2024-2025学年福建省福州市福州高级中学高三(上)第一次月考数学试卷(10月份)(含答案)

2024-2025学年福建省福州高级中学高三（上）第一次月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|x =3n−1,n ∈Z}，B ={x|x 2−8x ≤0}，则A ∩B =( )
A. {2,5}
B. {−7,−4,−1}
C. {2,8}
D. {2,5,8}
2.已知函数f(x)={
log a x,x ≥1−x 2+2(a−1)x +a−6,x <1(a >0且a ≠1)在定义域内是增函数，则a 的取值范围是
( )
A. (2,3)
B. (2,+∞)
C. [2,3]
D. (1,4)3.已知点A(2,1)，B(1,m +1)，C(m +2,−3)，且|AB |⋅|AC |=AB ⋅CA ，则m =( )
A. ±12
B. ±2
C. 12
D. 2
4.过坐标原点O 向圆C ：x 2+y 2−4x−2y +4=0作两条切线，切点分别为M ，N ，则tan ∠MON =( )
A. 34
B. 43
C. 3
D. 125.(2x−1
3x )8的展开式中的常数项为( )
A. 112
B. 56
C. −56
D. −112
6.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的部分图象如图所示，则f(x)在[π6,π2]上的值域为( )
A. [− 32
,1]B. [−12,1]C. [−1,2]
D. [−12,2]
7.已知M ，N 是抛物线y =ax 2(a >0)上的两个动点，|MN|=5，MN 的中点P 到x 轴距离的最小值为32，则a =( )
A. 18
B. 14
C. 12
D. 18.已知函数f(x)
=e x |x|，若函数g(x)=[f(x)]2+af(x)−e 2−ae 恰有5个不同的零点，则实数a 的取值范围是
( )
A. (−∞,−2e)
B. (−∞,−e)
C. (−∞,−2e )
D. (−∞,−1e )二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.电动自行车是民众的主要交通工具之一.在给民众的生活带来方便的同时，由于质量不合格或使用不当等原因，也带来了较多安全隐患，预防和减少电动自行车火灾的发生是消防部门的一项重要工作，也是全社会的责任和义务.某中学在消防部门的配合下在全校进行了一次安全使用电动自行车的知识竞赛.现从高
一、高二两个年级参加竞赛的同学中各随机抽取10名同学的竞赛成绩，按从小到大的顺序整理得到下表中的样本数据： 高一年级82848587878788889092
高二年级82858687898990929496
则下列说法正确的是( )
A. 高一年级的样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数与原样本的平均数相同
B. 高二年级样本数据的上四分位数是91
C. 高二年级样本数据的平均数恰好等于高二年级样本数据的众数
D. 高一年级的样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差为2
10.已知数列{a n }满足a n +1+a n =f(n),n ∈N ∗，则下列说法中正确的是( )
A. 若f(n)=2n ，则存在a 1，使得{a n }是等差数列
B. 若f(n)=2n ，则存在a 1，使得{a n }是等比数列
C. 若f(n)=0，则存在a 1，使得{a n }是等差数列
D. 若f(n)=0，则存在a 1，使得{a n }是等比数列
11.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =a +c ，则( )
A. 2sin 2B ≥sin 2A +sin 2C
B. 1sinA +1sinC ≥2sinB
C. 1tan A 2+1tan C 2=2
tan B
2 D. tan A 2+tan C 2≥2tan B 2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知复数z 满足zi =2−z +3i ，则|z|= ______．
13.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，平行于x 轴的直线与C 交于点P ，Q ，平行于y 轴的直线与C 交于点
M ，N ，直线PQ 与直线MN 在第一象限交于点E ，且|EM|=1，|EP|=2，|EN|=3，|EQ|=6，若过点E 的直线l 与C 交于点A ，B ，且点E 为AB 的中点，则l 的方程为______．
