18第十三章 虚位移原理

曲柄连杆机构
xA2 yA2 r2 (xB xA)2 ( yB yA)2 l2 , yB 0
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第十三章 虚位移原理
刘习军
一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质 点系，其自由度为
k 3n s
通常，n 与 s 很大而k很小。为了确定质点系的位置， 用适当选择的k个参数（相互独立），要比用3n个直角 坐标和s个约束方程方便得多。
sin 1 cos1

l2
cos 2

y B l1 sin 1 l2 sin 2
第十三章 虚位移原理
13.1 虚位移的基本概念 约束和约束方程 约束的分类 自由度 广义坐标
刘习军
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第十三章 虚位移原理
刘习军
约束和约束方程 自由质点系：质点的运动状态（轨迹、速度等等）只
取决于作用力和运动的起始条件。 其运动称为自由运动。 非自由质点系：质点系的运动状态受到某些预先给定
因此自由度数为 k 2 2 3 1 为广义坐标
xA r cos yA r sin
xB r cos l cos
sin r sin
l
Ψ
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第十三章 虚位移原理
刘习军
若用刚体作为基本单元
设某质点系由N个刚体、s个完整约束组成。 刚体有3N个线位移坐标（直角坐标系的三个直 角坐标）和3N个角位移坐标（例如三个欧拉角）， 共计6N个坐标来确定这N个刚体在空间的位置； 确定该质点系位置的独立坐标的数目亦即自由度
其自由度为 k=3n-s 确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立 坐标的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称 为自由度。
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第十三章 虚位移原理
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例如, 曲柄连杆机构， 确定曲柄连杆机构位置的四
个坐标xA、yA、xB、yB须满足三个约束方程,因此有 一个自由度。
两个自由度
取广义坐标，
x1 asin , y1 acos x2 asin bsin , y2 acos bcos
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13.2 虚位移 虚功 虚位移：在给定位置上，质点或质点系在约束所容 许的条件下可能发生的任何无限小位移，称为质点或 质点系的虚位移。
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在静力学中，从静力学公理出发，通过力系的 简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚 体系统的平衡问题。
从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平 衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研究平衡 问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗贝 尔原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的 动力学普遍方程。
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虚位移与实位移的比较 实位移是在dt的时间内真实发生的，它除 满足约束方程外，还满足动力学方程及初始 条件。 虚位移则只满足给瞬时的约束方程，是约 束的直接结果。在稳定约束情况下，实位移 是虚位移中的一种。
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虚位移的表示方法
几何法
rA OA rB OB


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•变分法（广义虚位移、解析法）
坐标表达式
xB r cos l cos
xA r cos yA r sin sin r sin
虚位移表达式
xB r sin


l
sin

r
l
sin
rA

OA OB
rB
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可利用rA及rB在AB上 投影相等的条件（虚速 度法），求得rA与rB 之间的关系
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第十三章 虚位移原理 •虚速度法：
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rA AB rB AB
rA cos 90 rB cos
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第十三章 虚位移原理
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例 质点A、B由杆件及导轨连接成曲柄滑块机构形式
。确定自由度数，广义坐标，并将各质点位置用广
义坐标表表示出来。
解：平面问题，二个质点，三个几何约束，
xA2 yA2 r 2
xB
xA
2

