华师大版初中数学八年级下册《第19章 矩形、菱形与正方形》单元测试卷

华师大新版八年级下学期《第19章矩形、菱形与正方形》2019
年单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．下列关于矩形的说法，正确的是（）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
2．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，，BE＝1，F是BC的中点．现有下列四个结论：①DE＝3；②四边形DEBC的面积等于9；③（AC+BD）（AC﹣BD）＝80；④DF＝DE．其中正确结论的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（）
A．甲量得窗框两组对边分别相等
B．乙量得窗框的对角线相等
C．丙量得窗框的一组邻边相等
D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
4．已知菱形的周长为16，有一个内角为60°，则菱形的面积为（）A．B．C．D．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为BC上任一点，EF⊥BD，EG⊥AC，则EF+EG的值是（）
A．2.5B．3C．4D．2.4
6．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）
A．对角相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对边相等
7．正方形具有的性质中，菱形不一定具有的性质是（）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分D．对角线平分一组对角
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长为（）
A．20B．18C．16D．15
9．给出下列判断：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线相等的四边形是矩形；
③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．
其中，不正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，把剪下的这个角展开，若得到一个锐角为60°的菱形，则剪口与折痕所成的角α的度数应为（）
A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°
11．如图，四边形ABCD是矩形，AB：AD＝4：3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E 处，连接DE，则DE：AC＝（）
A．1：3B．3：8C．8：27D．7：25
12．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是（）
A．2B．4C．2D．4
二．填空题（共17小题）
13．菱形ABCD的对角线AC长20cm，BD长30cm，则菱形ABCD的面积为．14．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF．则∠CDF等于．
15．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别等于8和6，将BD沿CB的方向平移，使D与A重合，B与CB延长线上的点E重合，则四边形AECD的面积等于．
17．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是．
18．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是．（写出一种即可）
19．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．
20．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为CD边上一点，E′为CB延长线上一点，BE′＝DE＝1．连接EE′，则EE′的长等于．
21．已知菱形的一个锐角是60°，周长是20cm，则它较短的对角线长是cm．22．已知菱形的两条对角线长为12cm和6cm，那么这个菱形的面积为cm2
23．若菱形的两条对角线的长是10cm和24cm，那么这个菱形的边长是cm．24．如图，在菱形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB，∠ABD＝度，若菱形ABCD 的边长为2，则菱形ABCD的面积是．
25．如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；
把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2；以此下去…，则正方形A4B4C4D4的面积为．
26．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；…，依此类推，这样作的第n个正方形对角线交点M n的坐标为．
27．矩形ABCD的周长是56cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长短4cm，则AB＝cm，BC＝cm．
28．在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是．29．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH的长等于．
三．解答题（共21小题）
30．已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，
且DE＝BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．
（1）连结；
（2）猜想：＝．
31．如图，在正方形ABCD中，AE＝AB，∠AEB＝75°．
求证：（1）△BEF是等腰三角形；
（2）点E在线段AD的垂直平分线上．
32．已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，且CE＝AB．
求证：四边形CFED是矩形．
33．如图，E为正方形ABCD对角线上一点，连接EA、EC．
（1）EA与EC相等吗？说说你的理由；
（2）若AB＝BE，求∠AED的大小．
34．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE∥OC，CE∥OD，试判断四边形OCDE是何特殊四边形，并加以证明．
35．当Rt△的直角顶点P要正方形ABCD对角线AC上运动（P与A、C不重合）且一直角边始终过点D，另一直角边与射线BC交于点E，
（1）如图1，当点E与BC边相交时，
