3.导数(原卷版)

第三章 导数
一．基础题组
1.【河北省衡水中学2016届高三上学期一调考试数学（理）试题】曲线3cos 02
y x x π⎛⎫
=≤≤ ⎪⎝
⎭
与x 轴所围图形的面积为（ ）
A ．4
B ．2
C ．
5
2
D ．3 2.【湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学2016届高三四校联考数学（理）试题】已知⎰
=
2
1
1xdx S ，
⎰=21
2dx e S x ，⎰=2
1
23dx x S ，则1S ，2S ，3S 的大小关系为（ ）
A ．321S S S <<
B ．231S S S <<
C ．123S S S <<
D ．132S S S << 3.【江西省南昌市第二中学2016届高三上学期第四次考试数学（理）试题】曲线)2
30(cos π≤≤=x x y 与坐标轴所围成图形的面积为（ ）
A. 2
B. 3
C. 2.5
D. 4
4.【江西省南昌市第二中学2016届高三上学期第四次考试数学（理）试题】设)(x f 是定义在R 上的函数，
其导函数为)(x f '，若)(x f +1()f x '<，()02015f =，则不等式201(4)x x
e e
f x ->（其中e 为自然对
数的底数）的解集为( )
A ．()2014,2015
B ．()()02015, -∞+∞ ，
C ．()0+∞，
D ．()0∞-， 5.【山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2016届上学期第二次联考数学（理）试题】定积分
⎰
=
6.【河北省武邑中学2016届高三上学期期末考试数学（理）试题】若函数x a x x f ln )(+=不是单调函数，则实数a 的取值范围是_______.
7.【河北省衡水中学2016届高三上学期七调考试数学（理）试题】设20
sin 12cos 2x a x dx π
⎛⎫=
-+ ⎪⎝⎭
⎰
，则
()6
2
2x
⎛⋅+ ⎝
的展开式中常数项是 .
二．能力题组
1.【湖南省长沙市雅礼中学2016届高三月考试卷（三）数学（理）试题】若定义在R 上的函数()f x 满足
()01f =-，其导函数()'f x 满足()'1f x k >>，则下列结论中一定错误的是（ ）
A ． 11
f k k ⎛⎫<
⎪⎝⎭ B ．11
1f k k ⎛⎫>- ⎪⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫
<
⎪
--⎝⎭
D ．111k f k k ⎛⎫
> ⎪
--⎝⎭
2.【河北省衡水中学2016届高三上学期四调考数学（理）试题】设过曲线()
x
f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()
2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ^，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[]1,2-
B ．()1,2-
C ．[]2,1-
D ．()
2,1-
3.【河北省衡水中学2016届高三上学期四调考数学（理）试题】设函数()f x 满足()()2
2x
e
x f x xf x x
¢+=，
()2
28
e f =，则0x >时()f x （ ）
A ．有极大值，无极小值
B ．有极小值，无极大值
C ．既有极大值又有极小值
D ．既无极大值也无极小值
4.【湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学2016届高三四校联考数学（理）试题】已知函数
()ln f x x x x =+，若Z k ∈，且)()2(x f x k <-对任意的2>x 恒成立，则k 的最大值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5.【河北省衡水中学2016届高三上学期一调考试数学（理）试题】设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'f x ，若()()'1f x f x +>，()02015f =，则不等式()2014x
x
e f x e >+（其中e 为自然对数的
底数）的解集为（ ）
A ．()(),00,-∞+∞
B ．()0,+∞
C ．()2014,+∞
D ．()(),02014,-∞+∞
6.【河北省衡水中学2016届高三上学期一调考试数学（理）试题】设函数()x
f x m
π=，若存在()
f x 的极值点0x 满足()2
2
2
00x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）
A ．()(),22,-∞-+∞
B ．()(),44,-∞-+∞
C ．()(),66,-∞-+∞
D ．()(),11,-∞-+∞
7.【湖南省衡阳市第八中学2016届高三上学期第三次月考数学（理）】由直线3
π
-=x ，3
π
=
x ，0=y 与
曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为
8.【河北省衡水中学2016届高三上学期七调考试数学（理）试题】()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'f x ，若()()()'1,02016f x f x f -<=，则不等式()20151x
f x e >⋅+（其中e 为自然对数的底数）
的解集为 .
9.【江西省南昌市第二中学2016届高三上学期第四次考试数学（理）试题】（本小题满分12分） 已知函数
2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈.
（Ⅰ）设a b -=2，求)(x f 的零点的个数；
（Ⅱ）设0a >，且对于任意0x >，()(1)f x f ≥，试比较ln a 与2b -的大小．
10.【河北省衡水中学2016届高三上学期一调考试数学（理）试题】已知函数()1x
f x e ax =+-（e 为自
然对数的底数）.
（1）当1a =时，求过点()()
1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）若()2
f x x ≥在（0,1）上恒成立，求实数a 的取值范围.
11.【湖南省长沙市雅礼中学2016届高三月考试卷（三）数学（理）试题】(本小题满分12分) 已知函数
()
()2
ln x a f x x
-=
（其中a 为常数）.
