(易错题)高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测题(有答案解析)(3)

一、选择题
1．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
关于（ ） A ．直线3
π
θ=
对称
B ．直线6
π
θ=
对称
C ．点2,
6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
对称 D ．极点对称
2．已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=-，P 为曲线C 上的动点，O 为极点，则PO 的最大值为（ ）
A ．2
B ．4
C D ．3．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3
π
θ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为
（ ）
A ．
14
B ．
34
- C ．
24
-D ．
13
4．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为
ρθ=，若曲线1C 与2C 的关系为（ ）
A ．外离
B ．相交
C ．相切
D ．内含
5．若点P 的直角坐标为(1,，则它的极坐标可以是（ ） A ．52,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B ．42,
3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C ．72,
6
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
D ．112,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
6．2
2
1x y +=经过伸缩变换23x x
y y ''=⎧⎨=⎩
后所得图形的焦距（ ）
A ．
B ．
C ．4
D ．6
7．在同一平面直角坐标系中，将曲线1
cos 23y x =按伸缩变换23x x y y ''=⎧⎨=⎩
后为（ ）
A ．cos y x ''=
B ．13cos 2
y x '
'= C ．12cos
3y x '
'= D ．1
cos32
y x '
'=
8．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1
D ．y ＝1
9．将点的直角坐标(－2，化成极坐标得( )． A ．(4，
23
π) B ．(－4，
23
π) C ．(－4，
3
π) D ．(4，
3
π)
10．曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=化为直角坐标方程后为（ ）
A ．22(3)9x y +-=
B ．22(3)9x y ++=
C ．22(3)9x y ++=
D ．22(3)9x y -+= 11．极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=表示的曲线是（ ） A ．一个圆
B ．两个圆
C ．两条直线
D ．一个圆和一条直线
12．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'5'3x x
y y
=⎧⎨
=⎩后，曲线C 变为曲线
22281x y '+'=，则曲线C 的方程为
A ．50x 2＋72y 2＝1
B ．9x 2＋100y 2＝1
C ．10x 2＋24y 2＝1
D ．
225x 2＋89
y 2
＝1 二、填空题
13．在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆4cos ρθ=相交于,A B 两点，则AB =___．
14．点P 的极坐标为(2,)3
π
，以极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角
坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位，则P 点的直角坐标为_______________.
15．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：2cos 22sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨=+⎩（ϕ
为参
数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 30cos sin θθ-=，则圆C
截直线l 所得弦长为___________． 16．球坐标2,
,63ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
对应点的直角坐标为________. 17．在同一平面直角坐标系中，将曲线22368120x y x --+=变成曲线
22''4'30x y x --+=，则满足上述图形变换的伸缩变换是________.
18．若点(2016,2017)P -经过伸缩变换'2017
'2016x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
后的点在曲线''x y k =上，则
k =________.
19．以(4,0)C 为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程为_____________． 20．在极坐标系中，O 是极点，设点1,6A π⎛⎫
⎪⎝⎭
，2,2B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则OAB 的面积是__________．
三、解答题
21．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为x tcos y tsin αα=⎧⎨
=⎩
，
（t 为参数，0t ≥），在以
O 为原点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ，3C 的极坐标方程为
242cos 05ρρθ--
=，()7cos sin 5
ρθθ+=. （1）判断2C ，3C 的位置关系，并说明理由； （2）若()3
tan 04
ααπ=
≤≤，1C 分别与2C ，3C 交于M ，N 两点，求MN . 22．在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C ：222x ax y -+=0(a >0)，曲线2C 的参数方程为
cos {1sin x y αα
==+(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系； (1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程; (2)已知极坐标方程为θ=
6
π
的直线与曲线1C ，2C 分别相交于P ，Q 两点（均异于原点O ），若|PQ|=23﹣1，求实数a 的值； 23．设直线l 的参数方程为11232
{
x t
y t
=-=（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=． （1）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点()1,0A ，求2
2
MA NA +的值．
24．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（α为参数），以坐标原点
O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）写出圆C 的极坐标方程及圆心C 的极坐标； （2）直线l 的极坐标方程为
与圆C 交于M ，N 两点，求△CMN 的面积．
25．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为727x y α
α⎧=⎪⎨=+⎪⎩(其中α为参数），曲
线2C 的方程为2
213
x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程； （2）若射线()06
π
θρ=
>与曲线12,C C 分别交于,A B 两点，求AB .
