江苏科学技术出版社初中数学九年级下册 小结与思考(市一等奖)

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P 中考专题复习：三角函数在圆中的应用
武进区淹城初级中学 陈 桃 【教学目标】
1、运用三角函数的性质、圆的有关性质和推理论证的方法解决问题；
2、培养学生解答数学综合题的能力 ，培养学生运用数形结合、转化数学思想。

[设计意图] 三角函数是与角密切相关的函数，而圆中常会出现与角有关的求解问题，尤其出现一些非特殊角求其三角函数值的问题或已知三角函数值求圆中的有关线段长的问题。

三角函数与圆的综合应用，也是中考中热点问题之一。

【教学重难点】
灵活运用圆的有关性质和推理论证的方法解决综合题能力，培养学生转化数学思想。

[突破设计] 解决圆的有关问题时，常常需要添加辅助线来沟通已知条件和所求的结论的联系，因此：掌握圆中辅助线的规律是解决圆中有关综合题的关键．
通过各种典型题型的分析，进行突破。

【教学过程】
一、教学情境
展示同学们在学校活动的一些集体照片。

师：前面我们分别复习了圆和三角函数，如果我们用三角函数来比喻在座的各位同学，这圆就相当于我们的大淹中。

我们和学校有着深厚的感情，同样这三角函数与圆之间也是密切联系的。

下面我们一起走进以圆为背景的三角函数问题。

[设计意图] 以情景为手段，以情感为纽带，在数学教学过程中融合进情感教育，是我们作为教育者在教育新形势下的责任和义务，更重要的是可以很轻松的完成教书和育人的教育目的。

正如陕西师大罗增儒教授说的一样：知识只有插上了情感的翅膀，才会富有趣味性的幽默与魅力”。

二、探索活动
【活动1】
1、（1）已知：⊙O 的半径和弦AB 相等，则cosC=________.
（2）已知：如图，⊙O 的半径为2，∠C=600 ，则弦长AB =________. [设计意图] 第（1）小题让学生感知，若叫的大小
确定，三角函数可以直接求；第（2）让学生感知圆中常用辅助线：（1）连半
径（2）作弦心距（3）直径想直角。

通过基本题的训练，使学生牢固认识三角函数在圆中的计算，总结归纳圆中构造直角
三角形的常用方法，为解决问题，提供必要的支撑。

2、已知：如图，⊙O 的半径为1，OP=2，过P 作l ⊥OP ，l 绕点P
顺时针旋
转α（00 <α<1800）若l 与⊙O 有公共点，则α的取值范围
是 。

AB=AF [设计意图]分类讨论是数学解题中的一个重要思想方法，它能训练人的思维条理性和严密性。

通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

本题先复习切线的性质，圆中辅助线：见切点连半径。

用到分类讨论思想：直线和圆相切，注意上切下切。

3、已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，过点C 的切线交AD 的延长线于点E ，且AE ⊥EC ．
（1）求证： DC ＝BC ；
（2）若DC ︰AB ＝3︰5，求sin ∠CAD 的值．
(3) 若DC ︰AB ＝3︰5， 求sin ∠ACD 的值．
[设计意图]转化思想，顾名思义即是在解决数学问
题时，如果对当前的问题感到生疏困惑，可以把它进行变换，使之化
繁为简，化难为易，化生疏为熟悉，从而使问题得以解决的思想方法。

它是初中数学中很重要的解题方法之一，也是科学研究的一种重要方
法，还是中考试题中常出现的一种考题。

本题要让学生体会圆中常用辅助线：转换角，转换三角形。

熟悉基本图形：平行线和等腰三角形得到角平分线。

古希腊数学角普洛克拉斯说“哪里有数学哪里就有美”，我们这里是“哪里有比例哪里有巧设”。

第三小题中要注意增量巧设。

【活动2】尝试解决
经典题型：学生分析图形、分析已知，思考如何解决问题的途径。

练习:1、已知，如图，BC 为半圆O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，过点B 作弦
BF 交AD 于点E ，交半圆O 于点F ，弦AC 与BF 交于点H ，且
如果sin ∠FBC=53
，AB=45，求AD 的值。

