1.2.2 矩形的判定九年级上册数学北师大版
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在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2 = AC2，
∴BC= 2 − 2 = 82 − 42 =4 3,
∴S□ABCD = AB·BC = 4×4 3= 16 3 .
C
随堂练习
1.(教材P16随堂练习)已知：如图，在 □ ABCD 中，M 是
AD 边的中点，且MB = MC. 求证：四边形 ABCD 是矩形.
个矩形，使得 A，B，C，D 四点分别在矩形的四条边上，且
矩形的面积为菱形ABCD 面积的 2 倍.
E
A
D
B
F
H
C
G
课堂小结
角：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩
形
的
判
定
角：有三个角是直角的四边形是矩形.
对角线：对角线相等的平行四边形是矩形.
┐
两个角是直角
┐
┐
√
┐
┐
一个角是直角
×
成立
┐
┐
┐
┐
┐
×
至少有几个角是直角的
四边形是矩形呢？
三个角是直角
证明猜想
有三个角是直角的四边形是矩形吗?
已知:如图，在四边形 ABCD, ∠A =∠B=∠C = 90°.
求证: 四边形 ABCD 是矩形.
证明: ∵∠A =∠B =∠C= 90°,
A
D
B
C
∴∠A+∠B = 180°, ∠B +∠C=180°.
∴OA = OC,OB = OD.
D
A
又∵△ABO 是等边三角形，
O
∴OA = OB = AB = 4.
∴OA = OB = OC = OD = 4.
∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8.
B
∴□ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC = 90°（矩形的四个角都是直角）.
平行四边形是矩形. ∴ ABCD是矩形.
有三个角是直角的
四边形是矩形.
图形
在四边形ABCD中，∵∠A=
D
C
A
B
∠B=∠C=90〫,∴四边形
ABCD是矩形.
对 对角线相等的平行四 在 ABCD中， ∵ AC= BD, D
角
∴ ABCD是矩形.
边形是矩形.
A
线
C
O
B
议一议
1. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断
新知探究
知识点：矩形的判定
探索活动
如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不
相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.
α
α
α
（1）随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生
怎样的变化？
（2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有
什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
证明：在□ ABCD 中，AB = CD，M 是 AD 边的中点，
∴MA = MD，且 MB = MC，即△ABM≌△DCM，
∴∠A =∠D.
A
M
D
又∵∠A +∠D = 180°，∴∠A =∠D = 90°.
∴四边形 ABCD 是矩形.
B
C
2.（教材P16习题1.5第1题） 如图，在△ABC中，AD 为 BC
∴AD∥BC，AB∥CD.
通过以上证明，我们得到矩形的判定方法：
有三个角是直角的四边形是矩形.
数学语言：
┐
在四边形ABCD中，
D
C
∴四边形ABCD是矩形.
A
┐
┐
∵ ∠A=∠B=∠C=90〫，
B
判定方法
有一个角是直角的
角
数学语言
在
ABCD中， ∵∠A= 90〫
边上的中线，延长 AD 至 E，使 DE = AD，连接 BE，CE.
（1）试判断四边形 ABEC 的形状；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ABEC 是矩形？
A
解:（1）四边形 ABEC 是平行四边形．
（2）当△ABC 满足∠BAC＝90°时,
B
D
C
四边形 ABEC 是矩形．
E
3.（教材P16习题1.5第2题）如图，点 B 在 MN 上，过 AB 的
且∠CBD ＝90°, ∴OC＝OB＝OD ＝OA ．
A
∵∠AOD ＝∠COB,∴△AOD ≌△COB,
则∠DAO＝∠OBC, AD ∥BC, AD ＝BC,
∴四边形 ACBD 为平行四边形．
又∵AB ＝ CD , ∴四边形 ACBD 为矩形．
C
M
O
B
D
N
4.（教材P16习题1.5第3题）如图，已知菱形 ABCD ，画一
一个四边形是矩形呢？
先用绳子测量四边形的两对边是否
相等，相等则是平行四边形.
再用绳子测量对角线是否相等.
对角线相等的平行四边形是矩形.