26．在极坐标系中，直线cos 24πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
C ，求以点C 为圆心且半径为1的圆的极坐标方程．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
由4sin 6πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，得直角坐标方程：22
20x x y -+-= ，圆心为( ，又
因为直线3
π
θ=即：y = 过点(，由此便可得出答案.
【详解】
由曲线4sin 6πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭，即：
2
4sin 6πρρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
，化简得曲线
的直角坐标方程：2220x x y -+-= ，故圆心为( .
又因为直线3
π
θ=,直角坐标方程为：y ，直线y =过点(，故曲线关于
直线3
π
θ=
对称
故选：A. 【点睛】
本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.
2．D
解析：D 【分析】
把极坐标方程变成直角坐标方程，通过最大距离d r =+求得答案。

【详解】
因为2cos 4sin ρθθ=-，所以22cos 4sin ρρθρθ=-， 22
24x y x y +=-，即
22
(-1）+（y+2）5x =。

圆心为（1，-2），半径r =O 到圆上的最大距离，
等于点O 到圆心的距离d 加上半径r ，且d ==
PO
的最大值为D 。

【点睛】
本题主要考查已知点与圆上一点的最大距离的求法。

3．B
解析：B 【分析】
求出直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，直线3
π
θ=
与直线
cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,3
πρ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
，然后利用三角形的面积公式
121sin 23
S π
ρρ=
可得出结果. 【详解】
设直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，则1cos01ρ=，得11ρ=. 设直线3
π
θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,
3πρ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，
则22cos
sin
13
3π
π
ρρ+=，即221122
ρρ+=，得21ρ=. 因此，三条直线所围成的三角形的面积为
)
1211
3sin 1123224
S πρρ=
=⨯⨯⨯
=
故选B. 【点睛】 本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
4．B
解析：B 【分析】
将两曲线方程化为普通方程，可得知两曲线均为圆，计算出两圆圆心距d ，并将圆心距d 与两圆半径差的绝对值和两半径之和进行大小比较，可得出两曲线的位置关系. 【详解】
在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，得24sin ρρθ=，化为普通方程得
224x y y +=，
即()2
2
24x y +-=，则曲线1C 是以点()10,2C 为圆心，以12r =为半径的圆，
同理可知，曲线2C 的普通方程为(2
212x y -+=，则曲线2C 是以点()
2C 为
圆心，以2r =
两圆圆心距为4d =
=，1222r r -=-=，
122r r +=+1212r r d r r ∴-<<+，因此，曲线1C 与2C 相交，故选：B.
【点睛】
本题考查两圆位置关系的判断，考查曲线极坐标方程与普通方程的互化，对于这类问题，通常将圆的方程化为标准方程，利用两圆圆心距与半径和差的大小关系来得出两圆的位置关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
5．A
解析：A 【分析】
设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，计算出ρ和tan θ的值，结合点P 所在的象限求出θ的值，可得出点P 的极坐标. 【详解】
设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，则
2ρ==
，tan θ=
= 由于点P 位于第四象限，所以，53πθ=，因此，点P 的极坐标可以是52,3
π⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选A. 【点睛】
本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
用x ′，y '表示出x ，y ，代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距． 【详解】
由23x x y y ''=⎧⎨=⎩得2 3
x x y y '
⎧
=
⎪⎪⎨
'⎪=
⎪⎩
，代入22
1x y +=得22 149x y ''+=，
∴
椭圆的焦距为=A ．
【点睛】
本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题．
7．A
解析：A 【分析】
把伸缩变换的式子变为用','x y 表示,x y ，再代入原方程即可求出结果. 【详解】
因为伸缩变换'2'3x x
y y =⎧⎨=⎩
，
所以11','23x x y y =
=，代入1cos23y x =，可得111'cos 2332y x ⎛⎫
=⨯ ⎝'⎪⎭
，
化简可得'cos 'y x =， 故选A. 【点睛】
该题考查的是有关伸缩变换后曲线方程的求解问题，涉及到的知识点有伸缩变换规律对应点的坐标之间的关系，属于简单题目.
