 的取值范围是 ．23.写出一个无理数x ，使得14x <<，则x 可以是_________（只要写出一个满足条件的x 即可）24．若把第n个位置上的数记为x n，则称x1，x2，x3，…，x n有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：y1，y2，y3，…，y n，其中y n是这个数列中第n个位置上的数，n＝1，2，…，k且y n＝并规定x0＝x n，x n+1＝x1．如果数列A只有四个数，且x1，x2，x3，x4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是．三、解答题25．（1）计算：（1）﹣2+（3.14﹣π）0+|3−√12|﹣4sin60°．226．计算：﹣12+（π﹣2021）0+2sin60°﹣|1−√3|．27．计算：√4+（1+π）0﹣2cos45°+|1−√2|．28．计算：（3.14﹣π）0−√27+|1−√3|+4sin60°．29．计算：0．30．计算：23×（﹣+1）÷（1﹣3）．参考答案与解析一、选择题1.2021的倒数是（）A．﹣2021 B．2021 C．D．﹣【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数判断即可．【解答】解：2021的倒数是．故选：C．【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握相关定义是解题关键．2.2021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学爱好者参加．阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风尚．5万用科学记数法表示为（）A．0.5×105B．5×104C．50×104D．5×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：5万＝50000＝5×104，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．--的结果为()3．化简(1)A．1-B．0 C．1 D．2【分析】括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号．--=，【解答】解：(1)1故选：C．【点评】本题考查去括号，解题关键是掌握去括号法则．4．据《吉林日报》2022年5月14日报道，第一季度一汽集团销售整车70060辆，数据70060用科学记数法表示为()A．3⨯D．470.06100.700610⨯7.00610⨯C．37.00610⨯B．4a<，a不为分数形式，n为整数）．【分析】把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式(1||10【解答】解：4=⨯，700607.006010故选：B．【点评】本题考查科学记数法，解题关键是熟练掌握用科学记数法表示较大的数．5. －5的相反数是( )A.15B.15C. 5D. -5【答案】C【解析】【分析】根据相反数的定义解答即可.【详解】-5的相反数是5故选C【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键. 6．﹣（﹣2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【分析】直接根据相反数的定义可得答案．【解答】解：﹣（﹣2）的值为2．故选：C．7.2021的相反数是（）A．﹣2021 B．2021 C．D．﹣【分析】利用相反数的定义分析得出答案，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．故选：A．8．实数√2+1在数轴上的对应点可能是（）A．A点B．B点C．C点D．D点【考点】实数与数轴．【分析】先确定2＜√2+1＜3，再根据数轴上点的位置可得结论．【解答】解：∵1＜2＜4，∴1＜√2＜2，∴2＜√2+1＜3，则实数√2+1在数轴上的对应点可能是点D，故选：D．9．16的平方根是（）A．4 B．±4 C．8 D．±8【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a 的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±4）2＝16，∴16的平方根是±4．故选：B．10．计算|﹣3|﹣（﹣2）的最后结果是（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】根据绝对值的性质以及有理数的减法法则计算即可；有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．【解答】解：|﹣3|﹣（﹣2）＝3+2＝5．故选：C．