例2 如图在 □ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于
点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4.
求 □ ABCD 的面积.
D
A
O
B
C
解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴∠ABC=∠DCB= 90°.
∴□ABCD 是矩形（矩形的定义）.
B
C
通过以上证明，我们得到矩形的判定方法：
对角线相等的平行四边形是矩形.
数学语言：
D
C
A
B
在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
思考
我们知道，矩形的四个角都是直角，那么反过来
说“四个角都是直角的四边形是矩形”成立吗？
α
证明猜想
已知：如图，在 □ ABCD 中，AC ，DB 是它的两条
对角线，AC = DB. 求证：□ ABCD 是矩形.
证明：四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = DC，AB∥DC.
A
D
又∵BC = CB，AC = DB，
∴△ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB.
∵AB∥DC，∴∠ABC+ ∠DCB = 180°.
一个四边形是平行四边形呢？
用绳子测量四边形的两组对边是
否相等，相等则是平行四边形.
议一议
2. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断
一个四边形是菱形呢？
拿绳子测量四边形的每一个边长，
如果四边长度一样，那么根据菱
形的判定定理：四条边相等的四
边形是菱形.
议一议
3. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断
中点 O 作 MN 的平行线，分别∠ABM 的平分线和∠ABN 的平
分线于点 C，D.
试判断四边形 ACBD 的形状，并证明你的结论.
A
C
M
O
B
D
N
证明: ∵CD ∥MN , BC, BD 分别为∠MBA ,∠ABN 的平分线,
∴∠ABD ＝∠DBN ＝∠CDB, ∠ABC ＝∠CBM ＝∠DCB,
1.2.2 矩形的判定
初中数学
九年级上册 BSD
知识回顾
矩形的定义：
平行四边形
有一个角是直角
矩形
边
角
对角线
对称性
矩形的 矩形的对 矩形的四 矩形的两条
中心对称图形、
性质 边平行且 个角都是 对角线相等
轴对称图形
相等.
直角. 且互相平分.
学习目标
1.理解并掌握矩形的判定办法.
2.能熟练运用矩形的定义和判定知识进行计算和证明.
∴BC= 2 − 2 = 82 − 42 =4 3,
∴S□ABCD = AB·BC = 4×4 3= 16 3 .
C
随堂练习
1.(教材P16随堂练习)已知：如图，在 □ ABCD 中，M 是
AD 边的中点，且MB = MC. 求证：四边形 ABCD 是矩形.
个矩形，使得 A，B，C，D 四点分别在矩形的四条边上，且
矩形的面积为菱形ABCD 面积的 2 倍.
E
A
D
B
F
H
C
G
课堂小结
角：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩
形
的
判
定
角：有三个角是直角的四边形是矩形.
对角线：对角线相等的平行四边形是矩形.
┐
两个角是直角
┐
┐
√
┐
┐
一个角是直角
×
成立
┐
┐
┐
┐
┐
×
至少有几个角是直角的
四边形是矩形呢？
三个角是直角
证明猜想
有三个角是直角的四边形是矩形吗?
已知:如图，在四边形 ABCD, ∠A =∠B=∠C = 90°.
求证: 四边形 ABCD 是矩形.
证明: ∵∠A =∠B =∠C= 90°,
A
D
B
C
∴∠A+∠B = 180°, ∠B +∠C=180°.
∴OA = OC,OB = OD.
D
A
又∵△ABO 是等边三角形，
O
∴OA = OB = AB = 4.
∴OA = OB = OC = OD = 4.
∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8.
B
∴□ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC = 90°（矩形的四个角都是直角）.
平行四边形是矩形. ∴ ABCD是矩形.
有三个角是直角的
四边形是矩形.
图形
在四边形ABCD中，∵∠A=
D
C
A
B
∠B=∠C=90〫,∴四边形
ABCD是矩形.
对 对角线相等的平行四 在 ABCD中， ∵ AC= BD, D
角
∴ ABCD是矩形.
边形是矩形.
A
线
C
O
B
议一议
1. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断
新知探究
知识点：矩形的判定
探索活动
如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不
相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.