①证明：△PBE为等腰三角形；
②写出线段AP、PC与EC之间的等量关系（不必证明）
（2）当点E在BC的延长线上时，请完成图2，并判断（1）中的①、②结论是否分别成立？
若不成立，写出相应的结论（不必证明）
36．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC＝CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．
37．如图，O是矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，试说明OE与CD互相垂直平分．
38．如图，在菱形ABCD中，∠D＝45°，AE⊥BC，BF＝AC，
（1）求证：△AEC≌△BEF；
（2）求：∠FBE的度数．
39．如图，O是矩形ABCD的对角线交点，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE相交于点E，连接OE，
（1）线段BC与OE有怎样的位置关系？说说你的理由．
（2）若AD＝8，AB＝6，求四边形BECO的面积．
40．已知：如图，BC是等腰△BED底边ED上的高，四边形ABEC是平行四边形．
求证：四边形ABCD是矩形．
41．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF交于点O，∠AOF＝90°．求证：BE＝CF．
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的长．
（3）已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．直接写出下列两题的答案：
①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH＝；
②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH＝（用n的代数式表示）．
42．Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB与DE重合．
（1）求证：四边形ABFC为平行四边形；
（2）取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图（二）中△A′B′C′位置，直线B'C'与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？（不要求证明）
43．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．
44．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
45．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点作OE ⊥AB，垂足为E．
（1）求∠ABD的度数；
（2）求线段BE的长．
46．如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥
AE．
（1）求证：DA⊥AE；
（2）试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．
47．如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG，垂足为E，且DE＝DC．
（1）求证：DE＝AB；
（2）根据条件请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论．
48．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF＝DC，连接CF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
49．如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O．
（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1cm，则图3中阴影部分的面积为cm2．
50．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A＝90°，求证：四边形DF AE是正方形．
华师大新版八年级下学期《第19章矩形、菱形与正方
形》2019年单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列关于矩形的说法，正确的是（）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
【分析】根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：
1．矩形的四个角都是直角
2．矩形的对角线相等
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）．5．对边平行且相等
6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．
【解答】解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；
B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；
C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；
D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查学生对矩形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，都是一些基础知识，要求学生应熟练掌握．
2．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，，BE＝1，F是BC的中点．现有下列四个结论：①DE＝3；②四边形DEBC的面积等于9；③（AC+BD）（AC﹣BD）＝80；④DF＝DE．其中正确结论的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】可设DE＝3k，则AE＝4k，AD＝5K，BE＝k，从而求出边长及高，计算面积；连接BD、AC，根据勾股定理可求对角线的长度；
作DH⊥BC于H点，则DH＝DE，比较DH与DF的大小．
【解答】解：设DE＝3k，则AE＝4k，AD＝5K，BE＝k＝1，
∴AB＝5，DE＝3．故①正确；
S梯形DEBC＝×（1+5）×3＝9，故②正确；
∵DE＝3，EB＝1，∴DB＝．
又∵S ABCD＝AB×DE＝5×3＝15，
S ABCD＝×BD×AC，
∴15＝××AC，
AC＝3．
（AC+BD）（AC﹣BD）
＝AC2﹣BD2＝（3）2﹣2＝90﹣10＝80．故③正确；
作DH⊥BC于H点．
