【中小学资料】上海市普陀区2015届高三数学第三次模拟调研考试试题 文(含解析)

上海市普陀区2015届高三数学第三次模拟调研考试试题 文（含解析）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1.设复数(1)z i i =+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =_________. 【答案】i --1
考点：复数的运算及共轭复数的概念.
2.已知幂函数)(x f y =
图像过点（，则该幂函数的值域是_____________.
【答案】[0,)+∞ 【解析】
试题分析：设幂函数的解析式为α
x y =因为幂函数)(x f y =
图像过点（，所以
2
1
,22=
∴=αα，所以该幂函数的解析式为0≥=x y . 考点：幂函数的定义及值域.
3.设向量(1,2)a =-，(3,4)b =，则向量a 在向量b 上的投影为 . 【答案】
-1
考点：向量的投影.
4.已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧≤->-=)0(1)
0(log )(22x x x x x f ，则不等式0)(>x f 的解集为_________.
【答案】(1,1)-
考点：解不等式. 5.若二元一次线性方程组3
46
x ay ax y +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a 的值是__________.
【答案】-2 【解析】
试题分析：二元一次线性方程组3
46
x ay ax y +=⎧⎨
+=⎩无解，则直线x+ay=3与ax+4y=6平行，则
6
3
41≠=a a 解得2-=a . 考点：二元一次方程组的解法. 6.若02
x π
≤≤
，则函数cos()sin()26
y x x π
π
=-
+的最大值是___________.
【答案】
24
+
考点：求最大值.
7.已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是 2
cm ．
【解析】
试题分析：球的半径是1cm ，则它的体积ππ3
4
1343=⨯=
V ,设圆锥的高为h ，由题意h 213
1
34⨯=ππ，解得4=h ，则圆锥的母线长为,174122=+=l 所以圆锥的侧面积是
=rl π.
考点：求圆锥的侧面积.
8.已知7270127()x m a a x a x a x -=+++
+，其中435a =-，m R ∈，
则01237a a a a a +++++= ．
【答案】0
考点：二项式定理的应用.
9.已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF
的一个方向向量为，则||PF =______． 【答案】4 【解析】
试题分析：P 是抛物线上一点，
所以可设点P 的坐标为),4
(2
y y ，则),1(y E -，又因为F )0,1(，
所以),,2(y -=直线EF 的一个方向向量为，所以32,32-==-y y ，所以
)32,3(-p ，所以),32,2(-=所以4)32()2(||22=+-=，所以||PF =4.
考点：求线段的长度.
10.已知双曲线22
:
1916
x y C -=的左、右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于___________.
【答案】48
考点：求三角形的面积.
11.函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数(1)1f -=，，且对任意实数x 都有
(1)(1)()xf x x f x +=+，则(0)(1)(2)(2015)f f f f +++
+的值是___ __.
【答案】2031120 【解析】
试题分析：因为(1)(1)()xf x x f x +=+，所以)(1
)1(,0,0)0(x f x
x x f x f +=+≠=，由题意=)1(f (1)1f -=，所以n n f f f f f ===
==)(,3)2(2
3
)3(,2)1(2)2( ，2031120
2
)
20150(201620153210)2015()2()1()0(=+=+++++=++++ f f f f .
考点：抽象函数.
12.若矩阵a b c d ⎛⎫
⎪⎝⎭
的元素为随机从1、
2、4、8中选取的4个不同数值，则对应的行列式a b c d 的值为正数的概率为__________. 【答案】
13
考点：行列式与概率.
13.设,x y 满足约束条件：32020,0,0x y x y x y --≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥≥⎩
若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则
a b
ab
+的最小值为 .
【答案】【解析】
试题分析： 画出32020,0,0x y x y x y --≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥≥⎩
的可行域
易得A(0，0),B(
23，0),C(2,4),易得直线a z
y x b b
=-+(0,0)a b >>过点C 时目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，即24b 2a +=
，
11112()(2)33a b a b a b ab a b a b b a +=+=++=++≥+当且仅当21
2a b a b b a
+=⎧⎪
⎨=⎪⎩时取等号，所以答案
为考点：线性规划.
14.已知集合=n A ｛()0|,,,21=j n a a a a 或1，12,(2)}j n n =≥，，，，对于,n U V A ∈，
(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数，若给定n U A ∈，则所有的(,)d U V 和为
__________. 【答案】1
2n n -
【解析】
试题分析：由题意可得集合=n A ｛()0|,,,21=j n a a a a 或1，12,(2)}j n n =≥，，，中，共
有2n
个元素，记为123(1,2.3,4,
,2),V (b ,,,)n k n V k b b b ==，b 0i =的k V 共有12n -个，
b 1i =的k V 共有12n -个，
111122(,)2(|0||1||0||1||0||1|)n 2n n n n d U V a a a a a a --∴=-+-+-+-+
+-+-=⨯.
故答案为1n 2n -⨯. 考点：推理与证明.
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. “0a b +>”是“任意的[]0,1x ∈，0ax b +>恒成立”的……………………………（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C
考点：充分必要条件的判断.