14.已知四棱锥P−ABCD 的底面ABCD 是边长为 3的正方形，PA =2 3，PA ⊥平面ABCD ，M 为线段PA 的
中点，若空间中存在平面α满足BD//α，MC ⊂α，记平面α与直线PD ，PB 分别交于点E ，F ，则PE ED = ______，四边形MECF 的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)
小郑计划在近三年中，每年从云南、深圳、西藏三个地方中选择一个地方旅游，且不可连续两年到同一个地方旅游.小郑在选择去云南旅游后，下一年选择去深圳旅游的概率为13；在选择去深圳旅游后，下一年选择去西藏旅游的概率为34；在选择去西藏旅游后，下一年选择去云南旅游的概率为27．
(1)假设小郑第一年去深圳旅游，求小郑在第三年去云南旅游的概率；
(2)假设小郑第一年去云南旅游，小郑在这三年内去云南旅游的次数为X ，求X 的分布列及数学期望．
16.(本小题15分)
如图，圆柱O 1O 的轴截面ABCD 为正方形，且AB =2，点E 在圆O 上(与A ，B 不重合)．
(1)求证：AE ⊥EC ；
(2)若点O 到平面ACE 的距离为 33
，求直线OD 与平面ACE 所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=e 2x −lnx +1x +m x (m ∈R)．
(1)若m =2e 2，求f(x)的单调区间；
(2)若m =0，f(x)的最小值为f(x 0)，求证：4<f(x 0)x 0
<6．18.(本小题17分)
已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2 33，左、右焦点分别为F 1，F 2，第一象限的点P(x 0,y 0)为双曲线E 上一点，若∠F 1PF 2的平分线与x 轴交于点M(m,0)，且mx 0=3．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)过F1作直线PM的垂线，垂足为N，若四边形PF1NF2的面积为S1，△PF1N的面积为S2，求S1
的取值范
S2
围．
19.(本小题17分)
已知数列{a n}的前k项中最大的项记为b k(k∈N∗)，则{b n}叫做由{a n}生成的“Max数列”．
(1)若a n=(−1)n⋅n，求b5+b20；
(2)若a n=(−2)n+1⋅n，求{b n}的前n项和S n(n≥3)；
(3)若数列{a n}，{b n}都只有5项，a k∈{1,2,3,4,5}(k=1，2，3，4，5)且{a n}各项均不相同，求数列{b n}的个数．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.B
5.A
6.C
7.B
8.A
9.AC
10.ACD
11.BCD
12.5
13.x+2y−4=0
14.26
15.解：(1)设第三年去云南旅游为事件A，则P(A)=3
4×2
7
=3
14
；
(2)易知随机变量X的所有可能取值为1，2，
则P(X=1)=1
3×3
4
+(1−1
3
)×(1−2
7
)=61
84
，P(X=2)=1
3
×(1−3
4
)+(1−1
3
)×2
7
=23
84
，
所以X的分布列为：
X12
P 61
84
23
84
所以E(X)=1×61
84+2×23
84
=107
84
．
16.（1）证明：连接BE，由条件可得BC⊥平面ABE，
又由AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC，
∵点E在圆O上，∴AE⊥BE，
又∵BC∩BE=B，且BC，BE⊂平面BCE，∴AE⊥平面BCE，∵EC⊂平面BCE，∴AE⊥EC．
（2）解：过点B作BF⊥CE于点F，
由（1）知AE ⊥平面BCE ，∵BF ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BF ，
又∵CE ∩AE =E ，且CE ，AE ⊂平面ACE ，
∴BF ⊥平面ACE ，故BF 的长为点B 到平面ACE 的距离，
又∵O 为AB 的中点，点O 到平面ACE 的距离为 33
，∴BF =2 33．在直角△BCE 中，可得BC •BE =BF •CE ，即2BE =2 33⋅ BE 2+4，可得BE = 2，
∵AE ⊥BE ，AB =2，∴AE = 2，以点A 为坐标原点，过点A 且与平面ABCD 垂直的直线为x 轴，AB ，AD 所在直线分别为y ,z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A （0，0，0），D （0，0，2），O （0，1，0），C （0，2，2），E （-1，1，0），
