新教材高中数学第二章平面解析几何2.7.2抛物线的几何性质课后提升训练(含解析)新人教B版选择性必修第一册

2.7.2抛物线的几何性质
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2√3,则点P到抛物线的焦点F的距离为()
A.4
B.5
C.6
D.7
,知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,
∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2√3,
则P(3,±2√3),
∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4,
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
2.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则()
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
直线y=kx-k=k(x-1),
∴直线过点(1,0),
又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,
∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.
3.若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=2√2,则点A到抛物线的准线的距离为()
A.1
2B.3
2
C.2
D.5
2
y2=2x,其准线方程为x=-1
2
,
∵AB垂直于x轴,|AB|=2√2,
A到y轴的距离为√2,假设A在y轴上侧,即y=√2, 代入抛物线y2=2x,求得x=1,
点A到抛物线的准线的距离d=1+1
2=3
2
.
4.P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点,A,B,P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|,|BB1|,|PP1|,则有()
A.|PP 1|=|AA 1|+|BB 1|
B.|PP 1|=1
2|AB| C.|PP 1|>12|AB| D.|PP 1|<12|AB|
,根据题意,PP 1是梯形AA 1B 1B 的中位线,故|PP 1|=12(|AA 1|+|BB 1|)=12(|AF|+|BF|)=1
2|AB|.
5.抛物线y 2
=4x 的焦点为F ,点P 为抛物线上的动点,点M 为其准线上的动点,当△FPM 为等边三角形时,其面积为( ) A.2√3
B.4
C.6
D.4√3
,△FPM 为等边三角形,
|PF|=|PM|=|FM|,∴PM ⊥抛物线的准线.
设P (
m 24
,m ),则M (-1,m ),等边三角形边长为1+m 24
,又由F (1,0),|PM|=|FM|,
得1+
m 24
=√(1+1)2
+m 2,得m=±2√3,
∴等边三角形的边长为4,其面积为4√3,故选D .
6.已知点(x ,y )在抛物线y 2
=4x 上,则z=x 2
+1
2
y 2
+3的最小值是 .
(x ,y )在抛物线y 2
=4x 上,所以x ≥0,
因为z=x 2
+1
2
y 2+3=x 2+2x+3=(x+1)2
+2,
所以当x=0时,z 最小,其值为3.
7.抛物线x 2
=2py (p>0)的焦点为F ,其准线与双曲线m 23
−
m 23
=1相交于A ,B 两点,若△ABF 为等边三角
形,则p= .
F (0,m
2),准线方程为y=-m
2.将y=-m
2代入
m 23
−
m 23
=1得|x|=√3+
m 24
.
要使△ABF 为等边三角形,则tan π6
=
|m |
m
=
√3+m
2
4
m
=
√3
3
,解得p 2=36,p=6.
8.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与y 轴的交点,A 为抛物线上一点,且
|AM|=√17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.
x 2
=2py (p>0),
设A (x 0,y 0),由题意知M (0,-m
2),
∵|AF|=3,∴y 0+m
2=3,
∵|AM|=√17,∴m 02+(m 0+m 2)2
=17,
∴m 02=8,代入方程m 02=2py 0得,
8=2p (3-m
2),解得p=2或p=4.
∴所求抛物线的标准方程为x 2=4y 或x 2=8y.
9.已知抛物线y 2
=2px (p>0)的准线方程为x=-1. (1)求p 的值;
(2)直线l :y=x-1交抛物线于A ,B 两点,求弦长|AB|.
由抛物线y 2=2px (p>0)的准线方程为x=-1,得-m
2=-1,所以p=2.
(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{
m =m -1,m 2
=4m
消去y ,得x 2
-6x+1=0,则x 1+x 2=6,x 1x 2=1, 所以|AB|=√(m 1-m 2)2
+(m 1-m 2)2
=√2·√(m 1-m 2)2=√2·√(m 1+m 2)2
-4m 1m 2 =√2×√32=8.
