2014-2015学年杭州市余杭区仁和中学九上期末数学试卷

2014-2015学年杭州市余杭区仁和中学九上期末数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）
1. 若一元二次方程x2−3x−1=0的两根分别为x1，x2，则1
x1+1
x2
的值为
A. 3
B. −3
C. 1
3D. −1
3
2. 二次函数y=x−12+2的最小值是
A. −2
B. 2
C. −1
D. 1
3. 关于x的一元二次方程m−1x2−2mx+m=0有两个实数根，那么m的取值范围是
A. m>0
B. m≥0
C. m>0且m≠1
D. m≥0且m≠1
4. 如图，不是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
5. 如图，点A，C，B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=α．则α的值为
A. 135∘
B. 120∘
C. 110∘
D. 100∘
6. 如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
7. 如图，若a<0，b>0，c<0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为
A. B.
C. D.
8. 已知两圆半径为5 cm和3 cm，圆心距为3 cm，则两圆的位置关系是
A. 相交
B. 内含
C. 内切
D. 外切
二、填空题（共6小题；共30分）
9. 点P2,−3关于原点的对称点Pʹ的坐标为．
10. 如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P=60∘，PA=8，那么弦AB的长是．
的圆中，60∘的圆心角所对的弧长等于．
11. 在半径为6
π
12. 在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机
摸出一个球，它是白球的概率为2
，则n=．
5
13. 关于x的方程m2−1x3+m−1x2+2x+6=0，当m=时为一元二次方程．
14. 将抛物线y=2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是．
三、解答题（共10小题；共130分）
15. 解方程x2−22x+2=0．
16. 如图，是某几何体的平面展开图，求图中小圆的半径．
17. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O
经过点D．
（1）求证：BC是⊙O切线；
（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．
18. 某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，
尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元?
（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．
19. 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，
且AB=26 m，OE⊥CD于点E，水位正常时测得OE:CD=5:24．
（1）求CD的长；
（2）现汛期来临，水面要以每小时4 m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满?
20. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为−1,0，与y轴
的交点坐标为0,−3．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标；
（3）根据图象回答：当x取何值时，y<0?
21. 在边长为1的方格纸中建立直角坐标系xOy，O，A，B三点均为格点．
（1）直接写出线段OB的长；
（2）将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90∘得到△OAʹBʹ．请你画出△OAʹBʹ，并求在旋转过程中，点B所经过的路径BBʹ的长度．
22. 在一个不透明的口袋中有四个手感完全一致的小球，四个小球上分别标有数字−4，−1，2，5．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，其上标明的数是奇数的概率是多少?
（2）从口袋中随机摸出一个小球不放回，再从中摸出第二个小球．
①请用表格或树状图表示先后摸出的两个小球所标数字组成的可能结果；
②求依次摸出的两个小球所标数字为横坐标，纵坐标的点位于第四象限的概率有多大?
23. 某农场要建一个长方形ABCD的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长25 m）另外三边用木栏围成，
木栏长40 m．
（1）若养鸡场面积为168 m2，求鸡场垂直于墙的一边AB的长．
（2）请问应怎样围才能使养鸡场面积最大?最大的面积是多少?
（3）养鸡场面积能达到205 m2吗?如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．
的抛物线经过点A6,0和B0,4．
24. 如图，对称轴为直线x=7
2
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E x,y是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形?
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
答案第一部分
1. B 【解析】1
x1+1
x2
=x1+x2
x1x2
=3
−1
=−3．
2. B
3. D
4. D
5. B
6. A
7. B 【解析】∵a<0，
∴抛物线的开口方向向下，故C错误；
∵c<0，
∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，故A错误；∵a<0，b>0，对称轴为直线x=−b
2a
>0，
∴对称轴在y轴右侧，故D错误．
8. A
第二部分
9. −2,3
10. 8
11. 2
12. 3
13. −1
14. y=2x2−1
第三部分
15. 原方程可化为
x−22=0,∴原方程的根为
x1=x2= 2.