y
2 A
l2
yB 0
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变长度的单摆，摆锤M可简化为质点，约束它的 是一软线。此软线的起始长度为l0 ，穿过固定在O点 上的小圆环，以不变的速度v0向左下方拉曳，迫使摆 锤M在铅直平面Oxyz内作变摆长的摆动。
在任意瞬时t，其约束
方程为
x2＋y2＝(l0–v0 t)2
式中显含时间变量t是非
定常约束
b是积分常数，由运动的起始条件确定
非完整约束: 如果约束方程中包含坐标对时间的导数， 此导数还不能转换为有限形式，这种约束称为非完整 约束。
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几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何 约束。
非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非 完整约束。
约束的分类
几何约束和运动约束 定常约束和非定常约束 完整约束和非完整约束 双面约束和单面约束
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几何约束和运动约束
几何约束：约束只限制质点或质点系在空间的位置。
运动约束：如果约束对于质点或质点系不仅有位移方 面的限制，还有速度或角速度方面的限制，这种约束 称为运动约束。
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双面约束和单面约束
双面约束:约束不仅能限制质点在某一方向的运动， 还能限制其在相反方向的运动。
单面约束:约束只能限制某一方向的运动。 单摆如用摆杆约束，则为双面约束；
约束方程： x2 y2 l 2
如改用不可伸长的软线约束，则只 能限制摆锤沿软线受拉方向的运动， 并不能限制摆锤沿软线受压方向的 运动，其约束为单面约束方程
f j (x1, y1, z1;; xn , yn , zn ) 0 ( j 1,2,, s)
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自由度 广义坐标
一个自由质点在空间的位置：（ x, y, z ) 3个 一个自由质点系在空间的位置：
( xi , yi , zi ) (i=1,2……n) 3n个 对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s )个 独立坐标。
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第十三章 虚位移原理
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第十三章 虚位移原理及 拉格朗日方程
13.1 虚位移的基本概念 13.2 虚位移和虚功 13.3 虚位移原理及应用 13.4 用广义力表示质点系的平衡条件 13.5 动力学普遍方程及拉格朗日方程
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数k为k＝6N–s
如果质点系属于平面问题，例如在Oxy平面内，
zi≡0，x＝y≡0，则为
k＝3N–s
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例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。
(x1, y1) , (x2 , y2 ) x12 y12 a2 yO 0 xO 0 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 b2
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约束方程: x2 y2 l 2
第十三章 虚位移原理
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刚杆
绳
x2+y2=l2
x2+y2 l2
双面约束和单面约束
双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程 为不等式。
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第十三章 虚位移原理
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我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整 约束的情况，其约束方程的一般形式为（s为质点 系所受的约束数目，n为质点系的质点个数）
例 图示中的单摆，受到水 平转轴O和摆杆OM的约束，且 在Oxy平面内绕O轴摆动，设摆 杆长l，则几何约束方程为
x2 y2 l2
方程只与位置有关，是几何约束方程。
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曲柄连杆机构 xA2 yA2 r2
(xB xA)2 (yB yA)2 l2 yB 0
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几何约束方程
第十三章 虚位移原理
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例 半径为r的车轮沿道路纯滚动，它们的约束方程为
yO＝r vO—r＝0
dxO r d 0
dt dt
包含轮心的速度O和车轮的角 速度，或轮心坐标xO和车轮 转角对时间t的一阶导数，因
此这是运动约束方程。
k 3n s 空间 k 2n s 平面
广义坐标的值完全确定了质点系的位置和形状.
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设某质点系由n个质点、s个完整约束组成。
该系统有k＝3n-s个自由度。若选择 q1，q2，…， qk作为确定此系统位置的k个广义坐标。
cos

xA r sin
yA r cos
r cos l cos


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变分法
双摆A、B两点的坐标，用广义 坐标1、2的变分表示为：
x A l1 cos1

yA xB

l1 l1
用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。
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广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线
位移（x, y, z, s 等）也可以取角位移（如 , , ,
等）。在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于 自由度数目。
若质系由个 n 质点组成，描述每个质点需三个参 量xi，yi，zi，质系还有s个完整约束，则质系的广义 坐标个数，亦即自由度数 k 为
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第十三章 虚位移原理
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完整约束和非完整约束 完整约束: 如果在约束方程中不包含坐标对时间的导
数，或者虽然包含坐标对时间的导数，但可以积分，转
换为有限形式。 这种约束称为完整约束。
vO—r＝0 dxO r d 0
dt dt
xO r b 0
一rB个。微由小于角 度是微小。的杆，上所A、以B可两以点认的为虚r位A、移为rB垂rA直、
于AB。
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若转动一个微小角度，整个系统及其中各点 将有虚位移。
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第十三章 虚位移原理
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第十三章 虚位移原理
定常约束和非定常约束
定常约束：约束方程中不显含时间变量t，
这种约束称为定常约束；
非定常约束：显含时间变量t的约束。
刘习军
x2 y 2 l 2 vO—r＝0
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单摆、车轮的 约束，都是定 常约束。
质点系中第i个质点的虚位移用ri表示 理解虚位移有4个要点： ①为约束所容许，即不能破坏系统的约束；
②可能发生的，即假想的，与时间无关；
③所有的，但不止一种；
④无限小，不改变系统位置。
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第十三章 虚位移原理
刘习军
例 杆AB的虚位移是绕O的微小转动，即由AB转过
系统任一质点Mi的坐标可以表示为广义坐标 的函数，即
xi xi (q1, q2 ,, qk )

yi

yi (q1, q2 ,, qk )
zi zi (q1, q2 ,, qk )
i 1,2,, n
ri

r矢i (径q1的, q形2 ,式为, q：k )
i 1,2,, n
的限制（运动的起始条件也要满足这 些限制条件）
其运动称为非自由运动。
约束：非自由质点系受到的预先给定的限制。
约束方程：用解析表达式表示的约束限制条件。
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第十三章 虚位移原理
刘习军
在静力学中，考虑的是：如何将约束对物体 的限制作用以约束力的形式表现出来。
在虚位移原理中考虑的是：如何将约束对物 体的位置、形状以及运动的限制作用，用解析表 达式的形式表现出来。