高一数学人教A版必修1课件:2.1.1 指数与指数幂的运算

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������,������ ≥ 0, -������,������ < 0.
-6-
2.1.1 指数与指数幂的运算
一二三四
3.填空:
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4.做一做: (1)若(������ -2)n=-2(n>1,且 n∈N*)有意义,则 n 为 “奇”或“偶”)
-������
的式子,我们
一般是先变形为
������
������
,然后再进行运算.
������
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探究二
探究三
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思想方法
解:(1) 125 -23 =
27
53 33
-23
=
5-2 3-2
=
32 52
=
295.
(2)0.008-23 =(0.23)-23 =0.2-2=
当堂检测
分析:在幂的运算中,首先观察幂的底数,如果幂的底数能化成幂
的形式时(如(1)(2)(3)),就先把幂的底数写成幂的形式,再进行幂的
乘、除、乘方、开方运算,这样比较简便.
在幂的运算中,对于形如 m0的式子,要注意对底数 m 是否为零进行
讨论,因为只有在 m≠0 时,m0 才有意义;而对于形如
������ ������
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一、n次方根 1.我们在初中学习了平方根、立方根,有没有四次方根、五次方 根、……、n次方根呢? (1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个?立方 根呢? 提示:根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意 字母参数的取值范围,即确定 ������ ������������ 中a的正负,再结合n的奇偶性给 出正确结果.
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课课堂堂篇篇 探探究究学学习习
思想方法 当堂检测
(2)原式= (������-1)2 − (������ + 3)2=|x-1|-|x+3|.
∵-3<x<3,∴当-3<x<1时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;
当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.
∴原式= -2������-2,-3 < ������ < 1,
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反思感悟 1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把 根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指 数不同,也应化成分数指数幂的形式.
2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能 同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
4.判断正误:
������ ������对任意 a∈R 都有意义,并且表示 a 在实数范围内的唯一的一个
n 次方根,即(������ ������)n=a.
()
答案:×
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二、根式
1.类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有
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3.做一做:
用根式表示下列各式.
(1)已知x5=2 019,则x=
;
(2)已知x6=2 019,则x=
.
答案:(1)5 2 019 (2)±6 2 019
3
(3)①57 =
答案:(1)D
7
53 =
7
3
125;②������4 =
4
x3;③a-23 =
1
2
=
4
(2)①23
2
②������5
③������-56
������3
(3)①7 125
3
1.
������2
②4
������3
③3
1 ������2
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互为相反数,如4的平方根为±2,负数没有平方根,一个数的立方根
只有一个,如-8的立方根为-2;零的平方根、立方根均为零. (2)类比a的平方根及立方根的定义,如何定义a的n次方根? 提示:n次方根:如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
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0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂和
零次幂没有意义
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5.规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到
了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否
还适用?
提示:由于整数指数幂、分数指数幂都有意义,因此有理数指数幂
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核心素养培养目标
核心素养形成脉络
1.理解 n 次方根及根式 的概念,掌握根式的性 质,培养数学抽象核心 素养. 2.能利用根式的性质对 根式进行运算,培养数 学运算核心素养. 3.理解分数指数幂的含 义,掌握根式与分数指 数幂的互化. 4.掌握实数指数幂的运 算性质,并能对代数式 进行化简或求值,培养 数学运算核心素养.
是有意义的,整数指数幂的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即:
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);
(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);
(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
6.判断正误:
������
(1)分数指数幂������ ������
(n∈N*,m∈N*)可以理解为������������
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四、无理数指数幂
1.如何理解5 2?(阅读教材有关内容) 提示:当 2的不足近似值从小于 2的方向逼近 2时,5 2的近似值 从小于5 2的方向逼近5 2;当 2的过剩近似值从大于 2的方向逼近 2时,5 2的近似值从大于5 2的方向逼近5 2.所以5 2是一个确定的 实数. 2.无理数指数幂aα(a>0,α是一个无理数)有何意义?有怎样的运算 性质? 提示:无理数指数幂的意义,是用有理数指数幂的不足近似值和 过剩近似值无限地逼近以确定大小.一般来说,无理数指数幂 aα(a>0,α是一个无理数)是一个确定的实数,有理数指数幂的运算性 质同样适用于无理数指数幂.