16. 这个几何体是圆锥，假设图中小圆的半径为r，
∵扇形弧长等于小圆的周长，
即120
360
×2π×8=2⋅π⋅r，
∴r=8
3
．
17. （1）连接OD；
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠ACB=90∘，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O切线．
（2）过点D作DE⊥AB，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴CD=DE=3．
在Rt△BDE中，∠BED=90∘，由勾股定理得：BE=4．∵∠BED=∠ACB=90∘，∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴BE
BC =DE
AC
，
∴AC=6．
18. （1）设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，
根据题意得
w=40−x20+2x
=−2x2+60x+800
=−2x−152+1250.
当w=1200时，−2x2+60x+800=1200，解之得x1=10，x2=20．根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．
答：每件衬衫应降价20元．
（2）商场每天盈利40−x20+2x=−2x−152+1250．
所以当每件衬衫降价15元时，商场盈利最多，共1250元．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．
19. （1）∵直径AB=26 m，
∴OB=1
2AB=1
2
×26=13m．
∵OE⊥CD，∴DE=1
2
CD．
∵OE:CD=5:24，
∴OE:ED=5:12，
设OE=5x m，则ED=12x m，
∴在Rt△ODE中，5x2+12x2=132，
解得x=1，
∴CD=2DE=2×12×1=24m．
（2）由（1）得OE=1×5=5m．
延长OE交圆O于点F，
∴EF=OF−OE=13−5=8m．
∴8
4
=2小时，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．
20. （1）由二次函数y=x2+bx+c的图象经过−1,0和0,−3两点，
得1−b+c=0, c=−3.
解这个方程组，得b=−2, c=−3.
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3．
（2）令y=0，得x2−2x−3=0．
解这个方程，得x1=3，x2=−1．
∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为3,0．（3）当−1<x<3时，y<0．
21. （1）OB=3．
（2）图形如图．
BBʹ=90⋅π⋅3
180=3π
2
．
22. （1）从口袋中随机摸出一个小球，其上标明是奇数的概率是P=1
2
=0.5．（2）①用表格表示摸出的两个小球所标数字所有可能出现的结果：
②共有12种等可能结果，位于第四象限的点有2,−4，2,−1，5,−4，5,−1这四个，
依次摸出两个小球所标数字为横、纵坐标的点位于第四象限的概率有P=4
12=1
3
．
23. （1）设鸡场垂直于墙的一边AB的长为x m，
则x40−2x=168，
整理得：x2−20x+84=0，
解得：x1=14，x2=6，
∵墙长25 m，
∴0≤BC≤25，即0≤40−2x≤25，
解得：7.5≤x≤20，
∴x=14．
答：鸡场垂直于墙的一边AB的长为14 m．
（2）设围成养鸡场面积为S，
则
S=x40−2x
=−2x2+40x
=−2x2−20x
=−2x2−20x+102+2×102
=−2x−102+200,
∵−2x−102≤0，
∴当x=10时，S有最大值200．
即鸡场垂直于墙的一边AB的长为10 m时，围成养鸡场面积最大，最大值200 m2．（3）不能，由（2）可知养鸡场面积最大为200 m2，故养鸡场面积不能达到205 m2．
24. （1）由抛物线的对称轴是x=7
2,可设解析式为y=a x−7
2
2
+k.
把A,B两点坐标代入上式，得
a6−7
2
2
+k=0,
a0−7
2
2
+k=4.
解得a=2
3
,
k=−25
6
.
故抛物线解析式为y=2
3 x−7
2
2
−25
6
，顶点为7
2
,−25
6
.
（2）∵点E x,y在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
y=2
3 x−7
2
2
−25
6
，
∴y<0，即−y>0，−y表示点E到OA的距离．∵OA是平行四边形OEAF的对角线，
∴S=2S△OAE=2×1
2×OA⋅y=−6y=−4 x−7
2
2
+25．
因为抛物线与x轴的两个交点是1,0的6,0，所以，自变量x的取值范围是1<x<6．
①根据题意，当S=24时，即−4 x−7
22
+25=24．
化简，得 x−7
22
=1
4
．
解得x1=3,x2=4．
故所求的点E有两个，分别为E13,−4，E24,−4．
点E13,−4满足OE=AE,所以平行四边形OEAF是菱形；
点E24,−4不满足OE=AE，所以平行四边形OEAF不是菱形．
②当OA⊥EF,且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，此时点E的坐标只能是3,−3．而坐标为3,−3的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，
使平行四边形OEAF为正方形．。