宁夏银川一中高三第四次模拟考试数学(理)试卷含答案【精品】

2018年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
( 银川一中第四次模拟考试 )
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的．
1．已知,m n R ∈，集合{}72,log A m =，集合{},B m n =，若}0{=⋂B A ，则m n -= A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
2．若复数i z 211+=，复数i z -=12，则12z z = A ．6
B 10
C 6
D 23．已知命题p ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝： A ．x R ∃∈，sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．x R ∃∈，sin 1x >
D ．x R ∀∈，sin 1x >
4．设a=0.50.4，b=log 0.40.3，c=log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b
D ．b ＜c ＜a
5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2
12a a =,且312,,S S S 成等差数列,则4S =
A ．10
B ．12
C ．18
D ．30
6．A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0—9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为 A ．
14
B ．
25
C ．
710
D ．
15
7．n x
x )1
(3-的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是
A ．28
B ．－28
C ．70
D ．－70
8．设圆心在x 轴上的圆C 与直线1:310l x y -+=相切,且与直线2:30l x y -=相交于两点,M N ,若||3MN =,则圆C 的半径为 A ．
12
B ．
32
C ．1
D ．2
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．1 B ．2 C ．3
D ．6
10．五进制是以5为底的进位制,主因乃人类的一只手有五只手指.中
国古代的五行学说也是采用的五进制,0代表土,1代表水,2代 表火,3代表木,4代表金,依次类推,5又属土,6属水,……, 减去5即得.如图,这是一个把k 进制数a (共有n 位)化 为十进制数b 的程序框图,执行该程序框图,若输入的
,,k a n 分别为5,324,3,则输出的b =
A.45
B.89
C.113
D.445
11．已知函数)0(2
1sin )(2
>-=ωωx x f 的周期为
2
π
，若将其图 象沿轴向右平移a 个单位（a ＞0），所得图象关于原 点对称，则实数a 的最小值为 A ．
4π B ．4
3π C ．
2π D ．8
π
12．定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，()()'f x xf x >-恒成立，
则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．已知2||,1||==b a ，且)(b a a -⊥，则向量a 在向量b 方向上的投影为 . 14．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且2,4
1===∆ABC S B a π
，，
则b = .
15．已知实数x ，y 满足1,
1,0,
x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪>⎩
则22x y x ++的最小值为 ．
16．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为点12(,0),(,0)(0)F c F c c ->,
抛物线2
4y cx =与双曲线在第一象限内相交于点P ,若212||||PF F F =,则双曲线的离心率为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
24n n n a a S +=．
（1）求n S ；
（2）设(1)n n b n n S =++⋅，求数列1
{}n
b 的前n 项和n T ．
18．（本小题满分12分）
第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日 到23日在深圳举行 ，为了搞好接待工作，组委会在某学 院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。

将这30名志 愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm ）：若身高 在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在 175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”，且只 有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。

（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选
2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望。

19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，AD //BC ，
24AD BC ==，23AB =，90BAD ∠=o ，M 、 O 分别为CD 和AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ．
（1）求证：AC ⊥BM ；
（2）是否存在线段PM 上一点N ，使得
ON //平面PAB ，若存在，求
PN
PM
的值；如果 不存在，说明理由． 20.（本小题满分12分）
设F 1，F 2分别是椭圆C ：2212
x y +=的左、右焦点，过F 1且斜率不为零的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点。

（1）求△AF 1F 2的周长；
（2）若存在直线l ，使得直线F 2A ，AB ，F 2B 与直线=－
1
2
分别交于P ，Q ，R 三个不同的点，且满足P 、Q 、R 到轴的距离依次成等比数列，求该直线l 的方程。

