人教A版新教材高中数学第二册课时作业10：8.6.2第二课时直线与平面垂直的性质

第二课时直线与平面垂直的性质
基础达标
一、选择题
1.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线()
A.只有一条
B.有无数条
C.是平面内的所有直线
D.不存在
『解析』当a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当a⊂α时，在α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；当直线a与平面α相交但不垂直时，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直，故选B. 『答案』 B
2.直线l垂直于平面α，m⊂α，则有()
A.l∥m
B.l和m异面
C.l和m相交
D.l和m不平行
『解析』因为l⊥α，m⊂α，所以l⊥m，则l和m可能相交，也可能异面，即l和m不平行.
『答案』 D
3.地面上有两根相距a米的旗杆，它们的高分别是b米和c米(b>c)，则它们上端的距离为()
A.a2＋b2
B.b2＋c2
C.a2＋b2－c2
D.a2＋（b－c）2
『解析』如图，由线面垂直的性质定理可知AB∥CD，作AE⊥CD于E，则DE＝b－c，故AD＝a2＋（b－c）2.
『答案』 D
4.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是()
A.若m∥α，n∥α，则m∥n
B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C.若m⊥α，n∥α，则m∥n
D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α
『解析』由题可知，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以A 错误；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，n∥α，则m⊥n，故C 错误；若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α或n与α相交或n⊂α，故D错误. 『答案』 B
5.P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系不正确的是()
A.P A⊥BC
B.BC⊥平面P AC
C.AC⊥PB
D.PC⊥BC
『解析』∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC，A选项正确；又∵BC⊥AC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC，∴B，D选项均正确.故选C.
『答案』 C
二、填空题
6.已知A，B两点在平面α的同侧，且它们与平面α的距离相等，则直线AB与平面α的位置关系是________.
『答案』平行
7.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂
β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________.
『解析』∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，
即l⊂α，∴l⊥EA.同理l⊥EB.
又EA∩EB＝E，EA，EB⊂平面EAB，
∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β，a⊂平面β，∴EB⊥a.
又a⊥AB，EB∩AB＝B，EB，AB⊂平面EAB，
∴a⊥平面EAB，∴a∥l.
『答案』平行
8.一条与平面α相交的线段AB，其长度为10 cm，两端点A，B到平面α的距离分别是3 cm，2 cm，则线段AB与平面α所成的角大小是________.
『解析』如图，作AC⊥α，BD⊥α，垂足分别为C，D，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，AB＝10 cm，AC＝3 cm，BD＝2 cm，则AO＝6 cm，BO＝4 cm，∴∠AOC＝∠BOD＝30°，即线段AB与平面α所成的角的大小为30°.
『答案』30°
三、解答题
9.如图，P A⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.
求证：CF
DC＝CE BC.
证明∵P A⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，BD⊂平面ABD，BD⊂平面BCD，EF⊂平面BCD，
∴P A⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.
又P A∩PC＝P，P A，PC⊂平面P AC，∴BD⊥平面P AC.
又EF⊥AC，PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面P AC，
∴EF⊥平面P AC.∴EF∥BD，∴CF
DC
＝CE
BC.
10.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，DE⊥平面BCC1B1，求证：AB＝AC.
证明取BC的中点F，连接EF，AF.
则EF∥B1B且EF＝1
2B1B.
从而EF∥DA且EF＝DA，
则四边形ADEF为平行四边形，从而AF∥DE.
又DE⊥平面BCC1B1，故AF⊥平面BCC1B1.
从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，故AB＝AC.
能力提升
11.在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为()
A.27
B.7
C.19
D. 5
『解析』如图所示，因为PC⊥平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小.由条件知AC＝4，BC＝43，故CM的最小值为23，
又PC＝4，则PM的最小值为42＋（23）2＝27.
『答案』 A
12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥底面ABCD，M，N 分别是AB，PC的中点.
(1)求证：MN∥平面P AD；
(2)求证：AB⊥MN.
证明(1)取PD中点Q，连接AQ，NQ.
∵N 是PC 中点， ∴NQ 綉1
2DC ， 又∵M 是AB 中点， AM 綉1
2DC ，∴AM 綉NQ ，
∴四边形AQNM 是平行四边形.∴MN ∥AQ . ∵MN ⊄平面P AD ，AQ ⊂平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD .
(2)∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AB . 又∵底面ABCD 为矩形，
∴AB ⊥AD .又P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ， ∴AB ⊥平面P AD ，又AQ ⊂平面P AD ， ∴AB ⊥AQ .
又∵AQ ∥MN ，∴AB ⊥MN .
创新猜想
13.(多选题)如图所示，P A ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的投影，则( )
A.AF ⊥PB
B.EF ⊥PB
C.AF ⊥BC
D.AE ⊥平面PBC
『解 析』 对于A ，因为P A ⊥平面ABC ，故P A ⊥BC ，又BC ⊥AC ，故BC ⊥平面P AC ，从而BC ⊥AF ，又AF ⊥PC ，故AF ⊥平面PBC ，所以AF ⊥PB ，AF ⊥BC ，故A ，C 正确；对于B ，由选项A 知AF ⊥PB ，而AE ⊥PB ，从而PB ⊥平面AEF ，故EF ⊥PB ，故B 正确；对于D ，由上面过程可知，AE 与平面PBC 不垂直，故D 不正确. 『答 案』 ABC
14.(多选题)如图，等边三角形ABC 的边长为1，BC 边上的高为AD ，沿AD 把三角形ABC 折起来，则( )
A.在折起的过程中始终有AD ⊥平面DB ′C
B.三棱锥A －DB ′C 的体积的最大值为
3
48
C.当∠B ′DC ＝60°时，点A 到B ′C 的距离为15
4 D.当∠B ′DC ＝90°时，点C 到平面ADB ′的距离为12
『解 析』 因为AD ⊥DC ，AD ⊥DB ′，且DC ∩DB ′＝D ，DC ，DB ′⊂平面DB ′C ，所以AD ⊥平面DB ′C ，故A 正确；当DB ′⊥DC 时，△DB ′C 的面积最大，此时三棱锥A －DB ′C 的体积也最大，最大值为13×32×12×12×12＝3
48，故B 正确；当∠B ′DC ＝60°时，△DB ′C 是等边三角形，设B ′C 的中点为E ，连接AE ，DE ，则AE ⊥B ′C ，即AE 为点A 到B ′C 的距离，AE ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫342
＝
154，故C 正确；当∠B ′DC ＝90°时，CD ⊥DB ′，CD ⊥AD ，故CD ⊥平面ADB ′，则CD 就是点C 到平面ADB ′的距离，则CD ＝1
2，故D 正确.
『答案』ABCD。