11．下表是几种液体在标准大气压下的沸点：液体名称液态氧液态氢液态氮液态氦沸点/℃﹣183 ﹣253 ﹣196 ﹣268.9 则沸点最高的液体是（）A．液态氧B．液态氢C．液态氮D．液态氦【分析】根据有理数大小的比较方法解答即可．【解答】解：因为﹣268.9＜﹣253＜﹣196＜﹣183，所以沸点最高的液体是液态氧．故选：A．12．已知a＝﹣，b＝，c＝﹣，判断下列各式之值何者最大？（）A．|a+b+c| B．|a+b﹣c| C．|a﹣b+c| D．|a﹣b﹣c|【分析】根据有理数加减混合运算及绝对值的意义解题即可．【解答】解：∵a＝﹣，b＝，c＝﹣，a﹣b+c是最小的，∴相应的绝对值最大．故选：C．【点评】本题主要考查绝对值的定义，有理数加减混合运算的应用是解题关键．13．若a、b为正整数，且a×b＝25×32×5，则下列何者不可能为a、b的最大公因数？（）A．1 B．6 C．8 D．12【分析】根据a×b＝25×32×5，取a、b的不同值解题即可．【解答】解：∵最大公因数为a、b都有的因数，而8＝23，a×b＝25×32×5，a、b不可能都含有23，∴8不可能为a、b的最大公因数．故选：C．【点评】本题考查实数中最大公因数的概念，掌握求两个数的最大公因数是解题的关键．14．下列实数是无理数的是（）A．﹣2 B．1 C．D．2【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．【解答】解：A．﹣2是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；B．1是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；C．是无理数，故本选项符合题意；D．2是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；故选：C．15.设6a，小数部分为b，则(2a b的值是（）A．6B．C．12D．【答案】A四、填空题16．截至2020年末，达州市金融精准扶贫共计392.5亿元，居全省第2，惠及建档立卡贫困户8.96万人,将392.5亿元用科学记数法表示应为 3.925×1010元．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a ×10n ，其中1≤|a |＜10，n 为整数，据此判断即可．【解答】解：392.5亿＝39250000000＝3.925×1010． 故答案为：3.925×1010．17．已知a ，b 满足等式a 2+6a +9+√b −13=0，则a 2021b 2020＝ ﹣3 ．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】利用非负数的性质以及二次根式的性质得出a ，b 的值，进而得出答案．【解答】解：∵a 2+6a +9+√b −13=0，∴（a +3）2+√b −13=0，∴a +3＝0，b −13=0， 解得：a ＝﹣3，b =13，则a 2021b 2020＝（﹣3）2021•（13）2020＝﹣3×（﹣3×13）2020＝﹣3． 故答案为：﹣3．18．实数√16的算术平方根是 2 ． 【考点】算术平方根．【分析】一个正数的正的平方根叫它的算术平方根，由此即可求出结果． 【解答】解：√16=4， 4的算术平方根是2，所以实数√16的算术平方根是2． 故答案为：2．19．中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于2021年5月22日因病去世，享年91岁，袁隆平的去世是中国乃至全世界的重大损失．袁隆平一生致力于水稻杂交技术研究，为提高我国水稻亩产量做出了巨大贡献．截至2021年，“种三产四”丰产工程项目累计示范推广面积达2000多万亩，增产20多亿公斤．将20亿这个数据用科学记数法表示为 2×109 ．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：20亿＝2000000000＝2×109．故答案为：2×109．20．如图，实数−√5，√15，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为﹣3．【考点】实数与数轴．【分析】先求出点D表示的数，然后确定点C的取值范围，根据m为整数，即可得到m的值．【解答】解：∵点B表示的数是√15，点B关于原点O的对称点是点D，∴点D表示的数是−√15，∵点C在点A、D之间，∴−√15＜m＜−√5，∵﹣4＜−√15＜−3，﹣3＜−√5＜−2，∴−√15＜−3＜−√5，∵m为整数，∴m的值为﹣3．答案为：﹣3．21．计算：＝．【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可．【解答】解：原式＝＝5．故答案为：5．22．要使二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是x≥﹣1．