8．C
解析：C 【分析】
先化简极坐标方程，再代入极坐标化直角坐标的公式得解. 【详解】
由题得22(cos 1)0,0cos 1,0 1.x y x ρρθρρθ-=∴==∴+==或或 故答案为C. 【点睛】
(1)本题主要考查极坐标和直角坐标互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理
能力.(2) 求点的极坐标一般用公式222
=tan x y y x ρθ⎧+⎪
⎨=
⎪⎩
,求极角时要先定位后定量.把极坐标化成直
角坐标，一般利用公式cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩求解.（3）本题容易漏掉220x y +=.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
由条件求得ρ=cos x
θρ
=
、sin y
θρ
=
的值，可得θ的值，从而可得极坐标.
【详解】
∵
点的直角坐标(2-
∴4ρ===，21
cos 42x
θρ
-=
=
=-
，sin 42
y θρ=== ∴可取23
π
θ=
∴
直角坐标(2-化成极坐标为24,3π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
故选A. 【点睛】
本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．注意运用ρ=cos x
θρ
=
、sin y
θρ
=
(θ由(),x y 所在象限确定).
10．A
解析：A 【解析】
分析：由题意利用极坐标与直角坐标的关系将所给的极坐标方程化为直角坐标方程即可. 详解：
()2
22226sin ,6sin ,6,39x y y x y ρθρρθ=∴=∴+=∴+-=.
本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．D
解析：D 【解析】
分析：2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=化为()()cos 130ρθρ+-=，然后化为直角坐标方程即可得结论.
详解：2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=化为()()cos 130ρθρ+-=， 因为cos 10ρθ+=表示一条直线1x =-
30ρ-=表示圆229x y +=，
所以，极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-= 表示的曲线是一个圆和一条直线，故选D.
点睛：本题主要考查极坐标方程的应用，属于中档题. 极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
12．A
解析：A 【解析】
将坐标直接代入新方程，即可得原来的曲线方程．将'5'3x x
y y
=⎧⎨=⎩直接代入2x ′2＋8y ′2＝1，
得2·(5x )2＋8(3y )2＝1，则50x 2＋72y 2＝1即所求曲线C 的方程．故选A ． 二、填空题
13．【分析】将极坐标方程转化为直角坐标方程将直线方程代入圆的方程求得的坐标由此求得【详解】直线即圆两边乘以得即令解得故所以【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程考查直线和圆的交点坐标的求法属于
解析：
【分析】
将极坐标方程转化为直角坐标方程，将直线方程代入圆的方程，求得,A B 的坐标，由此求得AB .. 【详解】
直线cos 1ρθ=即1x =.圆4cos ρθ=两边乘以ρ得24cos ρρθ=，即224x y x +=，令
1x =，解得y =((1,,A B --，所以AB =
【点睛】
本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线和圆的交点坐标的求法，属于基础题.
14．【解析】【分析】设点的直角坐标为由公式和条件可得答案【详解】设点的直角坐标是由题意得所以点的直角坐标是故答案为：【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化掌握相关转化公式是解题的关键属于基础题
解析：. 【解析】 【分析】
设P 点的直角坐标为P x y （，），由公式x cos y sin ρθρθ==、 和条件可得答案．
【详解】 设点2,
3π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
的直角坐标是P
x y （，），
由题意得，2123
3
x cos y sin
，π
π
====
所以点2,
3π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
的直角坐标是(.．
故答案为：(.． 【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的互化，掌握相关转化公式是解题的关键，属于基础题．
15．【解析】【分析】首先将圆的方程和直线方程化为直角坐标方程然后结合弦长公式整理计算即可求得最终结果【详解】圆C 的方程消去参数可得一般方程为：圆心坐标为半径直线的极坐标可整理为：则直线方程的直角坐标方程
解析：【解析】 【分析】
首先将圆的方程和直线方程化为直角坐标方程，然后结合弦长公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】
圆C 的方程消去参数可得一般方程为：()2
2
24x y +-=，
圆心坐标为()0,2，半径2r
，
直线的极坐标可整理为：tan θ=
y =
，即
0y -=，
圆心到直线的距离：
1
d =
=，
结合弦长公式可得圆
C 截直线l
所得弦长为：== 【点睛】
圆的弦长的常用求法：
(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为
d ，弦长为l ，则l = (2)
代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：12AB x =-.
16．【解析】分析：根据转化公式得直角坐标详解：因为所以所以直角坐标为点睛：本题考查球坐标转化公式考查基本求解能力
解析：12⎛ ⎝
【解析】
分析：根据转化公式得直角坐标.
