2007年试题A卷-答案和评分标准

北京邮电大学2006——2007学年第二学期
信息工程学院《离散数学》期末试题A 卷
答案和评分标准
一、(12分) 用文氏图分别表示下列各式： 1)A ⋂ B ⋂C 2)A - (B ⋂C )
解：(每题6分，全部区域吻合才给。

)
1） 2）
二、(16分) 用集合的语言描述并求解问题：求1到250(含)之间能被2、3、5、7中至少一个数整除的整数的总个数。

解：
A1={z|z ∈Z, z mod(2)=0} ⇒ |A1|=125
A2={z|z ∈Z, z mod(3)=0} ⇒ |A2|=83
A3={z|z ∈Z, z mod(5)=0} ⇒ |A3|=50
A4={z|z ∈Z, z mod(7)=0} ⇒ |A4|=35
(以上集合语言描述4点每点1分。

)
依据容斥原理：(采用容斥原理给4分)
|A1⋃A2⋃A3⋃A4|=|A1|+|A2|+|A3|+|A4|-|A1⋂A2|-…+|A1⋂A2⋂A3|+…-| A1⋂A2⋂A3⋂A4|
而|A1⋂A2|=41 … |A1⋂A2⋂A3|=8… |A1⋂A2⋂A3⋂A4|=1 所以：|A1⋃A2⋃A3⋃A4|=193(结果正确给4分)
三、(21)设R 和S 均是非空集合A 上的等价关系，确定下述各式中哪些是A 上的等价关系，是的请证明，不是的请举反例:1.A ×A-R 2.R –S 3.R 2
解：（每题7分，判断正确2分，证明或反例正确5分，反A B
C
A B C
例显然是不唯一的。

）
1：不是。

原因：R为等价关系，为自反的，则任意 x∈X都有 xRx，亦即<x,x>∈R。

因此A×A-R 将不含所有<x,x>，即不满足自反性。

因而也就不是等价的。

例：多例
2：同1，不满足自反性。

3：R2=R◦R是等价关系。

证明：
自反：任意xRx， xRx 且 xRx ⇒ xR◦Rx
对称：即证若xR◦Ry 则 yR◦Rx：xR◦Ry，则存在z, xRz 且zRy，R对称，则zRx且 yRz，则yR◦Rx
传递：即证如果xR◦Ry，yR◦Rz ⇒ xR◦Rz：
若xR◦Ry, 则存在u, xRu且uRy，R传递，则xRy；
若yR◦Rz, 则存在v, yRv且vRz ，R传递，则yRz；
则：xR1y，yR1z ⇒ xR1◦R1z
四、(10分) R和S都是集合A上的关系，证明:
(1)如果关系R和S都是自反的，则R⋃S也是自反的。

(2)如果关系R和S都是自反的，则R⋂S也是自反的。

证明：（每题5分）
(1)R,S均为自反的，则∀x∈X, 有<x,x>∈R 且<x,x>∈S，则<x,x>∈R⋃S
(2)R,S均为自反的，则∀x∈X, 有<x,x>∈R 且<x,x>∈S，则<x,x>∈R⋂S
五、(16分) 设有函数f:X → Y，g:Y → X,若f◦g为X上的恒等函数，证明f是单射而g是满射。

证： (证明f是单射8分、g是满射8分)
f◦g(x)=g(f(x))=x
先证f是单射：反证，设f非单射,则∃x1≠x2,但f(x1)=f(x2)
则f◦g(x1)=g(f(x1))=x1, f◦g(x2)=g(f(x2))=x2,
由于f(x1)= f(x2),则由上述可知g不满足函数的定义(一个原像f(x1)= f(x2)有两个像x1和x2)，这与g是函数矛盾。

再证g是满射：f◦g为恒等函数,为满射
∀x, f ◦g(x)=g(f(x))=x,即∀x 存在f(x)=y, g(y)=x
即g 为满射
六、(15分) 下列代数(S,*)中哪些是群？如果是，指出其单位元，并给出每个元素的逆元；如果不是，说明判断的依据。

(a)S={1,3,4,5,9}, *是模11的乘法(即运算结果是一般乘法除以11的余数，例：3*5=15 mod (11) = 4)
(b)S=Q, *是一般的乘法
解：(每题5分，判断正确2分，举例或原因说明正确3分)
(a)是，单位元是1，1-1=1，3-1=4，4-1=3，5-1=9，，9-1=5
(b)不是，0没有逆元
(c)是，c 是单位元，a -1=d,b -1=b,c -1=c,d -1=a
七、(10分)判定下面两个有向图是否同构：如果不是，请说明理由；如果是，请构造出同构的函数：
解：判断正确5分，映射对一个加1分
两个图是同构的，
作映射：g(a)=4, g(b)=1, g(c)=2, g(d)=3, g(e)=5 a
d c
e b 1 2
3
5 4。