【分析】根据二次根式的性质可求出x的取值范围．【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a ≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．23.写出一个无理数x ，使得14x <<，则x 可以是_________（只要写出一个满足条件的x 即可）【答案】,1.010010001π⋅⋅⋅等） 【解析】【分析】从无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数， 【详解】根据无理数的定义写一个无理数，满足14x <<即可； 所以可以写：①开方开不尽的数：②无限不循环小数，1.010010001……， ③含有π的数,2π等．只要写出一个满足条件的x 即可．,1.010010001π……等）【点睛】本题考查了无理数的定义，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．24．若把第n 个位置上的数记为x n ，则称x 1，x 2，x 3，…，x n 有限个有序放置的数为一个数列A ．定义数列A 的“伴生数列”B 是：y 1，y 2，y 3，…，y n ，其中y n 是这个数列中第n 个位置上的数，n ＝1，2，…，k 且y n ＝并规定x 0＝x n ，x n +1＝x 1．如果数列A 只有四个数，且x 1，x 2，x 3，x 4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B 是 0，1，0，1 ．【分析】根据“伴生数列”的定义依次取n ＝1，2，3，4，求出对应的y n 即可． 【解答】解：当n ＝1时，x 0＝x 4＝1＝x 2， ∴y 1＝0，当n ＝2时，x 1≠x 3， ∴y 2＝1，当n ＝3时，x 2＝x 4， ∴y 3＝0，当n ＝4时，x 3≠x 5＝x 1， ∴y 4＝1，∴“伴生数列”B 是：0，1，0，1，故答案为0，1，0，1．五、解答题25．（1）计算：（1）﹣2+（3.14﹣π）0+|3−√12|﹣4sin60°．2【分析】（1）根据负整数指数幂的意义、零指数幂的意义，特殊角的锐角三角函数的值以及绝对值的性质即可求出答案；【解答】解：原式＝4+1+√12−3﹣4×√32＝5+2√3−3﹣2√3＝2．26．计算：﹣12+（π﹣2021）0+2sin60°﹣|1−√3|．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．−（√3−1）【解答】解：原式＝﹣1+1+2×√32＝﹣1+1+√3−√3+1＝1．27．（1）计算：√4+（1+π）0﹣2cos45°+|1−√2|．+√2−1【解答】解：（1）原式＝2+1﹣2×√22＝2+1−√2+√2−1＝2；28．计算：（3.14﹣π）0−√27+|1−√3|+4sin60°．【考点】绝对值；算术平方根；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】根据零指数幂，二次根式的运算法则，去绝对值，特殊角的三角函数值化简各项，再计算加减法．【解答】解：原式=1−3√3+√3−1+4×√32=1−3√3+√3−1+2√3＝0．29．计算：0．【分析】根据乘法的定义、零指数幂以及sin60°＝，然后进行乘法运算和去绝对值运算，再合并即可．【解答】解：原式＝﹣1﹣2×+1＝﹣1﹣+1＝0．【点评】本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算．也考查了零指数幂、以及特殊角的三角函数值．30．计算：23×（﹣+1）÷（1﹣3）．【分析】原式先计算乘方运算，再计算括号内的加减运算，最后算乘除运算即可求出值．【解答】解：原式＝8×÷（﹣2）＝4÷（﹣2）＝﹣2．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
初中数学竞赛：最值问题求法应用举例[附答案]
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最值问题求法例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a2 + b2+ c2= 9，则代数式（a － b）2 + （b —c）2 +（c － a）2的最大值是（）A．27 B、 18 C、15 D、 12例题（2）、如果对于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N + 1都能表示成K个完全平方数的和，那么K的最小值是（）A、 1B、 2C、 3D、 4例题（3）、设a、b为实数，那么a2＋ab＋b2－a－2b的最小值是——————————。
例题（4）、已知实数a、b满足a2＋ab＋b2=1 ，则a2－ab＋b2的最小值和最大值的和是————————。