详解：因为sin cos {sin sin cos x r y r z r ϕθ
ϕθϕ
===
，所以1
2sin
cos
632
{2sin sin 632cos 6
x y z ππ
πππ
==
====
所以直角坐标为1
2⎛
⎝. 点睛：本题考查球坐标转化公式，考查基本求解能力.
17．【解析】【分析】分别将曲线化为曲线化为得到整理即可求解【详解】由题意曲线可化为①曲线可化为②比较①②可得整理得即图象的伸缩变换为故答案为：【点睛】本题主要考查了图形的伸缩变换的应用其中解答中正确理解
解析：'2'3x x y y
⎧
=⎪
⎨⎪=⎩ 【解析】 【分析】
分别将曲线22368120x y x --+=化为2
24912x y -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线22''4'30x y x --+=化为()2
2'2'1x y --=，得到4'22'3x x y y -⎧-=⎪⎨⎪=⎩，整理即可求解．
【详解】
由题意，曲线22368120x y x --+=可化为2
24912x y -⎛⎫-= ⎪⎝⎭
.① 曲线22''4'30x y x --+=可化为()22'2'1x y --=.② 比较①②，可得4'22'3x x y y -⎧-=⎪⎨⎪=⎩，整理得'2'3x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即图象的伸缩变换为'2'3x x y y
⎧=⎪⎨⎪=⎩． 故答案为：'2'3x x y y
⎧=⎪⎨⎪=⎩．
【点睛】
本题主要考查了图形的伸缩变换的应用，其中解答中正确理解图形的伸缩变换，合理根据两曲线方程的性质，得出变换的关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
18．【解析】【分析】将点代入变换公式得再代入曲线的方程即可求解【详解】由题意将点代入变换公式得再将代入解得故答案为：【点睛】本题主要考查了伸缩变换公式的应用其中解答中利用伸缩变换的公式求得变换后的点的坐 解析：1-
【解析】
【分析】
将点(2016,2017)P -代入变换公式'2017'2016x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得2016'20172017'2016x y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
,再代入曲线的方程，即可求解．
【详解】
由题意，将点(2016,2017)P -代入变换公式'2017'2016x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得2016'20172017'2016x y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
,
再将2016'20172017'2016x y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，代入''x y k =，解得''1k x y ==-. 故答案为：1-．
【点睛】
本题主要考查了伸缩变换公式的应用，其中解答中利用伸缩变换的公式，求得变换后的点的坐标，再代入曲线的方程，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
19．【解析】设圆交极轴于另一点为圆上任意一点(不与点重合)则在中即经验证点也满足上式所以这就是圆C 的极坐标方程
解析：8cos ρθ=
【解析】
设圆C 交极轴于另一点A ，(),P ρθ为圆C 上任意一点(不与O ，A 点重合)，则8OA =，在Rt AOP 中，OP OA cos θ=，即8cos ρθ=，经验证点O ，A 也满足上式，所以8cos ρθ=这就是圆C 的极坐标方程．
20．【解析】
三、解答题
21．（1）圆2C 与直线3C 相交；（2）1.
【分析】
将2C ，3C 化为普通方程，利用点到直线的距离判断即可.
（2）联立方程，分别求得13ρρ、，利用极径的几何意义，求得MN .
【详解】
（1）由224:2cos 05C ρρθ--=，可得224205
x y x +--=， 即2C 是圆心为()10，
的圆； 又()37:cos sin 5C ρθθ+=可得705
x y +-=，即3C 是一条直线， 圆心()1
0，到直线3C
的距离d ==<d r < 所以圆2C 与直线3C 相交.
（2）由()3tan 04ααπ=≤<，有3sin 5α=，4cos 5
α=，
由()204205cos θαρρρθ⎧=≥⎪⎨--=⎪⎩
，，得284055ρρ--=，解得12ρ=，225ρ=-（舍去） 由()()07cos sin 5，，θαρρθθ⎧=≥⎪⎨+=⎪⎩
，得337555ρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得31ρ=， 故131MN ρρ=
-=
【点睛】
本题考查曲线的极坐标方程与普通直角坐标方程的互化，考查了极径的应用，属于中档题．
22．(1)2cos ,2sin a ρθρθ== (2)2
【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，进一步利用极径求出参数的值．
【详解】
（1）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x 2﹣2ax+y 2=0（a ＞0），
转换为极坐标方程为：ρ2=2aρcosθ，
即：ρ=2acosθ．
曲线C 2的参数方程为（α为参数）， 转换为直角坐标方程为：x 2+（y ﹣1）2=1，
转换为极坐标方程为：ρ=2cosθ．
（2）已知极坐标方程为θ=
的直线与曲线C 1，C 2分别相交于P ，Q 两点， 由，得到：P （
），Q （）， 由于：|PQ|=2
﹣1，所以：， 解得：a=2．
【点睛】
本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．
23．(1) 24y x =.
