数列等差等比数列问题综合章节综合检测提升试卷(一)含答案人教版新高考分类汇编

高中数学专题复习
《数列等差等比数列综合》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分
一、选择题
1．1 ．（汇编年高考安徽（文））设
n S 为等差数列{}n a 的前n 项
和,8374,2S a a ==-,则9a = （ ）
A ．6-
B ．4-
C ．2-
D ．2
2．如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则（ ） （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a (汇编全国2理)
3．等差数列｛n a ｝中，n S 表示前n 项的和，若n
n m
m S S n m 222
2--=，则=n m a a （ ） A ．
1
1
--n m B ．
n
m C ．
2
2--n m D ．
3
232--n m （汇编）
4．设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A ．1 B ．2
C ．4
D ．6（汇编全国理
3）
5．在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11= (A)58 (B)88 (C)143 (D)176
6．在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25
7．已知等比数列{a n }中,a n =2×3n -1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为
A.3n -1
B.3(3n -1)
C.41
9-n D.4)19(3-n
8．已知数列{a n }既是等差数列又是等比数列,则这个数列的前n 项和为 A.0 B.n C.na 1 D. a 1n
9．已知数列{}n a 的前n 项和n
n S aq =(0a ≠,1q ≠,q 为非零常数),则数列{}n a 为
( )A ．等差数列 B ．等比数列
C ．既不是等比数列也不是等差数列
D ．既是等差数列又是等比数列
10．一个小球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的一半再落下,设它第n 次着地时,共经过了a n 米,则当n ≥2时,有
312100.A --+
=n n n a a 2
1
2100
.B --+=n n n a a
n n n a a 2100.C 1+
=- 21
2100
21.D --+=n n n a a
11．lgx,lgy,lgz 成等差数列是y2=xz 成立的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
12．已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( ) A ．(],1-∞- B ．()(),01,-∞+∞
C ．[)3,+∞
D ．(]
[),13,-∞-+∞（四川卷7）
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =-，13
2
k a +=，12k S =-，则正整数k = ▲ ．
14．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，它的前n 项和为S n ，设集合A={(a n ,
n
S n
)| n∈N +}，若以A 中的元素作为点的坐标，这些点都在同一直线上，则这条直线的斜率为_________
15．等差数列{}n a 的前n 项和为2
1n S n n =++，则8910a a a ++=____________；
16．在等比数列}{n a 中，若前n 项的和r S n
n +=3，则r =______
17．在等差数列}{n a 中，若973,2
11
S S a ==，则公差d =_____
18．数列1,2,7,10,的一个通项公式是_________________ 19． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若53655,S S -=则4a = ．
20．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的"基本量".设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和。

下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列"基本量"的是第___①_④__组 (写出所有符合要求的组号).①1S 与2S ；②2a 与3S ;
③1a 与n a ;④q 与n a .其中n 为大于1的整数。

评卷人
得分
三、解答题
21．已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)0,2
n n n n n n n b a a b a b ++++-++==， *
n ∈N ，
且122,4a a ==． （Ⅰ）求345,,a a a 的值；
（Ⅱ）设*
2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；
（Ⅲ）设*
242,,k k S a a a k N =++⋅⋅⋅+∈证明：4*17
()6n
k k k
S n N a =<∈∑．(汇编年高考天津卷理科20)（本小题满分14分）
【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法. （Ⅰ）
22．设数列.109,10,}{11+==+n n n n S a a S n a 项和为的前 （1）求证：}{lg n a 是等差数列； （2）设)5(4
1
,}))(lg (lg 3{
21m m T n a a T n n n n ->+求使项和的前是数列对所有的
*N n ∈ 都成立的最大正整数m 的值.
23．已知数列{a n }满足a 1＝1， a n ＋1－a n ＝2(a n +1＋a n )－1 ． (1)试证明数列{a n ＋1－a n }是等差数列，并求{a n }的通项公式； (2)试证明k ＝1∑n
1a k
＜7
4；
(3)试证明k ＝1∑n
(1a k
)32＜5
4 ．
证明 (1)因为a 1＝1， a n ＋1－a n ＝2(a n +1＋a n )－1， 所以a 2－a 1＝2(a 2＋a 1)－1，解得a 2＝4 ．
由a n ＋1－a n ＝2(a n +1＋a n )－1知数列{a n }是递增的， 且 (a n ＋1－a n )2＝2(a n ＋1＋a n )－1， ○
1 将n 换成n ＋1得(a n ＋2－a n ＋1)2＝2(a n ＋2＋a n +1)－1， ○
2 两式相减， 得(a n ＋2－2a n ＋1＋a n )(a n ＋2－a n )＝2(a n ＋2－a n )， 因为数列{a n }是递增的， 所以a n ＋2－a n ≠0，
于是， a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2 ． 即(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2， 所以{a n ＋1－a n }是等差数列 ．
a n ＋1－a n ＝a 2－a 1＋2(n －1)＝2n ＋1 ．
a n ＝(a n －a n -1)＋(a n -1－a n -2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋3＋1＝n 2 ． (2)当n ＝1，2时，不等式显然成立 ．
当n ≥3时， k ＝1∑n 1a k ＝k ＝1∑n 1k 2＝1＋k ＝3∑n 1k 2＜1＋14＋k ＝3∑n 1(k －1)k ＝1＋1
4＋k ＝3∑
n
(
1k －1
－1
k ) ＝1＋14＋(12－1n )＝74－1n ＜74 ． (3) k ＝1∑n (1a k )32＝k ＝1
∑n 1
k 3 ．
当n ＝1，2时，直接验证知不等式显然成立 ．当k ≥3时 1k 3＜1(k －1)k (k +1)＝12[1(k －1)k －1
k (k +1)
]，k ＝3，4，…，n ． 相加得k ＝3∑n 1k 3＜12[16－1n (n +1)]＜112．所以k ＝1∑n 1k 3＜1＋18＋112＝1＋524＜1＋6
24＝
5
4 ．
24．有一组数据)(,,,:2121n n x x x x x x <<< 的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均值为11．
(1) 求出第一个数1x 关于n 的表达式及第n 个数n x 关于n 的表达式．
(2)若n x x x ,,,21 都是正整数，试求第n 个数n x 的最大值，并举出满足题目要求且
n x 取到最大值的一组数据．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．A 2．B 3．D 4．B
5．B 【汇编高考真题辽宁理6】 【解析】在等差数列中，111111481111()
16,882
a a a a a a s ⨯++=+=∴=
=，答案为
B
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n 项和公式，同时考查运算求解能力，属于中档题。