（1）当a =0时，求函数的单调区间；
（2）当0<a <1时，设函数()f x 的3个极值点为
123,,x x x ，且123x x x <<.证明：13x x +>
12.【河北省衡水中学2016届高三上学期一调考试数学（理）试题】已知函数()f x 满足()()22f x f x =+，且当()0,2x ∈时，()1ln 2f x x ax a ⎛
⎫
=+<- ⎪⎝⎭
，当()4,2x ∈--时，()f x 的最大值为-4. （1）求实数a 的值；
（2）设0b ≠，函数()()3
1,1,23
g x bx bx x =
-∈.若对任意()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使()()12f x g x =，求实数b 的取值范围.
13.【湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学2016届高三四校联考数学（理）试题】（本小题满分12分）
已知函数e e bx ax x f x
()12()(2
-++=为自然对数的底数). （1）若2
1
=
a ，求函数)(x f 的单调区间； （2）若1)1(=f ，且方程1)(=x f 在)1,0(内有解，求实数a 的取值范围.
14.【山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2016届上学期第二次联考数学（理）试题】（本小
题满分12分）已知函数12()ln .x x
e f x e x x
-=+
（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程; （2）证明：()1f x >.
15.【河北省衡水中学2016届高三上学期一调考试数学（理）试题】已知函数
()()323257
,ln 22
f x x x ax b
g x x x x b =+
++=+++，
（,a b 为常数）. （1）若()g x 在1x =处的切线过点（0，-5），求b 的值；
（2）设函数()f x 的导函数为()'f x ，若关于x 的方程()()'f x x xf x -=有唯一解，求实数b 的取值范围； （3）令()()()F x f x g x =-，若函数()F x 存在极值，且所有极值之和大于5ln 2+，求实数a 的取值范围.
三．拔高题组
1.【河北省衡水中学2016届高三上学期一调考试数学（理）试题】已知函数()ln 1
x f x x
+=. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；
（2）若对任意的1x >，恒有()ln 11x k kx -++≤成立，求k 的取值范围；
（3）证明：()()2222ln 2ln 3ln 21
,24123++n n n n N n n n
+--+⋅⋅⋅<∈≥+.
2.【湖南省衡阳市第八中学2016届高三上学期第三次月考数学（理）】已知函数x x x x f +-=2
ln )(． (Ⅰ)求函数)(x f 的单调区间；
(Ⅱ)若关于x 的不等式112)(2
-+⎪⎭
⎫
⎝⎛-≤ax x a x f 恒成立，求整数a 的最小值； (Ⅲ)若正实数21,x x 满足+)(1x f 0)(2)(212
22
12=+++x x x x x f ，证明2
1
521-≥
+x x ． 3.【河北省冀州市中学2016届高三上学期一轮复习检测一数学（理）试题】(本题满分12分) 已知函数()m
f x mx x
=-
，()2ln g x x =。

（Ⅰ）当1m =时，判断方程()()f x g x =在区间(1,)+∞上有无实根． （Ⅱ）若(1,]x e ∈时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围．
4.【河北省衡水中学2016届高三上学期七调考试数学（理）试题】（本小题满分12分）已知函数
()()ln 1f x x x =+-.
⑴求()f x 的单调区间；
⑵若k Z ∈，且()311f x x k x ⎛
⎫
-+>-
⎪⎝⎭
对任意1x >恒成立，求k 的最大值； ⑶对于在区间()0,1上任意一个常数a ，是否存在正数0x ，使得()
02
012
f x a e
x <-
成立？请说明理由. 5.【河北省武邑中学2016届高三上学期期末考试数学（理）试题】（本小题满分12分） 已知函数)ln(1
41)(2a x x a
x x f ++-=
，其中常数0>a . (1)当10<<a 时，求函数)(x f 的单调区间； (2)已知2
1
0<
<a ，)(x f '表示)(x f 的导数，若2121),,(,x x a a x x ≠-∈，且满足0)()(21='+'x f x f ，试比较)(21x x f +'与)0(f '的大小，并加以说明.
6.【河北省邯郸市第一中学2016届高三下学期研六考试数学（理）试题】（本小题满分12分）已知
()ln 1
m
f x n x x =
++（,m n 为实数）
，在1x =处的切线方程为20x y +-=. （1）求()y f x =的单调区间；
(2)若任意实数1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意1,22
t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
的上恒有()3
2
22f x t t at ≥--+成立，求实数a 的取值
范围.
7.【湖南省长沙市长郡中学2016届高三下学期第六次月考数学（理）试题】(本小题满分12分)
已知函数()2ln p
f x px x x
=-
-. (1)若2p =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线；
(2)若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； (3)设函数2()e
g x x
=
，若在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围. 8.【湖南师范大学附属中学2016届高三上学期月考（三）理科数学试题】已知函数()ln(1)f x x x =-+． （1）设1
()()1
g x x f x x =+-+，求函数()g x 的值域；
（2）设*n N ∈，曲线()y f x =在点(),()n f n 处的切线的斜率为n k ，数列{}n k 的前n 项和为n S ，试比较n S 与()f n 的大小，并说明你的理由．
：。