09-章末培优专练高中数学必修一人教A版

card ∪ = card + card − card ∩ .某校举办田径运动会,
= {|是高三（2）班参加田赛的学生},card = 11, = {|是高三
（2）班参加径赛的学生}，card = 10, = {|是高三（2）班既参加
田赛也参加径赛的学生}，card = 4,那么高三（2）班参加田径运动会
的学生人数为( D )
A.25
B.14
C.15
D.17
【解析】 由题意得 = ∩ ，且 ∪ = {|是高三（2）班参加田径
运动会的学生},所以
card ∪ = card + card − card ∩ = 11 + 10 − 4 = 17.
2.（多选）[2024黑龙江龙东五地市联考]中国古代重要的数学著作《孙子
+2 = 5 × 46 + 3 = 7 × 33 + 2,故233 ∈ ∩ ∩ ,故D正确.
3.已知是非空数集，若非空集合1，2满足以下三个条件，则称 1, 2
为集合的一种真分拆，并规定 1, 2 与 2, 1 为集合的同一种真分拆.
①1 ∩ 2 = ⌀ ；②1 ∪ 2 = ；③ = 1,2 的元素个数不是 中的元素.
C.∁ ∩
D. ∪ ∁
【解析】 ∪ = {| < 2},所以∁ ( ∪ ) = {| ≥ 2},故选A.
8.[2023新课标Ⅱ卷·2,5分]设集合 = {0,−}, = {1, − 2,2 − 2}，若
⊆ ，则 =( B
A.2
)
B.1
2
C.
> 0且 ≠ 1，为使 最小，则 = {0，± ，±+1 ，±+2 } ∈ ,此
时 = {0,−2 ,±2+1 ,±2+2 ,±2+3 ,−2+4 },所以
min
= 9.若

min
< 9，则中必有两个元素相同，不满足集合中元素的互异性.所以
C.{| = 3 − 2, ∈ }
D.⌀
【解析】 通解（列举法） = {⋯ ,−2,1,4,7,10,⋯ }, = {⋯ ,−1,2,5,8,11,⋯ },
所以 ∪ = {⋯ ,−2,−1,1,2,4,5,7,8,10,11,⋯ },所以∁ ∪ = {⋯ ,−3,
0,3,6,9,⋯ },其元素都是3的倍数,即∁ ∪ = {| = 3, ∈ },故选A.
符合题意的整数为( ACD )
A.23
B.38
C.128
D.233
【解析】 因为23 = 3 × 7 + 2 = 5 × 4 + 3 = 7 × 3 + 2,所以23 ∈ ∩ ∩
,故A正确.因为38 = 7 × 5 + 3,所以38 ∉ ,故B错误.因为128 = 3 × 42 +
2 = 5 × 25 + 3 = 7 × 18 + 2,所以128 ∈ ∩ ∩ ,故C正确.233 = 3 × 77
3
D.−1
【解析】 依题意,有 − 2 = 0或2 − 2 = 0.当 − 2 = 0时,解得 = 2,此时
= {0,−2}, = {1,0,2},不满足 ⊆ ；当2 − 2 = 0时,解得 = 1,此时
= {0,−1}, = {−1,0,1},满足 ⊆ .所以 = 1.
= {| − 2 < ≤ 1}，则∁ =( D )
A.{| − 2 < ≤ 1}
B.{| − 3 < < −2或1 ≤ < 3}
C.{| − 2 ≤ < 1}
D.{| − 3 < ≤ −2或1 < < 3}
【解析】 因为全集 = {| − 3 < < 3}， = {| − 2 < ≤ 1}，所以
= −2,则
= −2,所以 2 + 2 = −2,所以 2 + 2 + 2 = 0,即 +
= ”,所以本题可以转化为判断“ = −或 = ”与“ = ”的关系,又“
= −或 = ”是“ = ”的必要不充分条件,所以“2 = 2 ”是“
2 + 2 = 2”的必要不充分条件.
11.[2023北京卷·8，4分]若 ≠ 0，则“ + =
则 ∩ =( A )
A.{2,4}
B.{2,4,6}
C.{2,4,6,8}
【解析】 由题意知 ∩ = {2,4}，故选A.
D.{2,4,6,8,10}
2.[2023北京卷·1,4分]已知集合 = {| + 2 ≥ 0}， = {| − 1 < 0}，则
∩ =( A )
1 = {4,5},2 = {1,2,3,6}；1 = {4,6},2 = {1,2,3,5}，共5种.
4.已知是非空数集，如果对任意, ∈ ，都有 + ∈ , ∈ ，则称
是封闭集.
（1）判断集合 = {0}, = {−1,0,1}是否为封闭集，并说明理由.
【解析】 对于集合 = {0}，因为0 + 0 = 0 ∈ ,0 × 0 = 0 ∈ ,所以
= {0}是封闭集;
对于集合 = {−1,0,1}，因为−1 + −1 = −2 ∉ ，
所以集合 = {−1,0,1}不是封闭集.
（2）判断以下两个命题的真假，并说明理由.
命题:若非空集合1 ,2 是封闭集，则1 ∪ 2 也是封闭集.
命题:若非空集合1,2是封闭集，且1 ∩ 2 ≠ ⌀ ，则1 ∩ 2 也是封闭集.
“2 + 1为整数”的充分不必要条件.
1
,所以必Hale Waihona Puke 性不成立.故“为整数”是2
10.[2023天津卷·2，5分]“2 = 2 ”是“2 + 2 = 2”的( B
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 因为“2 = 2 ”⇔ “ = −或 = ”, “2 + 2 = 2”⇔ “
优解（描述法）集合 ∪ 表示被3除余1或2的整数集,则它在整数集中的
补集是被3整除的整数集,故选A.
7.[2023全国乙卷理·2,5分]设集合 = ,集合 = {| < 1},
= {| − 1 < < 2},则{| ≥ 2} =( A )
A.∁ ∪
B. ∪ ∁
算经》有题:“今有物,不知其数.三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩
二.问:物几何?”现有如下表示:已知 = {| = 3 + 2, ∈ ∗ }, = {| =
5 + 3, ∈ ∗ }, = {| = 7 + 2, ∈ ∗ },若 ∈ ∩ ∩ ,则下列选项中
第一章 集合与常用逻辑用语
过素养 综合素养创新应用
过高考 高考真题同步挑战
章末培优专练
过素养 综合素养创新应用
类型1 创新培优
1.[2024江苏南通检测]集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的.在他
的集合理论中,用card 表示有限集合中元素的个数,如 = {1，2,3,4},
则有card = 4.对于任意两个有限集合,,有
考点2 充分条件、必要条件的判断
9.[2022天津卷·2,5分]“为整数”是“2 + 1为整数”的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 当为整数时,2 + 1必为整数,充分性成立；当2 + 1为整数时,
不一定是整数,如当2 + 1 = 2时, =
则集合 = {1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是( A )
A.5
B.6
C.10
D.15
【解析】 由题意，集合 = {1，2，3，4，5，6}的真分拆有1 = {5},
2 = {1,2,3,4,6}；1 = {1,4},2 = {2,3,5,6}；1 = {3,4},2 = {1,2,5,6}；

