导数培优试卷--解答题(含答案)

导数综合应用---解答题
一、解答题
1．已知函数32()f x x kx k =-+．
（1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．
2．已知函数()2x
f x e x =-
()1求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;
()2若函数()()g x f x a =-，[]1,1x ∈-恰有2个零点，求实数a 的取值范围
3．已知函数()()221ln f x ax a x x =-+-
，()2
2ln g x a x x
=--，其中a R ∈. （1）当0a >时，求()f x 的单调区间；
（2）若存在2
1,x e e
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使得不等式()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围.
4．已知函数)f x =（
a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
5．已知函数()()2x
x
f x e
e
a a x =--．
（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．
6．已知函数()()2
2ln f x ax a x x =+--，()a R ∈.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若对任意0x >，都有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
1、【详解】（1）由题，'2
()3f x x k =-，
当0k ≤时，'
()0f x ≥恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；
当0k >时，令'
()0f x =
，得x ='
()0f x <
，得x << 令'
()0f x >
，得x <
x >()f x
在(上单调递减，在
(,-∞
，)+∞上单调递增. （2）由（1）知，()f x 有三个零点，则0k >
，且(00f f ⎧
>⎪⎪
⎨
⎪<⎪⎩
即22203203k k ⎧+⎪⎪
⎨
⎪-⎪⎩
，解得4027
k <<
， 当4
027k <<
>
20f k =>， 所以()f x
在上有唯一一个零点，
同理1k --<32
(1)(1)0f k k k --=--+<， 所以()f x
在(1,k --上有唯一一个零点， 又()f x
在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点， 综上可知k 的取值范围为4(0,
)27
. 2、【详解】（1）因为()e 2x f x x =-，所以()e 2x
f x '=-.
所以()0 1.f '=- 又()01,f =
所以曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为1,y x -=-
即10x y +-=.（5分）
（2）由题意得，()e 2x
g x x a =--，
所以()e 2x
g x '=-.
由()e 20x
g x ='-=，解得ln2x =，
故当1ln2x -≤<时，()0g x '<，()g x 在[
)1,ln2-上单调递减； 当ln21x <≤时，()0g x '>，()g x 在(]
ln2,1上单调递增. 所以()()min ln222ln2g x g a ==--. 又()1
1e +2g a --=-，()1e 2g a =--，
若函数恰有两个零点，
则()()()11e 20,1e 20,ln22220,g a g a g ln a -⎧-=+-≥⎪
=--≥⎨⎪=--<⎩
解得22ln2e 2a -<≤-.
所以实数a 的取值范围为(]
22ln2,e 2--.
3、【详解】（1）函数()y f x =的定义域为()0,∞+，
()()()()2
222
21212212ax a x ax x a f x a x x x x
-++--+'=-+==. 当0a >时，令()0f x '=，可得1
0x a
=>或2x =. ①当
12a =时，即当1
2
a =时，对任意的0x >，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+； ①当1
02a <
<时，即当12
a >时， 令()0f x '>，得10x a
<<
或2x >；令()0f x '<，得1
2x a <<.
此时，函数()y f x =的单调递增区间为10,a ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭和()2,+∞，单调递减区间为1,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭
； ①当
12a
>时，即当1
02a <<时，
令()0f x '>，得02x <<或1x a
>
；令()0f x '<，得12x a <<.
此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,2和1,a ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
，单调递减区间为12,a ⎛⎫
⎪⎝⎭；
（2）由题意()()f x g x ≥，可得ln 0ax x -≥，可得ln x a x ≥
，其中21,x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
. 构造函数()ln x h x x =
，21,x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则()min a h x ≥. ()21ln x h x x -'=
，令()0h x '=，得21,x e e e ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
. 当
1
x e e
≤<时，()0h x '>；当2e x e <≤时，()0h x '<. 所以，函数()y h x =在1
=x e
或2x e =处取得最小值，
1h e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()222h e e =，则()1h h e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭
，()min 1h x h e e ⎛⎫
∴==- ⎪⎝⎭，a e ∴≥-.