∴OD =(0，−1，2)，AC =(0，2，2)，AE =(−1，1，0)，
设平面ACE 的法向量为n =(x,y,z)，则{AC ⋅n =2y +2z =0AE ⋅n =−x +y =0
，令x =1，可得y =1，z =-1，∴n =(1，1，−1)，
设直线OD 与平面ACE 所成角为α，则sinα=|cos ＜n ，OD ＞|=|n OD ||n |⋅|OD |3 5×
3= 155，∴直线OD 与平面ACE 所成角的正弦值为 155
． 17.解：(1)由题知，f(x)的定义域为(0,+∞)，
当m =2e 2时，f(x)=e 2x −
lnx +1x +2e 2x ，所以f′(x)=2e 2x +lnx x 2−2e 2x 2=
2x 2e 2x +lnx−2e 2x 2，设g(x)=2x 2e 2x +lnx−2e 2，易知g(x)在(0,+∞)上单调递增，
又g(1)=0，故当x ∈(0,1)时，g(x)<0，即f′(x)<0，当x ∈(1,+∞)时，g(x)>0，即f′(x)>0，所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)．
(2)证明：当m =0时，f(x)=e 2x −lnx +1x =xe 2x −lnx−1x =e
2x +lnx −lnx−1x ，
设ℎ(x)=e x −x−1，则ℎ′(x)=e x −1，
当x <0时，ℎ′(x)<0，当x >0时，ℎ′(x)>0，
所以ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
故ℎ(x)≥ℎ(0)=0，所以e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立．
所以f(x)=e 2x +lnx −lnx−1x ≥2x +lnx +1−lnx−1x =2，
当且仅当2x +lnx =0时等号成立，
故f(x)的最小值f(x 0)=2，且2x 0+lnx 0=0，
记φ(x)=2x +lnx ，
易知φ(x)在(0,+∞)上单调递增，则x 0是φ(x)的唯一零点，
因为φ(12)=1−ln2>0，φ(13)=23−ln3<0，
所以13<x 0<12，所以4<f(x 0)
x 0<6．
18.解：(1)设F 1(−c,0)，F 2(c,0)，
则直线PF 1的方程为y =y 0
x 0+c (x +c)，
即y 0x−(x 0+c)y +cy 0=0，
同理可得直线PF 2的方程为y 0x−(x 0−c)y−cy 0=0，
由PM 为∠F 1PF 2的平分线可得点M 到直线PF 1，PF 2的距离相等，即|my 0+cy 0| y 20+(x 0+c )2=|my 0−cy 0| y 20+(x 0−c )2
，
由x 20a 2−y 2
0b 2=1可得y 20=b 2a 2x 20−b 2
，
故y 20+(x 0+c )2=b 2a 2x 20−b 2+x 20+2cx 0+c 2=(c
a x 0+a )2
，
同理可得y 20+(x 0−c )2=(c
a x 0−a )2，
易知0<m <c ，x 0>a ，y 0>0，
所以m +c c
a x 0+a =c−m
c a x 0−a ，
故mx 0=a 2=3，
得a = 3．由双曲线的离心率为2 33可得c a =2
3
3，
故c =2，
则b =1，
所以双曲线E 的标准方程为x 23−y 2=1．(2)延长F 1N ，与PF 2的延长线交于点K ，
因为∠F 1PN =∠KPN ，
则△PF 1N≅△PKN ，
故|PF 1|=|PK|，
所以S △PNF 2
S △PNK =|PF 2||PK|=|PF 2
|
|PF 1|，由角平分线的性质可得|PF 2
||PF 1|=|MF 2
||MF 1|=2−m 2+m
，故S △PNF 2=2−m 2+m ⋅S △PNK =2−m 2+m
⋅S 2，又S 1=S △PF 1N +S △PNF 2=
4m +2⋅S 2，得S 1S 2=4m +2
，由(1)可得mx 0=3，且x 0> 3，
故m =3x 0
∈(0, 3)，所以
4m +2∈(8−4 3,2)，即S 1S 2
的取值范围为(8−4 3,2)． 19.解：(1)由“Max 数列”的定义可得b 1=a 1=−1，b 2=b 3=a 2=2，b 4=b 5=a 4=4，⋅⋅⋅，b 18=b 19=a 18=18，b 20=a 20=20．
所以b 5+b 20=4+20=24．