例题5、若a、b满足3a＋5∣b∣= 7 ，则S= 2a－3∣b∣的最大值为-------------------，最小值为--------------------。
（二）、直接运用a 2＋b 2≥ 2ab ( a ＋b ≥ 2ab )性质求最值。
例题（6）、若X > 0，则函数Y =3X ＋31X＋21++XX 的最小值。
例题（7）、已知 a 、b 、c 、d 均为实数，且a ＋b ＋c ＋d = 4 ，a 2＋b 2＋c 2＋d 2 =316，求a 的最小值与最大值。
（三）、用一元二次方程根的判别式Δ=b 2－4ac （结合韦达定理）求最值。
例题（8）、已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c = 2 ，abc = 4 ，○1求a 、b 、c 中最大者的最小值 ；○2求∣a ∣＋∣b ∣＋∣c ∣的最小值。
例题（9）、求函数Y = 12156322++++X X X X 的最小值。
（四）、用绝对值的几何意义和取零点、分段讨论法求最值。
例题（10）、a b c d e是一个五位自然数，其中a ，b ，c ，d ，e 为阿拉伯数字，且a<b<c<d ,则│a-b │＋│b-c │＋│c －d │＋│d －e │的最大值是 ———。
数学竞赛专题讲座---奥数辅导试题(实数)-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-
数学竞赛专题讲座---奥数辅导试题(实数)-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－奥数辅导试题（实数）班级姓名成绩1、已知x、y是实数，+y-6y+9=0，若axy-3x=y，则：a=。
2、一个数的平方根是a+b和4a-6b+13，那么这个数是。
3、方程+=0的解是。
4、观察思考下列计算过程：∵ 11=121，∵ =11；同样：∵ 111=12321，∵ =111；…由此猜想：=。
5、如图，数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，则C所表示的数是（）BACA、-1；B、1-；C、2-；D、-2。
6、已知x是实数，则++的值是（）A、1-；B、1+；C、-1；D、无法确定。
7、代数式++的最小值是（）A、0；B、1+；C、1；D、不存在。
8、若实数a、b满足（a+b-2）+=0，求代数式：2a+b-1的值。
9、设x、y都是有理数，且满足方程（+）x+（+）y-4-=0，求x-y的值。
10、细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题。
（）+1=2，S=；（）+1=3，S=；（）+1=4，S=；…（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA的长；（3）SSSS1111…AAAO求出S+S+S+…+S的值。
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数列经典题目(竞赛专题)
当an · an+1 为偶数时, 当an · an+1 为奇数时.
证明, 对每个 n ∈ N∗ , 都有 an ̸= 0. 13. (奥地利 − 波兰,1980) 设数列 {an } 满足 |ak+m − ak − am | p, q ∈ N∗ , 都有 ap aq 1 1 − < + . p q p q 14. (苏联莫斯科,1972) 将 0 和 1 之间所有分母不超过 n 的分数都写成既约形式, 再按递增顺序排成一 a c 列. 设 和 是其中任意两个相邻的既约分数, 证明 b d |bc − ad| = 1. 15. (波兰,1978) 对给定的 a1 ∈ R, 用下列方式定义数列 a1 , a2 , · · · : 对 n ∈ N∗ , ( ) 1 an − 1 , 当an ̸= 0时, an an+1 = 2 0, 当a ̸= 0时,
2), x1 = a, x2 = b, 记 Sn = x1 + x2 + · · · + xn , 则下列结 ) (B) x100 = −b, S100 = 2b − a; (D) x100 = −a, S100 = b − a . 1 时,xn+2 等于 xn xn+1 的个位数, 则 x1998 等于 . . . . ( (C) 6; (D) 8 . 2), 则数列的通项公式为 an = . )
的每一项都是整数, 其中 n ∈ N∗ . 并求所有使 an 被 3 整除的 n ∈ N∗ . 19. (捷克,1978) 证明, 数列 bn = ( √ )n ( √ )n 3+ 5 3− 5 − −2 2 2
的每一项都是自然数, 其中 n ∈ N∗ , 并且当 n 为偶数或奇数时分别具有 5m2 或 m2 的形式, 其中 m ∈ N∗ .