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探究二根式的化简(求值) 例2 求下列各式的值:
5
6
(1)( a-b)5+( ������-������)6(b>a);
(2) ������2-2������ + 1 − ������2 + 6������ + 9(-3<x<3).
零的 n 次方根为零,记为������ 0=0.
2.根据 n 次方根的意义,可知(������ a)n=a 肯定成立,那么等式������ ������������=a
一定成立吗?
提示:不一定成立.通过探究可得到:n 为奇数,������ ������������=a;n 为偶
数, ������
������������ =|a|=
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3.根据n次方根的定义和数的运算,得出以下式子,你能从中总结 出怎样的规律?
①5
������10
=
5
(������2
)5
10
=a2=������ 5 (a>0);
② ������8 =
(������4
)2
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思想方法
探究一分数指数幂的简单计算问题
例1计算:
(1) 125 -23;(2)0.008-23;(3) 81 -34;
27
2 401
(4)(2a+1)0;(5)
5 6
-
3 5
-1 -1
.
分析:(1)首先利用根式的性质直接化简两个根式,然后进行运 算;(2)首先将被开方数化为完全平方式,然后开方化为绝对值的形 式,根据x的取值范围去掉根号即可.
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解:(1)原式=a-b+b-a=0.
(2)若 m<n,则 (������-������)2=
.
答案:(1)奇 (2)n-m
数;(填
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三、分数指数幂
1.整数指数幂的运算性质有哪些?
提示:(1)am·an=am+n;(2)(am)n=am·n; (3)������������������������ =am-n(m>n,a≠0);(4)(a·b)m=am·bm. 2.零和负整数指数幂是如何规定的? 提示:规定:a0=1(a≠0);00 无意义,a-n=���1���������(a≠0).
(2)将下列根式化为分数指数幂:
①3 16=
;②5 ������2=
;③6 ������-5=
(m≥0).
(3)将下列分数指数幂化为根式:
3
①57=
3
;②������4=
(x≥0);③������-23=
(a≠0).
解析:(2)① 3
1
16=163
=
4
23;②
5
x2
=
2
������5;③
6
m-5
= ������-56.
-4,1 ≤ ������ < 3.
反思感悟(1)化简������ ������������时,首先明确根指数 n 是奇数还是偶数,然后 依据根式的性质进行化简;化简(������ ������)n 时,关键是明确������ ������是否有意义, 只要������ ������有意义,则(������ ������)n=a.
1 5
-2
=52=25.
(3) 81 -34 =
2 401
34 74
-34
=
3-3 7-3
=
73 33
=
343.
27
1,������ ≠ - 1 ,
(4)(2a+1)0=
2
无意义,������
=
-
1 2
.
(5)
5 6
-
3
-1
-1
=
5
5 6
-
5 3
-1
=
-
5 6
-1=-65.
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延伸探究(1)该例中的(2),若x<-3呢? (2)该例中的(2),若x>3呢? 解:由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|. (1)若x<-3,则x-1<0,x+3<0, 故该式=-(x-1)-[-(x+3)]=4; (2)若x>3,则x-1>0,x+3>0, 故该式=(x-1)-(x+3)=-4.
8
=a4=������2
(a>0);
③4
������12
=
4
(������3
)4
12
=a3=������ 4 (a>0).
提示:当根式的被开方数(被开方数大于0)的指数能被根指数整除 时,根式可以表示为分数指数幂的形式.
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a
相乘.
(
)
2
1
(2)������4 = ������2.
()
答案:(1)× (2)×
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7.做一做:
(1)若a>0,且m,n为整数,则下列各式正确的是( )
������
A.am·an=am·n B.am÷an=������ ������ C.(am)n=am+n D.1÷an=a-n
课堂篇 探究学习
4.填表: 正数的分数指数幂的意义
正数的正 正数 分数指数幂 的分 正数的负 数指 分数指数幂 数幂 规定
m
规定:a n
=
n
am (a>0,m,n∈N*,且
n>1)
规定:������-������������
=
1
������
(a>0,m,n∈N*,且
n>1)
������ ������
多少个?当n为奇数时呢?
提示:a 为正数:
������为奇数,������的������次方根有一个,为������ a, ������为偶数,������的������次方根有两个,为 ± ������
������;
a 为负数: ������为奇数,������的������次方根只有一个,为������ ������, ������为偶数,������的������次方根不存在;
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