∵DE⊥AB，DH⊥BC，∠ABD＝∠CBD，
∴DE＝DH．
又DH＜DF，
∴DE＜DF．故④错误．
所以①②③正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了菱形的性质及面积计算，有一定的综合性，属中等难度．
3．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（）
A．甲量得窗框两组对边分别相等
B．乙量得窗框的对角线相等
C．丙量得窗框的一组邻边相等
D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
【分析】矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．
【解答】解：A、两组对边相等可以为正方形，平行四边形，菱形，矩形等，所以甲错误；
B、对角线相等的图形有正方形，菱形，矩形等，所以乙错误；
C、邻边相等的图形有正方形，菱形，所以丙错误；
D、根据矩形的判定（矩形的对角线平分且相等），故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是矩形的判定定理，同时也考到了正方形，菱形，平行四边形等图形的性质，难度一般．
4．已知菱形的周长为16，有一个内角为60°，则菱形的面积为（）A．B．C．D．
【分析】作出草图，根据菱形的周长先求出边长AB，然后判断出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出高，再利用菱形的面积公式计算即可得解．
【解答】解：如图所示，
∵菱形的周长为16，
∴边长AB＝BC＝16÷4＝4，
∵一个内角∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
过点A作AE⊥BC于点E，
则BE＝BC＝×4＝2，
根据勾股定理，AE＝＝2，
所以，菱形的面积为4×2＝8，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定，能够正确画出图形和求出菱形边上的高是解题的关键．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为BC上任一点，EF⊥BD，EG⊥AC，则EF+EG的值是（）
A．2.5B．3C．4D．2.4
【分析】求出AC的值，求出OB＝OC＝AC，求出△BOC面积，根据三角形面积得出3＝××EF+××EG，求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∴△AOB和△BOC的面积相等，等于×3×4×＝3，
由勾股定理得：AC＝5，
∴BO＝OC＝，
∵S△BOC＝S△BOE+S△COE，
∴3＝××EF+××EG，
∴EF+EG＝＝2.4，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形面积的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等．
6．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）
A．对角相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对边相等
【分析】菱形具有平行四边形的全部性质，比较菱形和平行四边形的性质即可解题．
【解答】解：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，故A、B、D选项错误，
对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故C选项正确，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形和菱形对角相等、对角线互相评分、对边平行且相等的性质，考查了菱形对角线互相垂直的性质，本题中熟练掌握菱形和平行四边形的性质是解题的关键．
7．正方形具有的性质中，菱形不一定具有的性质是（）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分D．对角线平分一组对角
【分析】由正方形对角线平分相等且垂直的性质和菱形对角线平分垂直的性质，选择答案即可．
【解答】解：根据正方形对角线的性质：平分、相等、垂直和菱形对角线的性质：平分、垂直，故选A．
【点评】考查了正方形对角线的性质和菱形对角线的性质．
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长为（）
A．20B．18C．16D．15
【分析】先求出∠B等于60°得到△ABC是等边三角形，求出菱形的边长，周长即可得到．【解答】解：在菱形ABCD中，
∵∠BAD＝120°，
∴∠B＝60°，
∴AB＝AC＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4×4＝16．
故选：C．
【点评】根据∠BAD＝120°得到等边三角形是解本题的关键．
9．给出下列判断：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线相等的四边形是矩形；
③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．
其中，不正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据正方形、平行四边形、菱形和矩形的判定，对选项一一分析，选择正确答案．【解答】解：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，此题错误，故此选项符合题意；
②对角线相等的四边形是矩形，不能正确判定，故此选项符合题意；
③对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，此题错误，故此选项符合题意；
④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，此说法是正确的，不符合要求；
故选：C．
【点评】考查了正方形、平行四边形、菱形和矩形的判定方法．解决此题的关键是熟练掌握运用这些判定．
10．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，把剪下的这个角展开，若得到一个锐角为60°的菱形，则剪口与折痕所成的角α的度数应为（）
A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°
【分析】如图：折痕为AC与BD，∠ABC＝60°，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得∠ABD＝30°，易得∠BAC＝60°．所以剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠ABC，∠BAC＝∠BAD，AD∥BC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°．
∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
故选：D．
【点评】此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，有助于提高学生的动手及立体思维能力．11．如图，四边形ABCD是矩形，AB：AD＝4：3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E 处，连接DE，则DE：AC＝（）
A．1：3B．3：8C．8：27D．7：25
【分析】根据题意可得四边形ACED是等腰梯形，即求上底与下底的比值，作高求解．【解答】解：从D，E处向AC作高DF，EH，垂足分别为F、H．
设AB＝4k，AD＝3k，则AC＝5k．
由△AEC的面积＝×4k×3k＝×5k×EH，得EH＝k；
根据勾股定理得CH＝k．
所以DE＝5k﹣k×2＝．
所以DE：AC＝7：25．
故选：D．
【点评】本题的关键是利用折叠的特点及三角形面积的计算，求得EH，CH的长，从而求得DE的长，然后求比值．
12．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是（）
A．2B．4C．2D．4
【分析】本题的关键是利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度．
【解答】解：因为在矩形ABCD中，所以AO＝AC＝BD＝BO，
又因为∠AOB＝60°，所以△AOB是等边三角形，所以AO＝AB＝2，
所以AC＝2AO＝4．
故选：B．
【点评】本题难度中等，考查矩形的性质．
二．填空题（共17小题）
13．菱形ABCD的对角线AC长20cm，BD长30cm，则菱形ABCD的面积为300cm2．【分析】根据菱形的对角线的长度即可直接计算菱形ABCD的面积．
【解答】解：∵菱形的对角线长AC、BD的长度分别为20cm、30cm
∴菱形ABCD的面积S＝BD•AC＝×30×20＝300cm2．
故答案为：300cm2．
【点评】本题考查了菱形对角线互相平分的性质，本题中菱形ABCD的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
14．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF．则∠CDF等于75°．
【分析】根据菱形的性质求出∠ADC＝110°，再根据垂直平分线的性质得出AF＝DF，从而计算出∠CDF的值．
【解答】解：连接BD，BF，
∵∠BAD＝70°，
∴∠ADC＝110°，
又∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，
∴AF＝BF，BF＝DF，
∴AF＝DF，
∴∠F AD＝∠FDA＝35°，
∴∠CDF＝110°﹣35°＝75°．
故答案为75°．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．
15．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．
【分析】分PD＝OD（P在右边），PD＝OD（P在左边），OP＝OD三种情况，根据题意画出图形，作PQ垂直于x轴，找出直角三角形，根据勾股定理求出OQ，然后根据图形写出P的坐标即可．
【解答】解：当OD＝PD（P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ＝4，PD＝OD＝OA＝5，
根据勾股定理得：DQ＝3，故OQ＝OD+DQ＝5+3＝8，则P1（8，4）；
当PD＝OD（P在左边）时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ＝4，PD＝OD＝5，
根据勾股定理得：QD＝3，故OQ＝OD﹣QD＝5﹣3＝2，则P2（2，4）；
当PO＝OD时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形OPQ中，OP＝OD＝5，PQ＝4，
根据勾股定理得：OQ＝3，则P3（3，4），
综上，满足题意的P坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）
【点评】这是一道代数与几何知识综合的开放型题，综合考查了等腰三角形和勾股定理的应用，属于策略和结果的开放，这类问题的解决方法是：数形结合，依理构图解决问题．16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别等于8和6，将BD沿CB的方向平移，使D与A重合，B与CB延长线上的点E重合，则四边形AECD的面积等于36．
【分析】根据平移的意义知四边形AEBD是平行四边形，S△ABE＝S△ABD＝S菱形ABCD．故由菱形对角线的长度求其面积即可解决问题．
【解答】解：依题意，AE∥DB，AE＝DB．
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴S△ABE＝S△ABD．
∵在菱形ABCD中，
S△ABD＝S△BCD＝S菱形ABCD＝×＝12．
∴四边形AECD的面积等于12×3＝36．
故答案为：36．
【点评】此题考查了菱形的面积计算及平移的意义，难度中等．
17．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是2．
【分析】根据题意作图，连接O1B，O1C，可得△O1BF≌△O1CG，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案．
【解答】解：连接O1B、O1C，如图：
∵∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°，
∴∠BO1F＝∠CO1G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，
在△O1BF和△O1CG中
∴△O1BF≌△O1CG（ASA），
∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S正方形，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形，
∴S阴影部分＝S正方形＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，把阴影部分进行合理转移是解决本题的难点，难度适中．
18．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是对角线相等．（写出一种即可）
【分析】已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌△ADC≌△BCD，进而得到，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，使四边形ABCD是矩形．