数学竞赛(第一章 第一节 实数的运算)
第一章第一节实数的运算1.计算：2016 ╳20172017 – 2017 ╳201620162.计算：1×2×3+2×4×6+7×14×211×3×5+2×6×10+7×21×353.计算：11×2+12×3+ …+199×1004.计算：118+ 154+ 1108+ 1180+ 1270+ 1378+ 1504+ 1648+ 1810+ 19905.计算：11×2×3+ 12×3×4+⋯+198×99×1006.计算：11+2+ 11+2+3+ 11+2+3+4+⋯ + 11+2+3+⋯+1007.设A=48×(132−4+142−4+⋯+ 11002−4)，求与A 最接近的整数。
8. 2008加上它的12 得到一个数，再加上所得数的13 又得到一个数，再加上此所得数的14，依次类推，一直加到上次所得数的12008，问最后所得的数是多少？9.计算：111×2 + 12×3+ 13×4+⋯ +12012×201310.计算：S=1-2+3-4+…+2007-200811.计算：1×2+2×3+3×4+⋯+19×2012.计算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+⋯+28×29×3013.计算：1+12+122+⋯+1210014.计算：1+13+132+⋯+131015.计算：(12+13+⋯+11999)×(1+12+13+⋯+11998)−(1+12+13+⋯+11999)×(12+13+⋯+11998)16.计算：1−11 − 11 − 1⋱ 1 − 11 − 113355（合计2008个减号）17.比较S n=12+24+38+416+⋯+n2n与2的大小18. a=(11×66+12×67+13×68+14×69+15×7011×65+12×66+13×67+14×68+15×69)×100，问a的整数部分是多少？19.在数210，310，410，510，610，710，810，910的前面添加+（加号），或者-（减号），使它们的和为1，你能想出多少种方法？请列出你的方法。
《第6章实数》知识清单含例题+期末专题复习试卷(含答案).doc
2018年七年级数学下册实数知识清单+经典例题+专题复习试卷1、 定义：如果一个正数X 的平方等于a,即工=。
那么，这正数x 叫做a 的算术平方根。
记作氐 读作“根号屮。
a 叫做被开 算术平方根*方数，规定0的算术平方根还是0o2、 性质:双重非员性(a h 0,需X 0 )。
负数没有算术平方根。
'3、J 产=\a\ (a是任意数力(7^)2 =a (B 是非员数)。
1、定义：如果一个数X 的平方等于4即乂2 =4。
那么，这个X叫做a 的平方根。
记作土需，读作“正、员根号屮。
a 叫做被幵 方数。
规定0的算术平方根还是0o2、 性质：(1)正数有两个平方根，它们互为相反数。
(2) 0的平方根是0。
员数没有平方根。
3、 未知数次数是两次的方程，结果一般都有两个值。
72^1.414, 73^1.732,少恐2.236, J7俎26461、走义：如果一个数x 的立方等于匕 即x 3 =a o 那么，这个x 叫做a 的立方根。
记作砺，读作“三次根号护。
a 叫做被开方数。
2、性质：(1)正数的立方根是正数，员数的立方根是员数，0的立方根是0。
(2)1卜a 取任意数(3) (佝=° J分数(有理数和分数是相同的概念)rI 无限循环小数'1、开方开不尽的方根无理数无限不循环小数彳2、圆周率兀以及含有兀、3、具有特定结构的数(0.010010001……)有理数』r 正整数员整数(可以看成分母是1的分数)正实数o员实数有限小数平方根立方根【经典例题1】1、下列说法错误的是（）4、若 a 2=4, b 2=9,且 ab<0,B. ±55、 设边长为3的正方形的对角线长为a.下列关于a 的四种说法： ®a 是无理数； ②a 可以用数轴上的一个点來表示；③3<a<4； ④a 是18的算术平方根.其中，所有正确说法的序号是 （ ）A.①④B.②③C.①②④D.①③④ 6、 已知实数x 、y 满足心- l+|y+3|=0,则x+y 的值为（ ） A. -2B. 2C.4D. -4【经典例题3】7、 一个自然数的算术平方根为a,则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）A. a+1B. a 2+lC.寸/+1Va+1f x 二 2f inx+ny=88、 已知■是二元一次方程组｛、的解，则加・n 的算术平方根为（ ）\ y=l[nx - iny^lA. ±2B. V2C. 2D. 49、 有一个数值转换器，原理如下：A. 5是25的算术平方根 C. （-4）2的平方根是一4 2、下列各式中，正确的是（）B. 1是1的一个平方根 D. 0的平方根与算术平方根都是0B.-佇二 _ 3C.寸(±3严二 ±3D.佇二 ±33、716的平方根是（A. ±2【经典例题2】B. 2C. — 2D. 16C. 5A. 2B. 8当输入的x=64时，输出的y 等于（）【经典例题4】10、平方等于16的数是________ ;立方等于本身的数是_______________________ •11、一个数的立方根是4,这个数的平方根是______________ ,12、若一2x ra_n y2与3x7^是同类项，则m-3n的立方根是_____________ .【经典例题5】13、求x 的值：25(X+1)2=16；14、求y 的值：(2y-3) 2 - 64=0；15、计算:^4-23-|-2|X(-7+5) 16、计算：舗一血+ 乂-3)' -磁-2【经典例题6】17、已知实数a, b在数轴上的位置如图所示，化简：寸(fl) 4-1)并|a・b|. -------- ------- 1---------------- 1 ----- >・ 1^0 b 118、阅读理解7 >^<75 <79* 即2<V5<3» A1<V5-1<2-・••厉_1的整数部分为1,小数部分为厉_2・解决问题：己知a是JI7-3的整数部分，D是的小数部分，求(-a)"+(b + 4)2的平方根.