解答时利用等差数列的性质快速又准确。

6．B 【汇编高考真题重庆理1】
【解析】因为12=a ，54=a ，所以64251=+=+a a a a ，所以数列的前5项和
1562
5
2)(52)(542515=⨯=+=+=
a a a a S ,选B. 7．C
解析：4690C
8．B
解析：4531B
9．C
10．A
解析：4523A
11．A
解析：306A
12．D
第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明
评卷人得分
二、填空题
13．13
14．1 2
15．
16．；
17．1
18．
19．；
20．
评卷人得分
三、解答题
21．由3(1)2n n b +-=,*
n ∈N ,可得1,2,n n b n ⎧=⎨⎩
是奇数是偶数, 又1120,n n n n n b a a b a +++++=
当n=1时,12320a a a ++=,由12a =,24a =,得33a =-; 当n=2时,23420a a a ++=,可得45a =-. 当n=3时,34520a a a ++=,可得54a =. （Ⅱ）证明:对任意*
n ∈N ,
2122120n n n a a a -+++=,①[来源:学科网ZXXK] 2212220n n n a a a ++++=,② 21222320n n n a a a +++++=,③
②-③得 223n n a a += ④,
将④代入①,可得2123n n a a +++2121(),n n a a -+=-+即1n n c c +=-(*
n ∈N ),又
1131c a a =+=-,
故0n c ≠,因此
1
1n n
c c +=-,所以{}n c 是等比数列. （III ）证明：由（II ）可得2121(1)k
k k a a -++=-， 于是，对任意*
2k N k ∈≥且，有
133********,()1,1,
(1)() 1.
k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=
-
将以上各式相加，得121(1)(1),k
k a a k -+-=-- 即1
21(1)(1)k k a k +-=-+，
此式当k=1时也成立.由④式得1
2(1)(3).k k a k +=-+
从而2246842
4()()(),k k k S a a a a a a k -
=++++++=-
2124 3.k k k S S a k -=-=+
所以，对任意*
,2n N n ∈≥，
44342414114342414()n
n
k m m m m
k m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑ 12221232(
)2222123n
m m m m m
m m m m =+-+=--++++∑ 1
23
(
)2(21)(22)(22)
n
m m m m m ==++++∑
2253232(21)(22)(23)
n
m m m n n ==++⨯+++∑ 21533(21)(21)(22)(23)
n m m m n n =<++-+++∑ 151111113
[()()(
)]323557
2121(22)(23)
n n n n =+⋅-+-++-+-+++ 15513
36221(22)(23)
7.6
n n n =+-⋅+
+++<
对于n=1，不等式显然成立. 所以，对任意*
,n N ∈
21212
12212n n
n n
S S S S a a a a --+++
+ 321212
41234
212(
)()(
)n n
n n
S S S S S S a a a a a a --=++++++ 22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)
n n n
=--+--+
+-
---- 22211121()()(
)41244(41)
44(41)
n n n
n n =-+-+-
-+-- 111().4123
n n ≤-+=-
22．解：（1）依题意，10,1001091
2
12==+=a a a a 故
， (2)
分 当109,21+=≥-n n S a n 时 ①
又1091+=+n n S a ②…………………………………4分
②－①整理得：
}{,101
n n
n a a a 故=+为等比数列， 且n a q
a a n n n n =∴==-log ,101
1 *1}{lg ,1)1(lg lg N n a n n a a n n n ∈=-+=-∴+即是等差数列 (6)
分
（2）由（1）知，)
1(1
321211(
3+++⋅+⋅=n n T n ………………………………8分 1
3
3)1113121211(3+-
=+-++-+-
=n n n ……………………………………10分 ,23≥
∴n T 依题意有,61),5(4
1
232<<-->m m m 解得
故所求最大正整数m 的值为 5.……………………………………………………
15分 23．
24． （1） 依条件得：121212310(1)9(1)(2)11(1)(3)n n n
x x x n
x x x n x x x n -+++=+++=-+++=-⎧⎪
⎨⎪⎩
由(1)(2)-得：
9n x n =+， 又由)3()1(-得：
111x n =-
（2）由于1x 是正整数，故
1111x n =-≥，110n ⇒≤≤，故919n x n =+≤当
n
=10时,
11x =，1019x =，23980x x x +++=, 此时，
26x =,37x =,48x =,59x =, 611x =,712x =,813x =,914x =.。