α
α
α
（1）随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生
怎样的变化？
（2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有
什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
证明：在□ ABCD 中，AB = CD，M 是 AD 边的中点，
∴MA = MD，且 MB = MC，即△ABM≌△DCM，
∴∠A =∠D.
A
M
D
又∵∠A +∠D = 180°，∴∠A =∠D = 90°.
∴四边形 ABCD 是矩形.
B
C
2.（教材P16习题1.5第1题） 如图，在△ABC中，AD 为 BC
∴AD∥BC，AB∥CD.
通过以上证明，我们得到矩形的判定方法：
有三个角是直角的四边形是矩形.
数学语言：
┐
在四边形ABCD中，
D
C
∴四边形ABCD是矩形.
A
┐
┐
∵ ∠A=∠B=∠C=90〫，
B
判定方法
有一个角是直角的
角
数学语言
在
ABCD中， ∵∠A= 90〫
边上的中线，延长 AD 至 E，使 DE = AD，连接 BE，CE.
（1）试判断四边形 ABEC 的形状；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ABEC 是矩形？
A
解:（1）四边形 ABEC 是平行四边形．
（2）当△ABC 满足∠BAC＝90°时,
B
D
C
四边形 ABEC 是矩形．
E
3.（教材P16习题1.5第2题）如图，点 B 在 MN 上，过 AB 的
且∠CBD ＝90°, ∴OC＝OB＝OD ＝OA ．
A
∵∠AOD ＝∠COB,∴△AOD ≌△COB,
则∠DAO＝∠OBC, AD ∥BC, AD ＝BC,
∴四边形 ACBD 为平行四边形．
又∵AB ＝ CD , ∴四边形 ACBD 为矩形．
C
M
O
B
D
N
4.（教材P16习题1.5第3题）如图，已知菱形 ABCD ，画一
一个四边形是矩形呢？
先用绳子测量四边形的两对边是否
相等，相等则是平行四边形.
再用绳子测量对角线是否相等.
对角线相等的平行四边形是矩形.
例2 如图在 □ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于
点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4.
求 □ ABCD 的面积.
D
A
O
B
C
解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴∠ABC=∠DCB= 90°.
∴□ABCD 是矩形（矩形的定义）.
B
C
通过以上证明，我们得到矩形的判定方法：
对角线相等的平行四边形是矩形.
数学语言：
D
C
A
B
在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
思考
我们知道，矩形的四个角都是直角，那么反过来
说“四个角都是直角的四边形是矩形”成立吗？
α
证明猜想
已知：如图，在 □ ABCD 中，AC ，DB 是它的两条
对角线，AC = DB. 求证：□ ABCD 是矩形.
证明：四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = DC，AB∥DC.
A
D
又∵BC = CB，AC = DB，
∴△ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB.
∵AB∥DC，∴∠ABC+ ∠DCB = 180°.
一个四边形是平行四边形呢？
用绳子测量四边形的两组对边是
否相等，相等则是平行四边形.
议一议
2. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断
一个四边形是菱形呢？
拿绳子测量四边形的每一个边长，
如果四边长度一样，那么根据菱
形的判定定理：四条边相等的四
边形是菱形.
议一议
3. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断
中点 O 作 MN 的平行线，分别∠ABM 的平分线和∠ABN 的平
分线于点 C，D.
试判断四边形 ACBD 的形状，并证明你的结论.
A
C
M
O
B
D
N
证明: ∵CD ∥MN , BC, BD 分别为∠MBA ,∠ABN 的平分线,
∴∠ABD ＝∠DBN ＝∠CDB, ∠ABC ＝∠CBM ＝∠DCB,
1.2.2 矩形的判定
初中数学
九年级上册 BSD
知识回顾
矩形的定义：
平行四边形
有一个角是直角
矩形
边
角
对角线
对称性
矩形的 矩形的对 矩形的四 矩形的两条
中心对称图形、
性质 边平行且 个角都是 对角线相等
轴对称图形
相等.
直角. 且互相平分.
学习目标
1.理解并掌握矩形的判定办法.
2.能熟练运用矩形的定义和判定知识进行计算和证明.