参考答案1、c；2、B3、A4、B5、C6、A7、B8、C9、D10、±4, 0, ±111、&-812、213、x = -0. 2, x=-l. 8；14、y=5. 5 或y= - 2. 5；15、10 ；16、-2；17、解：由数轴上点的位置关系，得-l<a<0<b<l.原式二a+1+2 - 2b - b+a=2a - 3b+3.18、由题意，得幺=1，i = T17-4 所以（一幺尸 + 0+4）2 = （-1尸 + （何_4+4）2 = 16 即+ @ + 4）2的平方根为±牛2018年 七年级数学下册 实数 期末复习试卷一、选择题:1、下列语句中正确的是（C. 9的算术平方根是±3D. 9的算术平方根是3设边长为3的正方形的对角线长为a.下列关于a 的I 川种说法: ①a 是无理数; ②a 可以用数轴上的一个点來表示; @3<a<4；④a 是18的算术平方根.其中，所有正确说法的序号是（) A.①④B.②③C.①②④ D.①③④7、负的算术平方根是（ ）A. ±6B. 6C. ±A /6D. V68、下列各数中,3. 14159,-饭,0.3131131113- （2016春•潮州期末）下列各式表示正确的是9、己知实数x 、y 满足Jx=l+1 y+31二0,则x+y 的值为（）10、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ）A.・9的平方根是・3B. 9的平方根是3 2、下列结论正确的是（A- -{(-6)2二-6 B.(~{5)2二9 C. 7(~16) 2=± 16 D.-(2,16 ^25A- 4、 下列关于祈的说法中，错误的是（ 灵是8的算术平方根 B. 2＜品＜3 下列各组数中互为相反数的一组是（)C. 78= ±2^2D.灵是无理数A. ■⑵与寻PB.・4与・{(-4)2C.D. P 与法5^如果际〒二2. 872, ^3700 =28.72,则勺0・023厂（A. 0. 2872B. 28. 72C. 2. 872D. 0.02872 6、 B. ±725=5A. - 2B. 2C. 4（ ）lk •估计— 1在（）A. 0〜1之间•B. 1〜2之间C. 2〜3之间D. 3〜4之间12、实数纸b在数轴上对应点的位置如图，则|a-b| -肯的结果是（）•••Aa b0A. 2a - bB. b - 2aC. bD. - b二、填空题：13、（-9）2的算术平方根是_.14、如图，在数轴上点A和点B之间的整数是_________ .15^ 己知（x - 1） 2二3,则x= _ .16、如杲丽二1.732, A/30 =5.477,那么0. 0003的平方根是________ .17、若3、b互为相反数，c、d互为负倒数，则石匸尹+畅= _______________ •18、已知a, b为两个连续的整数，且a<V8<b,则a+b二____________ .三、解答题：19、求x 的值：9（3x - 2尸二64. 20、求x 的值：（5- 3x?=—4921、计算：7132-12222、计算：（亦尸+旷爾一加2一炉.23、已知x・1的平方根为±2, 3x+y・1的平方根为±4,求3x+5y的算术平方根.24、已知2a-l的平方根是±3, 3a+b_9的立方根是2, c是妬的整数部分，求a + 2D+f的值•25、阅读下面的文字，解答问题：大家知道迈是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此迈的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用屁-1来表示典的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为近的整数部分是1,将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：・・・2'<7<3,即2<听<3,・••听的整数部分为2,小数部分为听・2.请解答：(1)Vio的整数部分是__________ ,小数部分是 _________ .(2)如果衍的小数部分为a, 荷的整数部分为b,求a+br/^的值；(3)己知：x是3+^5的整数部分，y是其小数部分，请直接写出X- y的值的相反数.26、若实数a, b, c 在数轴上所对应点分别为A, B, C, a 为2的算术平方根，b 二3, C 点是A 点关 于B点的对称点，（1） 求数轴上AB 两点之间的距离； （2） 求c 点对应的数；27、已知字母a 、b 满足亦二+的_21 1 1 1~ab @ + 1)@ + 1)@+2)@ + 2)… @ + 2011)@ + 2001)第X 页共1（）页（3） 3的整数部分为x, c 的小数部分为y,求2x^+2》的值（结果保留带根号的形式）的值.1、 D2、 A3、 C4、 C5、 A6、 C7、 D8、 C9、 A 10、 11、 12、 C 13、 9.14、 答案为：2. 15、 答案为：土近+1. 16、 ±0.01732. 17、 -118、 答案为：5.149 19、 开平方得：3 (3x-2)二±8 解得：Xi=—, x 2= - -T .9920、§或兰7 2116 T -10； 23、5 24、a=5, b 二2, c 二7, a + 2&+u 二 16・(2) V4<5<9,・・・2<任<3,即沪旋 ・2, V36<37<49, A6<V37<7,即 b 二6,贝lj a+b ・ 丽二4；(3) 根据题意得：x=5, y=3+{^ - 5二- 2,・；x - y=7 - 其相反数是A /5 - 7.26、(1) 3; (2) 6；72 ⑶尸2—屈.21、参考答案21、22、25、 解: (1) V10的整数部分是3,小数部分是V10- 3；故答案为：3； V10- 3；•解;、「7/o,丑-1~ o且-f 二o'弋鳥解得伫°b十@H"賊斗3化X昭十• • •十莎丽莎和 -丄丄亠」一-2 +A3十3*卩十・・・十二卜亍+土一土+》* +・・•十二 /_ Zo/27。