因此，实数a 的取值范围是[),e -+∞. 4、【解析】
试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因
式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出
最小值1
(ln )1ln f a a a -=-+，根据1a =，(1,)∈+∞a ，(0,1)∈a 进行讨论，可知
当(0,1)∈a 时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足
03
ln(1)n a >-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于
3
ln(1)ln a a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).
试题解析：
（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()
2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+，
（①）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减.
（①）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.
当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在
(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.
（2）（①）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.
（①）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为
()1
ln 1ln f a a a
-=-
+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点； ①当()1,a ∈+∞时，由于1
1ln 0a a
-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ①当()0,1a ∈时，1
1ln 0a a
-
+<，即()ln 0f a -<. 又()()4
2
2
2e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫
>-
⎪⎝⎭
，则()()
00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.
由于3ln 1ln a a ⎛⎫
->-
⎪⎝⎭
，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为()0,1. 5．（1）见解析（2）3
4[2,1]e - 【解析】
试题分析：（1）先求函数导数()()()
2x x
f x e a e a =+-'，再按导函数零点讨论：若0a =，
无零点，单调；若0a >，一个零点ln x a =，先减后增；若0a <，一个零点ln 2a x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
先减后增；（2）由单调性确定函数最小值：若0a =，满足；若0a >，最小值为
()2ln ln 0f a a a =-≥，即1a ≤；若0a <，最小值为23ln ln ?
0242a a f a ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦，即3
4
2a e ≥-，综合可得a 的取值范围为3
42,1e ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
试题解析：（1）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，
()()()
2222x x x x f x e ae a e a e a =--=+-'，
①若0a =，则()2x
f x e =，在(),-∞+∞单调递增.
①若0a >，则由()0f x '=得ln x a =.
当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞单调递增. ①若0a <，则由()0f x '=得ln 2a x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
. 当,ln 2a x ⎛⎫
⎛⎫∈-∞-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当ln ,2a x ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
时，()0f x '>，故()f x 在
,ln 2a ⎛⎫
⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
单调递增.
（2）①若0a =，则()2x
f x e =，所以()0f x ≥.
①若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为()2
ln ln f a a a =-.
从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥.
①若0a <，则由（1）得，当ln 2a x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
时，()f x 取得最小值，最小值为
23ln ln 242a a f a ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.从而当且仅当23ln 04
2a a ⎡⎤
⎛⎫--≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即342a e ≥-时
()0f x ≥.
综上，a 的取值范围为342,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 6．（1）当0a ≤时，在()0,+∞上，()f x 是减函数,当0a >时，在10,
a ⎛
⎫
⎪⎝⎭
上，()f x 是减函数,在1,a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上，()f x 是增函数；（2）[1,)+∞
【分析】
求出函数的定义域，函数的导数，通过a 的范围讨论，判断函数的单调性即可．（2）
对任意x ＞0，都有f （x ）＞0成立，转化为在（0，+∞）上f （x ）min ＞0，利用函数的导数求解函数的最值即可． 【详解】
（1）解：函数f （x ）的定义域为（0，+∞）
又()()()()()2
/
221211122ax a x x ax f x ax a x x x
+--+-=+--== 当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x ）＜0，f （x ）是减函数 当a ＞0时，由f′（x ）=0得：1x a =
或1
2
x =-（舍） 所以：在10a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，上，f′（x ）＜0，f （x ）是减函数
在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，
上，f′（x ）＞0，f （x ）是增函数 （2）对任意x ＞0，都有f （x ）＞0成立，即：在（0，+∞）上f （x ）min ＞0
由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f （x ）是减函数， 又f （1）=2a ﹣2＜0，不合题意 当a ＞0时，当1
x a
=
时，f （x ）取得极小值也是最小值， 所以：11()1min f x f lna a a ⎛⎫==-+
⎪⎝⎭
令()111u a f lna a a ⎛⎫==-+
⎪
⎝⎭
（a ＞0） 所以：()/
211u a a a
=
+ 在（0，+∞）上，u′（a ）＞0，u （a ）是增函数又u （1）=0
所以：要使得f （x ）min ≥0，即u （a ）≥0，即a≥1， 故：a 的取值范围为[1，+∞） 【点睛】
本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．。