【解答】解：若四边形ABCD的对角线相等，
则由AB＝DC，AD＝BC可得．
△ABD≌△ABC≌△ADC≌△BCD，
所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角，
所以四边形ABCD是矩形，
故答案为：对角线相等．
【点评】此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是要得到四个内角相等即直角．
19．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为2cm2．
【分析】因为DE丄AB，E是AB的中点，所以AE＝1cm，根据勾股定理可求出DE的长，菱形的面积＝底边×高，从而可求出解．
【解答】解：∵E是AB的中点，
∴AE＝1cm，
∵DE丄AB，
∴DE＝＝cm．
∴菱形的面积为：2×＝2cm2．
故答案为：2．
【点评】本题考查菱形的性质，四边都相等，菱形面积的计算公式以及勾股定理的运用等．20．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为CD边上一点，E′为CB延长线上一点，
BE′＝DE＝1．连接EE′，则EE′的长等于．
【分析】在正方形ABCD中，BE′＝DE＝1，所以在直角三角形E′CE中，E′C＝7，DE ＝5，利用勾股定理求得EE′的长即可．
【解答】解：在正方形ABCD中，∠C＝90°，
∵BE′＝DE＝1，
∴E′C＝7，CE＝5，
∴在直角三角形E′CE中，
EE′＝＝＝．
故应填：．
【点评】本题考查了正方形的性质与勾股定理的知识，正确的利用正方形的性质得到直角三角形并正确的应用勾股定理是解题的关键．
21．已知菱形的一个锐角是60°，周长是20cm，则它较短的对角线长是5cm．
【分析】由题意可得，邻边与较短的对角线组成等边三角形，则它较短的对角线长等于菱形的边长．
【解答】解：因为菱形有一个60°的角，则较短的对角线与菱形的邻边组成一个等边三角形，
从而得到较短的对角线＝菱形的边长＝20÷4＝5cm．
故答案为5．
【点评】此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定．
22．已知菱形的两条对角线长为12cm和6cm，那么这个菱形的面积为36cm2
【分析】根据菱形面积的计算公式：菱形的面积等于对角线的乘积的一半可解答．
【解答】解：∵菱形的面积等于对角线的积的一半，
那么这个菱形的面积为×12×6＝36cm2．
故答案为36．
【点评】主要考查菱形的面积公式：两条对角线的积的一半．
23．若菱形的两条对角线的长是10cm和24cm，那么这个菱形的边长是13cm．
【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC＝24cm，BD＝10cm，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝AC＝12，OB＝BD＝5，然后利用勾股定理计算OA即可．
【解答】解：如图，菱形ABCD的对角线AC＝24cm，BD＝10cm，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝12，OB＝BD＝5，
在Rt△AOB中，AB＝＝＝13，
即这个菱形的边长为13cm．
故答案为13．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
24．如图，在菱形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB，∠ABD＝60度，若菱形ABCD 的边长为2，则菱形ABCD的面积是2．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，然后求出△ABD是等边三角形，再根据等边三角形的每一个角都是60°解答；根据等边三角形的性质求出DE，然后利用菱形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°；
∵菱形ABCD的边长为2，
∴AD＝2，
∴DE＝2×＝，
∴菱形ABCD的面积＝AB•DE＝2．
故答案为：60；2．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等判断出AD＝BD是解题的关键．
25．如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；
把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2；以此下去…，则正方形A4B4C4D4的面积为625．
【分析】本题需先根据已知条件得出延长n次时面积的公式，再根据求正方形A4B4C4D4正好是要求的第5次的面积，把它代入即可求出答案．
【解答】解：最初边长为1，面积1，
延长一次为，面积5，
再延长为51＝5，面积52＝25，
下一次延长为5，面积53＝125，
以此类推，
当N＝4时，正方形A4B4C4D4的面积为：54＝625．
故答案为：625．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，在解题时要根据已知条件找出规律，从而得出正方形的面积，这是一道常考题．
26．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；…，依此类推，这样作的第n个正方形对角线交点M n的坐标为（，）．
【分析】先观察图形，了解正方形的性质，例如正方形对角线的性质，然后列出几个M点的坐标，推出公式．
【解答】解：设正方形的边长为1，则正方形四个顶点坐标为O（0，0），C（0，1），B1（1，1），A1（1，0）；
根据正方形对角线定理得M1的坐标为（）；
同理得M2的坐标为（，）；
M3的坐标为（，），
…，
依此类推：M n坐标为（，）＝（，）
故答案为：（，）．
【点评】准确掌握正方形的性质，正确认识坐标图．能根据求出的数据得出规律是解决此题的关键
27．矩形ABCD的周长是56cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长短4cm，则AB＝12cm，BC＝16cm．
【分析】把△AOB，△BOC的周长的等式列出来，找到等量关系即可求解．
【解答】解：∵△AOB的周长为AB+AO+BO，△BOC的周长为BO+OC+BC，
∴（BO+OC+BC）﹣（AB+AO+BO）＝4，
化简得BC﹣AB＝4，
∵AD+AB+BC+CD＝56，
∴AB＝12cm，BC＝16cm．
故答案为12，16．
【点评】本题考查的是矩形的性质的运用，关键明确矩形的对角线相等．
28．在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是AC＝BD或者有个内角等于90度．
【分析】因为在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成。