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经典例题类型一．有关概念的识别1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）A、1B、2C、 3D、 4解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数故选 C举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（）A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）A、1B、 1.4C、D、【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．【变式3】【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10因此3π-9＞0，3π-10＜0 ∴类型二．计算类型题2．设，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.解析：（估算）因为，所以选 B举一反三：【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________.3）___________，___________，___________.【答案】1）；.2）-3. 3），，【变式2】求下列各式中的（1）（2）（3）【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4 类型三．数形结合3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______解析：在数轴上找到A、B两点，举一反三：【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C 表示的数是（）．A．－ 1 B．1－ C．2－ D．－ 2【答案】选 C [变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示：化简【答案】：类型四．实数绝对值的应用4．化简下列各式：(1) |-1.4|(2) |π-3.142|(3) |-| (4) |x-|x-3|| (x≤3)(5) |x2+6x+10|分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
解：(1) ∵=1.414…＜ 1.4∴|-1.4|=1.4-(2) ∵π=3.14159…＜ 3.142∴|π-3.142|=3.142-π(3) ∵＜, ∴|-|=-(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|=|2x-3| =说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。
(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0∴|x2+6x+10|= x2+6x+10举一反三：【变式1】化简：【答案】=+-=类型五．实数非负性的应用5．已知：=0，求实数a, b的值。
分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组从而求出a, b的值。
解：由题意得由(2)得a2=49 ∴a=±7 由(3)得a>-7，∴a=-7不合题意舍去。
∴只取a=7把a=7代入(1)得b=3a=21∴a=7, b=21为所求。
举一反三：【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。
解：∵(x-6)2++|y+2z|=0且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0, 几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。
∴解这个方程组得∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65 【变式2】已知那么a+b-c的值为___________【答案】初中阶段的三个非负数：，a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2类型六．实数应用题6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。
解：设新正方形边长为xcm，根据题意得x2=112+13×8∴x2=225∴x=±15 ∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，∴只取x=15(cm) 答：新的正方形边长应取15cm。
举一反三：【变式1】拼一拼，画一画：请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。
（4个长方形拼图时不重叠）（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm2，求中间小正方形的边长.解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：，所以面积为=大正方形的面积=，一个长方形的面积=。
所以，答：中间的小正方形的面积，发现的规律是：（或）(2) 大正方形的边长：，小正方形的边长：，即，又大正方形的面积比小正方形的面积多24cm2所以有，化简得：将代入，得：cm答：中间小正方形的边长 2.5cm。