能力提升练
1.已知抛物线C :y 2
=4x 的焦点F 和准线l ,过点F 的直线交l 于点A ,与抛物线的一个交点为B ,且
mm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3mm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|AB|=( )
A.2
3
B.4
3
C.8
3
D.16
3
C :y 2
=4x 的焦点F (1,0)和准线l :x=-1,设A (-1,a ),B (m ,n ),∵mm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3mm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴
m +12
=2
3
,
∴m+1=43,AB=8
3.
2.抛物线y 2
=2x 的焦点为F ,则经过点F 与点M (2,2)且与抛物线的准线l 相切的圆有( )
A.1个
B.2个
C.0个
D.无数个
M(2,2)在抛物线y2=2x上,又焦点F(1
2
,0),由抛物线的定义知,过点F,M且与l相切的圆的圆心即为线段FM的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点F,M且与l相切的圆有2个.
3.已知拋物线y2=8x的焦点为F,过点F的直线与该抛物线交于A,B两点,且16≤|AB|≤24,O为坐
标原点,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则1
m1+1
m2
的取值范围是()
A.[-2,-√2]∪[√2,2]
B.[-√2,-1]∪[1,√2]
C.[-2,-1]∪[1,2]
D.[-√2,√2]
y2=2px,设过焦点的直线方程为x=my+m
2
, 与抛物线方程联立可得y2-2pmy-p2=0,
设A(m12
2m ,m1),B(m22
2m
,m2),故y1+y2=2pm,
则1
m1+1
m2
=m12
2m
·1
m1
+m22
2m
·1
m2
=2mm
2m
=m=1
m
,
其中k为直线AB的斜率,设AB所在直线的倾斜角为θ,由抛物线的焦点弦公式可知
|AB|=2m
sin2m =8
sin2m
∈[16,24],则sin2θ∈[1
3
,1
2
],tan2θ=1
cos2m
-1=1
1
sin2m
-1
∈[1
2
,1],故(1
m1
+1
m2
)2∈
[1,2],
所以1
m1+1
m2
的取值范围是[-√2,-1]∪[1,√2].
4.已知M,N是过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线C的交点,O是坐标原点,且满足mm
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3mm
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,S△OMN=√3|MN|,则p的值为.
MN的斜率k>0,过M,N作抛物线准线的垂线,垂足分别为G,H, 过N作NK⊥MG于K,由mm
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3mm
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得|MF|=3|FN|,∴|MG|=3|NH|,
∴|MK|=2|NH|=2|NF|=1
2
|MN|,
∴|NK|=√|mm |2-|mm |2
=
√3
2
|MN|, 由S △OMN =S △OMF +S △ONF =12
|OF|·|NK|=√38
p|MN|,又S △OMN =√3|MN|,
∴√3
8p|MN|=√3|MN|,得p=8.
5.
抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y 2
=2px (p>0),如图,一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ,反射后又射向抛物线上的点
Q ,再反射后又沿平行x 轴方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,则抛物线的方程
为 .
,PQ 必过抛物线的焦点F (m
2,0).
当直线PQ 斜率不存在时,易得|PQ|=2p ;
当直线PQ 斜率存在时,设PQ 的方程为y=k (m -m
2),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 联立{
m =m (m -m
2),
m 2
=2mm ,
得k 2
(m 2-mm +
m 24
)=2px ,
整理得4k 2x 2-(4k 2p+8p )x+k 2p 2
=0,
所以x 1+x 2=p+2m
m 2,x 1x 2=
m 24
.
所以|PQ|=x 1+x 2+p=2p (1+
1
m 2
)>2p.
综上,当直线PQ 与x 轴垂直时,弦长最短, 又因为两平行光线间的最小距离为3,故2p=3,
∴抛物线方程为y 2=3x.
2
=3x 6.
如图所示,直线l :y=x+b 与抛物线C :x 2
=4y 相切于点A.
(1)求实数b 的值;
(2)求以点A 为圆心,且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.
由{
m =m +m ,m 2
=4m ,
得x 2
-4x-4b=0. ①
因为直线l 与抛物线C 相切,
所以Δ=(-4)2
-4×(-4b )=0,解得b=-1. (2)由(1)可知b=-1,
故方程①即为x 2
-4x+4=0,解得x=2. 将其代入x 2
=4y ,得y=1.故点A (2,1). 因为圆A 与抛物线C 的准线相切,
所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y=-1的距离, 即r=|1-(-1)|=2,
所以圆A 的方程为(x-2)2
+(y-1)2
=4. 7.