2、如图，直线l 过点A(4,0),B(0,3),若⊙M 的半径为2，圆心M 在y 轴上，当与直线相切时，求点M 的坐标 。

3、已知：如图,四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A , BC =10,cos ∠BCD =53
,∠BCE =300，则线段DE 的长是_ __.
4、已知：如图，AB 是⊙O 以直径，弦DE ⊥AB ，垂
足是C ．过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点P ，
H E
D
O B C
A
F
tanP ＝1515
，PO ＝16．
（1）求⊙O 的半径；
（2）求OC 的长；
（3）若F 为AE 弧 的中点，求cos ∠AOF 的值。

[设计意图]
有句话说得好“数学，只有自己做对了，才叫做真正学会了”。

要想使练习效果明显，课前必须精心筛选与本课新授内容紧密相关的练习。

题目涉及知识要点覆盖了本节课的内容，具有一定的梯度和一定的基础性与综合性，选择能体现“通性通法”即包含最基本的教学方法的题目，不追求偏、怪难也不多，重视一题多解，一题多变，在培养解题能力中的作用。

四、小结思考
教师提问：本节课你有哪些收获
[设计意图]
课堂小结是课堂教学必不可少的重要环节，教师留给学生充足的时间“议”，放开手脚让学生“说”，引导学生从肤浅的具体问题到深奥的数学思想，形成完整的思维导图，使学生由混浊到澄清，形成清晰的知识体系。

巩固了知识，提炼出精华，做到了首尾响应、画龙点睛、相对完整和回味无穷。

同时体现出平等的师生关系，和谐的教学氛围。

【教学感悟】
数学思维方式是对数学规律本质的认识，作为数学这门学科，应在建立数学认知结构的基础上，注意数学逻辑思维，注重知识的基本点、连接点、关键点和生长点，把数学基本知识和思想构成统一整体，充分调动学生数学思维的内动力。

在整个数学过程中，让学生参与数学的发现过程和思维探求过程，在教学中强调数学思想方法的渗透和加强数学思想方法的学习指导。

让学生不断思考，不断对各种信息和观念进行加工转换，基于新知识和旧知识进行综合和概括，解释有关现象，形成新的假设和推论，形成自己独特的思维方式。

构建师生学习共同体，培养学生核心素养已成为现阶段课程改革的热点研究对象，体现在讨论法得到了最为广泛的应用。

讨论学习教学法具有形式的新颖性、独特性和在实际操作中难以控制的特点，教师如何做到精讲多练，充分发挥出学生的主观能动性，正确引导学生思考问题、解决问题、通过顺同和内化，从而构建新的知识体系，常可用对经典例题的分析达成目标。

逐步引导，精准把握，从形到意，引导学生利用基础知识解决实际问题，培养数学思想，提高课堂教学效率。

德国教育家第斯多惠说：“教育的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。

数学教育与情感教育在教学中相互交融、相互渗透、相互影响、相互促进。

因此，我们要使以后的数学教学更加符合素质教育的要求，更加贴近新课程的标准，努力探索情感教育的有效途径，不断提高情感教育的效益，通过情感教育更有效地提高数学课的教学质量。

作为一名数学老师，自己对数学的情感会潜移默化的影响到学生对数学的情感。

教师应热爱自己的学科，应有严谨的教学态度，并有发自内心的对数学的感情和思维，把讲数学课当成是一种享受，那么对于你的学生而言，很自然的也会去爱数学，把听你的数学课当成一种享受。

换言之，如果数学教师本身就不热爱数学，又没有严谨的教学态度，那么在他的教学过程中也就不可能培养出学生学习数学、热爱数学的情感。