max
+
min
= 21 + 9 = 30.
6.[2023山东大学强基计划]已知 ∪ = {1 ,2 ,⋯ ,10 }, ∩ = {1 ,2 ,3 },
则 , 共有多少组？
【解析】 定义差集 − 表示所有属于集合但不属于集合的元素组成
的集合.
记 = − ∩ , = − ∩ ，则 , 的组数与 , 的组数相等.
5.[2023数学奥林匹克竞赛新疆赛区选拔赛]设是任意一个7元实数集合，
集合 = {|, ∈ , ≠ }，记集合中元素个数为 ,则
30
max + min =____.
【解析】 当集合中的任意2个元素的乘积互不相等时， 取最大，

max
= 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21.要使 最小，则0 ∈ .假设 ∈ ，

0”是“



+ = −2”的( C )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 方法一 因为 ≠ 0,所以 ≠ 0且 ≠ 0.若 + = 0,则
= − ≠
2 + 2


0,所以

=


=

−1,所以

+


=

−2；若

+


由题意知 ∪ = {4 ,5 ,⋯ ,10 }，且 ∩ = ⌀ ，
所以 , 的组数等于集合{4 ,5 ,⋯ ,10 }的子集个数，为27 = 128.
所以这样的 , 共有128组.
章末培优专练
过高考 高考真题同步挑战
考点1 集合的基本运算
1.[2022全国乙卷文·1，5分]集合 = {2,4,6,8,10}， = {| − 1 < < 6},
对于命题,设, ∈ 1 ∩ 2 ，则有, ∈ 1 ，又集合1 是封闭集，所以
+ ∈ 1 , ∈ 1 ，
同理可得 + ∈ 2 , ∈ 2 ，
所以 + ∈ 1 ∩ 2 , ∈ 1 ∩ 2 ，
所以1 ∩ 2 是封闭集，故为真命题.
类型2 强基计划
D.{0,2,3,4}
5.[2023天津卷·1，5分]已知集合 = {1,2,3,4,5}, = {1,3}, = {1,2,4}，则
∁ ∪ =( A )
A.{1,3,5}
B.{1,3}
C.{1,2,4}
D.{1,2,4,5}
【解析】 因为 = {1,2,3,4,5}, = {1,2,4}，所以∁ = {3,5},又 = {1,3}，
∁ = {| − 3 < ≤ −2或1 < < 3}.
4.[2021天津卷·1,5分]设集合 = {−1,0,1}, = {1,3,5}, = {0,2,4},则
∩ ∪ =( C )
A.{0}
B.{0,1,3,5}
C.{0,1,2,4}
【解析】 ∩ = {1},所以 ∩ ∪ = {0,1,2,4}.
【解析】 对命题,令1 = {| = 2, ∈ }，2 = {| = 3, ∈ },
则集合1 ,2 均是封闭集.
因为2 ∈ 1 ,3 ∈ 2 ，所以2,3 ∈ 1 ∪ 2 ,但2 + 3 = 5 ∉ 1 ∪ 2 ，即1 ∪ 2
不是封闭集，故为假命题;
A.{| − 2 ≤ < 1}
B.{| − 2 < ≤ 1}
C.{| ≥ −2}
D.{| < 1}
【解析】 由题意得， = {| ≥ −2}, = {| < 1}，所以
∩ = {| − 2 ≤ < 1}，故选A.
3.[2022北京卷·1，4分]已知全集 = {| − 3 < < 3}，集合
所以 ∁ ∪ = {1,3,5}.
6.[2023全国甲卷理·1,5分]设全集 = ，集合 = {| = 3 + 1, ∈ },
= {| = 3 + 2， ∈ },则∁ ∪ =( A )
A.{| = 3, ∈ }
B.{| = 3 − 1, ∈ }