21.（本小题满分12分）
设函数f （）=e ﹣a 2﹣e +b ，其中e 为自然对数的底数．
（1）若曲线f （）在y 轴上的截距为﹣1，且在点=1处的切线垂直于直线x y 2
1
=，求实数a ，b 的值；
（2）记f （）的导函数为g （），求g （）在区间[0，1]上的最小值h （a ）．
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为：2cos ρθ=.
(1)若曲线2C 的参数方程为⎩
⎨
⎧+==αα
sin 1cos t y t x (a 为参数)，求曲线1C 的直角坐标方程和曲线
2C 的普通方程;
(2)若曲线2C 的参数方程为⎩
⎨⎧+==αα
sin 1cos t y t x (t 为参数)，()0,1A
,且曲线1C 与曲线2C 的交
点分别为P 、Q ，求
11
AP AQ
+的取值范围. 23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲． 已知函数()22 f x x b x b =++-. (1)若1b =,解不等式()4f x >;
(2)若不等式()1f a b >+对任意的实数a 恒成立，求b 的取值范围.
银川一中高三第四次模拟理科数学试题参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．
二．填空题：
13. 22 14.5 15.4 16.1+17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得221
112424n n n n n n a a S a a S +++⎧+=⎪
⎨+=⎪⎩ ，两式作差得11()(2)0n
n n n a a a
a +++--= ，
又数列
{}
n
a 各项均为
正数，所以
12
n n a a +--=，即
12n n a a +-=-----------------------------3分
当1n =时，有21111244a a S a +==，得11(
2)0a a -=
，则12a =，
故数列{}n a 为首项为2公差为2的等差数列，所以21(1)
2
n n n S na d n n -=+=+---------6分 （
Ⅱ
）
1n b ==-
-----------------------------------9分 所
以
11
11n
n
n i i i T b =====-∑∑-----------------------------------------------------12分 18．（本小题满分12分）
【解析】试题分析：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法选中的“高个子”有2人，“非高个子”有3人．由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有一人是“高个子”的概率．
（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列．
（2）依题意，ξ的取值为0,1,2,3．()
3
14
8
P0
355
12
C
C
ξ===，()
12
28
48
P1
355
12
C C
C
ξ===，()
21
12
48
P2
355
12
C C
C
ξ===，()
3
1
4
P3
355
12
C
C
ξ===．因此，x的分布列如下：
ξ0123
．
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）如图，以A为原点建立空间直角坐标系A xyz
-，
则(23,0,0)
B，(23,2,0)
C，(0,4,0)
D，
所以CD中点(3,3,0)
M，则(3,3,0)
BM=
u u u u r
，
(23,2,0)
AC=
u u u r
，则323320
BM AC
⋅=-⨯=
u u u u r u u u r
，
所以BM AC ⊥. ----------6分
（Ⅱ）法一：设OP h =，则(3,1,0)O ，(3,1,)P h ，则(0,2,)PM h =-u u u u r
设平面PAB 的一个法向量为000(,,)x y z =n ，(3,1,)AP h =u u u r
，)0,0,32(=AB ，
所以00AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r
u u u r
n n ，则⎪⎩⎪⎨⎧==++0
320
30000x hz y x ，令01z =， 得(0,,1)h =-n .-------------------------9分
设(0,2,)(01)PN PM h λλλλ==-≤≤u u u r u u u u r
，则 (0,2,)ON OP PN h h λλ=+=-u u u r u u u r u u u r
，
若ON //平面PAB ，则20ON h h h λλ⋅=-+-=u u u r n ，解得1
3
λ=.----------------------12分
法二（略解）：连接MO 延长与AB 交于点E ，连接PE ，若存在ON //平面PAB ，则ON //PE ， 证明
1
3
OE EM =即可. 20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为椭圆的长轴长2a=22 ，焦距2c=2. 又由椭圆的定义得 |AF 1|+|AF 2|=2a
所以△AF 1F 2的周长为|AF 1|+|AF 2|+|F 1F 2|=22+2
（Ⅱ）由题意得l 不垂直两坐标轴，故设l 的方程为y=(+1)(≠0)
于是直线l 与直线=－
12交点Q 的纵坐标为2
Q k
y = 设 A(1，y 1)，B(2，y 2)，显然1，2≠1，所以直线F 2A 的方程为1
1(1)1y y x x =
--
故直线F 2A 与直线=－
1
2交点P 的纵坐标为1132(1)
P y y x -=- 同理，点R 的纵坐标为2
232(1)
R y y x -=
-
因为P ，Q ，R 到轴的距离依次成等比数列，所以|y P |·|y R |=|y Q |
2
即2
121233||2(1)2(1)4y y k x x --⨯=--
即2212129(1)(1)|
|(1)(1)k x x k x x ++=-- 整理得121212129|()1||()1|x x x x x x x x +++=-++。

（*）
联立22
(1),
1,2
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得(1+22)2+42+22
－2=0 所以1+2=22
412k k -+ ，12=22
2212k k -+
代入（*）得22222222
2242249|1||1|12121212k k k k k k k k ----++=-+++++ 化简得|82
－1|=9。

解得=52± 经检验，直线l 的方程为y=52
±(+1)
21.（本小题满分12分）
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）将（0，﹣1），代入f （），即可求得b 的值，求导，由f′（1）=﹣2，即可求得a 的值；
（Ⅱ）求导，g′（）=e ﹣2a ，分类分别取得g （）在区间[0，1]上的最小值h （a ）解析式 解：（Ⅰ）曲线f （）在y 轴上的截距为﹣1，则过点（0，﹣1）， 代入f （）=e ﹣a 2﹣e+b ，
则1+b=﹣1，则b=﹣2，求导f′（）=e ﹣2a ﹣e ， 由f′（1）=﹣2，即e ﹣2a ﹣e=﹣2，则a=1， ∴实数a ，b 的值分别为1，﹣2；
（Ⅱ）f （）=e ﹣a 2﹣e+b ，g （）=f′（）=e ﹣2a ﹣e ，g′（）=e ﹣2a ， （1）当a≤时，∵∈[0，1]，1≤e≤e，∴2a≤e 恒成立， 即g′（）=e ﹣2a≥0，g （）在[0，1]上单调递增， ∴g （）≥g（0）=1﹣e ．
（2）当a ＞时，∵∈[0，1]，1≤e≤e，∴2a ＞e 恒成立， 即g′（）=e ﹣2a ＜0，g （）在[0，1]上单调递减， ∴g （）≥g（1）=﹣2a
（3）当＜a≤时，g′（）=e ﹣2a=0，得=ln （2a ）， g （）在[0，ln2a]上单调递减，在[ln2a ，1]上单调递增， 所以g （）≥g（ln2a ）=2a ﹣2aln2a ﹣e ， ∴⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>-≤<--≤-=2 2221 2ln 2221 1)(e a a e a e a a a a e a h
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
解：（1）
曲线
的直角坐标方程为：
……………….………3分
曲线的普通方程为：
(5)
分
（2）将的参数方程：
代入
的方程：得：
……………..7分
由的几何意义可得：
23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲
解：（1）
所以解集为：
(2)
所以的取值范围为：。