(2)由“Max 数列”的定义可知b 1=b 2=a 1=1×22，b 3=b 4=a 3=3×24，b 5=b 6=a 5=5×26，⋅⋅⋅，当n 为偶数时，S n =2[1×22+3×24+5×26+⋅⋅⋅+(n−1)×2n ]，
所以4S n =2[1×24+3×26+5×28+⋅⋅⋅+(n−1)×2n +2]，
两式相减可得−3S n =2[4+2(24+26+⋅⋅⋅+2n )−(n−1)×2n +2]
=2[4+2×16(1−4
n−22)1−4
]−(n−1)×2n +3=13[(5−3n)×2n +3−40]，所以S n =19[(3n−5)×2n +3+40]．
当n 为奇数且n ≥3时，n−1为偶数，
则S n =S n−1+b n =19[(3n−8)×2n +2+40]+n ×2n +1=19[(15n−16)×2n +1+40]．所以当n ≥3时，S n ={19[(3n−5)×2n +3+40],n 为偶数19
[(15n−16)×2n +1+40],n 为奇数．(3)(ⅰ)若a 1=5，则b n =5，数列{b n }有1个，({b n }为5，5，5，5，5) (ⅱ)若a 2=5，a 1有4种可能，数列{b n }有4个，({b n }为1，5，5，5，5或2，5，5，5，5或3，5，5，5，5或4，5，5，5，5)
(ⅲ)若a 3=5，
当a 1>a 2时，数列{b n }有3个，({b n }为2，2，5，5，5或3，3，5，5，5或4，4，5，5，5) 当a 1<a 2时，数列{b n }有C 24=6(个)，({b n }为1，2，5，5，5或1，3，5，5，5或1，4，5，5，5或2，3，5，5，5或2，4，5，5，5或3，4，5，5，5)
(ⅳ)若a 4=5，
当a 1=4时，数列{b n }有1个；({b n }为4，4，4，5，5)
当a 2=4时，数列{b n }有3个；({b n }为1，4，4，5，5或2，4，4，5，5或3，4，4，5，5) 当a 3=4时，数列{b n }有A 23−1=5(个)；(若{a n }为1，2，4，5，3，则{b n }为1，2，4，5，5；若{a n }为1，3，4，5，2，则{b n }为1，3，4，5，5；若{a n }为2，1，4，5，3，则{b n }为2，2，4，5，5；若{a n }为2，3，4，5，1，则{b n }为2，3，4，5，5；若{a n }为3，1，4，5，2，则{b n }为3，3，4，5，5；若{a n }为3，2，4，5，1，则{b n }为3，3，4，5，5.可见最后两种情况的{b n }相同) 当a 5=4时，数列{b n }有A 33−1=5(个).(若{a n }为1，2，3，5，4，则{b n }为1，2，3，5，5；若{a n }为1，3，2，5，4，则{b n }为1，3，3，5，5；若{a n }为2，1，3，5，4，则{b n }为2，2，3，5，5；若{a n }为2，3，1，5，4，则{b n }为2，3，3，5，5；若{a n }为3，1，2，5，4，则{b n }为3，3，3，5，5；若{a n }为3，2，1，5，4，则{b n }为3，3，3，5，5.可见最后两种情况的{b n }相同) (Ⅴ)若a 5=5，
当a 1=4时，数列{b n }有1个；({b n }为4，4，4，4，5)
当a 2=4时，数列{b n }有C 13=3(个)；({b n }为1，4，4，4，5或2，4，4，4，5或3，4，4，4，5) 当a 3=4时，数列{b n }有A 23−1=5(个)；(若{a n }为1，2，4，3，5，则{b n }为1，2，4，4，5；若{a n }为1，3，4，2，5，则{b n }为1，3，4，4，5；若{a n }为2，1，4，3，5，则{b n }为2，2，4，4，5；若{a n }为2，3，4，1，5，则{b n }为2，3，4，4，5；若{a n }为3，1，4，2，5，则{b n }为3，3，4，4，5；若{a n }为3，2，4，1，5，则{b n }为3，3，4，4，5.可见最后两种情况的{b n }相同) 当a 4=4时，数列{b n }有A 33−1=5(个).(若{a n }为1，2，3，4，5，则{b n }为1，2，3，4，5；
若{a n}为1，3，2，4，5，则{b n}为1，3，3，4，5；若{a n}为2，1，3，4，5，则{b n}为2，2，3，4，5；若{a n}为2，3，1，4，5，则{b n}为2，3，3，4，5；若{a n}为3，1，2，4，5，则{b n}为3，3，3，4，5；若{a n}为3，2，1，4，5，则{b n}为3，3，3，4，5.可见最后两种情况的{b n}相同)
综上可知，数列{b n}的个数为1+4+3+6+1+3+5+5+1+3+5+5=42．。