(2) 221609
MA NA +=
. 【解析】
分析：（1）利用极坐标与直角坐标的转化公式可得曲线C 的直角坐标方程为：24y x =. （2）联立直线的极坐标方程与二次曲线C 可得3t 2+8t ﹣16=0，结合韦达定理和直线的几何
意义可得2222121609
MA NA t t +=+=. 详解：（1）由曲线C 的极坐标方程为24sin cos ρθθ=，即224sin cos ρθρθ=，
可得直角坐标方程为：24y x =.
（2）把直线l 的参数方程112{
x t y =-（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程整理可得： 3t 2+8t ﹣16=0，
∴t 1+t 2=83-
，t 1t 2=163-， ()2222212121264321602939
MA NA t t t t t t ∴+=+=+-=+=. 点睛：本题主要考查直线参数方程的几何意义，极坐标方程与直角坐标方程的转化方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
24．（1）4sin()3πρθ=+
，圆心C （2，6π）（2
【解析】
分析：（1）先根据三角形同角关系消参数得圆C 圆心直角坐标以及圆方程的直角坐标方程，再根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直角坐标化为极坐标，（2）将直线极坐标方程代入圆极坐标方程得交点极坐标，再根据三点极坐标关系求三角形面积.
详解：（1）极坐标（ρ，θ）与直角坐标（x ，y ）的对应关系为：x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩
，
所以221x cos cos y sin sin αρθαρθ
⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩， 根据sin 2α+cos 2α=1
，消元得（cos ρθ2﹣（ρsinθ﹣1）2=4， 化简得：4sin 3πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
． 因为圆心C
1），∴极坐标为（2，6
π）． （2）联立433sin πρθπθ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩
，得交点极坐标M （0，0），N （
3π）， 所以
|MC|=2，
所以△CMN
点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如
2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
25．(1)()2227x y +-=，()222cos 3sin 3ρθθ+=；
(2)3.
【解析】
分析：（1）利用平方关系进行消参得到曲线1C 的直角坐标方程，利用互化公式cos ,sin x y ρθρθ==得到曲线2C 的极坐标方程；（2）先将曲线1C 的直角坐标方程化为极坐标方程，再分别将射线方程代入曲线1C 和2C 的极坐标方程，利用ρ的几何意义进行求解．
详解：（1
）由2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩
，得2x y αα
⎧=⎪⎨-=⎪⎩， 所以曲线1C 的普通方程为()2
227x y +-=. 把cos ,sin x y ρθρθ==，代入曲线2C 得极坐标方程
()2222222cos 3sin 3cos 3sin 3ρθρθρθθ+=⇒+=
（2）依题意可设12,
,,66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为曲线1C 极坐标方程为24sin 30ρρθ--=， 将()06π
θρ=>代入曲线1C 的极坐标方程得2230ρρ--=，解得13ρ=。

同理将()06π
θρ=
>代入曲线2C
的极坐标方程得2ρ=
所以123AB ρρ=-=
点睛：本题考查曲线的参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识，意在考查学生的基本计算能力和数学化归思想的应用能力．
26．24cos 30ρρθ-+=
【分析】
由极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线的方程为2x y -=，求得()2,0C ，得出圆的直角坐标方程，进而求得圆的极坐标方程，得到答案.
【详解】
由题意，直线cos 4πρθ⎛⎫+
= ⎪⎝⎭
cos cos sin sin 44ππρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
即cos sin 22
ρθρθ-= 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
，可得直线的方程为2x y -=，
令0y =，可得()2,0C ，
所以以点C 为圆心且半径为1的圆的方程为22(2)1x y -+=，即22430x y x +-+=， 所以所求圆的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=.
【点睛】
本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的极坐标方程的求解，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.。