类型七．易错题7．判断下列说法是否正确（1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是±15.（3）当x=0或2时，（4）是分数解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，故的平方根是.（3）注意到，当x=0时，=，显然此式无意义，发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0.（4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数. 类型八．引申提高8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.（2）把下列无限循环小数化成分数：①②③（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．解：由得的整数部分a=5, 的小数部分，∴（2）解：(1) 设x=①则②②-①得9x=6∴.(2) 设①则②②-①，得99x=23∴.(3) 设①则②②-①，得999x=107，∴.学习成果测评：A组（基础）一、细心选一选1．下列各式中正确的是（）A． B. C. D.2. 的平方根是( )A． 4 B. C. 2 D.3. 下列说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-2是4的平方根④带根号的数都是无理数。
其中正确的说法有（）A．3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个4．和数轴上的点一一对应的是（）A．整数 B.有理数 C. 无理数 D. 实数5．对于来说（）A．有平方根B．只有算术平方根 C. 没有平方根 D. 不能确定6．在（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数的个数有（）A．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个7．面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（）A． B. C. D.8．下列各组数中，互为相反数的是（）A．-2与 B.∣-∣与 C. 与 D. 与9．-8的立方根与4的平方根之和是（）A．0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或 410．已知一个自然数的算术平方根是 a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）A． B. C. D.二、耐心填一填11．的相反数是________，绝对值等于的数是________，∣∣=_______。
12．的算术平方根是_______，=______。
13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身。
14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。
15．填入两个和为6的无理数，使等式成立：___+___=6。
16．大于，小于的整数有______个。
17．若∣2a-5∣与互为相反数，则a=______，b=_____。
18．若∣a∣=6，=3，且ab0，则a-b=______。
19．数轴上点A，点B分别表示实数则A、B两点间的距离为______。
20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。
三、认真解一解21．计算⑴⑵⑶⑷∣∣+∣∣⑸×+×⑹4×[ 9 + 2×（）] （结果保留3个有效数字）22．在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接：参考答案：一: 1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D二：11、，π-3 12、3，13、0；0，；0，114、15、答案不唯一如：16、517、18、-15 19、2 20、1，9三：21、⑴⑵-17⑶-9 ⑷ 2 ⑸-36 ⑹37.922、B组（提高）一、选择题：1．的算术平方根是（）A．0.14 B．0.014C．D．2．的平方根是（）A．－ 6 B．36C．± 6 D．±3．下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②；③的立方根是2；④，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．在下列各式中，正确的是（）A．; B．;C．;D．5．下列说法正确的是（）A．有理数只是有限小数B．无理数是无限小数C．无限小数是无理数D．是分数6．下列说法错误的是（）A．B．C．2的平方根是D．7．若，且，则的值为（）A．B．C．D．8．下列结论中正确的是（）A．数轴上任一点都表示唯一的有理数; B．数轴上任一点都表示唯一的无理数;C. 两个无理数之和一定是无理数;D. 数轴上任意两点之间还有无数个点9．-27 的立方根与的平方根之和是（）A．0 B．6C．0或-6D．-12或 610．下列计算结果正确的是（）A．B．C．D．二．填空题:11．下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.33……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中,其中是有理数的有__________；无理数的有__________.（填序号）12．的平方根是__________；0.216的立方根是__________.13．算术平方根等于它本身的数是__________；立方根等于它本身的数是__________.14. 的相反数是__________；绝对值等于的数是__________．15．一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的__________倍.三、解答题：16．计算或化简：(1) (2) (3)(4) (5)(6)17．已知，且x是正数，求代数式的值。