如图,已知抛物线y 2
=4x 的焦点为F ,过点P (2,0)的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,直线
AF ,BF 分别与抛物线交于点M ,N.
(1)求y 1y 2的值;
(2)连接MN ,记直线MN 的斜率为k 1,直线AB 的斜率为k 2,证明:m
1m 2
为定值.
,设AB 的方程为x=my+2,
代入y 2
=4x ,得y 2
-4my-8=0,从而y 1y 2=-8.
M (x 3,y 3),N (x 4,y 4),
m 1m 2
=
m 3-m 4
m 3-m 4
×
m 1-m 2m 1-m 2
=
m 3-m 4
m 324-m 424
×
m 124
-m 224
m 1-m 2
=
m 1+m 2
m 3+m 4
,设直线AM 的方程为x=ny+1,
代入y 2
=4x ,消去x 得y 2
-4ny-4=0, 所以y 1y 3=-4,同理y 2y 4=-4,
m 1m 2
=m 1+m
2m 3
+m 4
=
m 1+m 2
-4
m 1+
-4
m 2
=
m 1m 2-4
,
由(1)知y 1y 2=-8,所以m
1m 2
=2为定值.
素养培优练
1.已知抛物线y 2
=16x 的焦点为F ,过点F 作直线l 交抛物线于M ,N 两点,则|mm |9
−4
|mm |的最小值为
( )
A.2
3
B.-2
3
C.-1
3
D.1
3
y 2
=16x 的焦点为F ,则F (4,0),
当直线l 的斜率不存在时,直线l 为x=4,
由{
m 2=16m ,m =4,
可得M (4,8),N (4,-8), ∴|MF|=|NF|=8,∴
|mm |9
−4|mm |=7
18.
当直线l 的斜率存在时,设过点F 的直线l 的方程为y=k (x-4),不妨设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 由{
m 2=16m ,m =m (m -4),
消y 可得k 2x-(16+8k 2)x+16k 2
=0,∴x 1+x 2=8+16m 2,x 1x 2=16,
∴|MF|=x 1+m 2=x 1+4,|NF|=x 2+m
2=x 2+4, ∴1
|mm |+1
|mm |=
m 1+m 2+8
4(m 1+m 2)+m 1m 2+16
=
16+16
m 2
32+
64
m 2
+16+16
=14.∴
|mm |9
−4|mm |=
|mm |9
+4
|mm |-1≥
2√
|mm |9
·4|mm |-1=1
3,
当且仅当|NF|=6时取等号. 故
|mm |9
−
4
|mm |
的最小值为1
3
.
2.(多选)已知抛物线C :y 2
=4x 的焦点为F ,准线为l ,过点F 的直线与抛物线交于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,点P 在l 上的射影为P 1,则下列结论中正确的是( ) A.若x 1+x 2=6,则|PQ|=8
B.以PQ 为直径的圆与准线l 相切
C.设M (0,1),则|PM|+|PP 1|≥√2
D.过点M (0,1)与抛物线C 有且只有一个公共点的直线至多有2条
,设y=k (x-1),
由{
m =m (m -1),m 2
=4m ,
得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2
=0, x 1+x 2=
2m 2+4
m 2
,x 1x 2=1.
对于A,若x 1+x 2=6,则k 2
=1,故k=1或-1,|PQ|=√1+1√(m 1+m 2)2
-4m 1m 2=√2×4√2=8,故A 成立;
对于B,取PQ 点中点N ,N 在l 上的投影为N',Q 在l 上的投影为Q',根据抛物线的定义,|PP 1|=|PF|,|QQ'|=|QF|,NN'为梯形的中位线,故|NN'|=1
2(|PP 1|+|QQ'|)=1
2|PQ|,故B 成立;
对于C,M (0,1),|PM|+|PP 1|=|MP|+|PF|≥|MF|=√2,故C 成立;
对于D,过M(0,1)且与抛物线相切的直线有2条,过M(0,1)且与x轴平行的直线与抛物线相交且有一个交点,所以至多有三条,故D不成立.。