16.若0||2
=+⋅，则ABC ∆为………………………………………………（ ） A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
【答案】B 【解析】
试题分析：由题意0||2
=+⋅，可得
()0AB BC AB AB AB BC AB AB AC ⋅+⋅=⋅+=⋅=，所以
00,,90AB AC AB AC BAC ⋅=∴⊥∴∠=,所以ABC ∆为直角三角形 .
考点：三角形形状的判断.
17.函数ln |1|y x =-的图像与函数cos (24)y x x π=--≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于……………………………………………………………………………………（ ） A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】A
【解析】
试题分析：函数ln |1|y x =-的图像关于直线x=1对称，函数cos (24)y x x π=--≤≤的图像也关于直线x=1对称，画出图像，
两图像共有6个交点，关于直线x=1对称，所以它们的交点的横坐标之和等于6. 考点：对数函数与余弦函数的图象与性质.
18.已知x 、y 均为实数，记,max{,},x x y x y y x y
≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y
x y x x y ≥⎧=⎨<⎩.
若i 表示虚数单位，且11a x y i =+，
22,b x y i =+1122,,,x y x y R ∈，则…………（ ） A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ B.max{||,||}max{||,||}a b a b a b +-≤
C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+
D.2
222max{||||}||||a b a b a b +-≥+，
【答案】D
考点：复数的几何意义.
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
已知函数21
()21
x x f x -=+.
（1）求函数()f x 的零点，并求反函数1
()f x -；
（2）设2
1()2log x g x k +=，若不等式1
()()f x g x -≤在区间12[,]23
上恒成立，求实数k 的范围.
【答案】（1）0，121()log 1x
f x x
-+=-(11)x ∈-，,（2）03k <≤ 【解析】
试题分析：(1)函数的零点即求当y=0时，x 的值；反函数的实质是x 与y 的互换；(2)对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）()()max x f a x f a ≥⇔≥恒成立，（2）
()()min x f a x f a ≤⇔≤恒成立
试题解析：（1）函数()f x 的零点是0x =，（2分） 反函数12
1()log 1x
f x x
-+=-，(11)x ∈-，,（6分），
考点：零点，反函数恒成立问题.
20.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，已知正四棱柱ABCD A B C D １１１１－中，底面边长2AB =，侧棱1BB 的长为4，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1CC 于点E ，交1B C 于点F .
（1）求证：1A C ⊥平面BDE ； （2）求三棱锥C BDE -的体积.
【答案】（1）答案见解析（2）2
3
【解析】
试题分析：（1）证明线线垂直一般要通过证明线面垂直，线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.(2) 在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.
试题解析：（1）连接AC,因为正四棱柱所以 11BD AC BD BD AA AC AA A
⊥⎫
⇒⊥
⎬⊥⎭=平面11
A AC BD AC ⇒⊥；（3分）
同理可得1111111
BE B C BE BE A B B C
A B B ⊥⎫
⇒⊥
⎬⊥⎭=平面111
A B C BE AC ⇒⊥；又因为BD BE B = 所以1A C ⊥平面BDE . （6分） （2）容易得到1CE =，（8分） 所以112
122323
C BDE E BDC V V --==
⨯⨯⨯⨯=.（14分） 考点：线线垂直及三棱锥的体积.
21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.
如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（直角EFG ∆，E 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口E 是AB 的中点，
,F G 分别落在,AD BC
上，且20,AB m AD ==,
设GEB θ∠=.
（1）试将污水管道的长度l 表示成θ的函数，并写出定义域；
（2）当管道长度l 为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度.
D A
F
【答案】（1）11110(
+),[,]sin cos sin cos 63
l ππ
θθθθθ=+∈；
（2）max 20(31)m l =+ 试题解析：（1）因为101010
,,F cos sin sin cos EG EF G θθθθ
=
==
，（3分） 11110(
+),[,]sin cos sin cos 63
l ππ
θθθθθ=+∈ （6分） （2）1sin cos 10
sin cos l θθ
θθ
++=，
令31
sin cos 2)[
2]4
2
t π
θθθ=+=
+∈，（8分） 所以20
1
l t =
-在312]2上减，（10分） 所以当6
π
θ=或3
π
时，max 20(31)l = （13分） 答：当6
π
θ=
或
3
π
时，max 20(31)m l =.（14分） 考点：利用三角函数解应用题.
22.（本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分6分.
对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q ，使得1(0)n n c pc q p +=+≠对于任意的*n N ∈都成立，我们称这个数列{}n c 是“M 类数列”.
（1）若*
2,32,n n n a n b n N ==⋅∈，判断数列{},{}n n a b 是否为“M 类数列”,并说明理由；
（2）若数列{}n a 是“M 类数列”，则数列1{}n n a a ++、1{}n n a a +⋅是否一定是“M 类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；
（3）若数列{}n a 满足：*111,32()n n n a a a n N +=+=⋅∈，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n
S 的表达式，并判断{}n a 是否是“M 类数列”.
【答案】（1）是；（2）1
12(2,)23(21,n n n n k k Z S n k k Z ++⎧=∈⎪=⎨-=-∈⎪⎩-2，
，
），不是
【解析】
试题分析：(1)对于数列的新定义，一定要明确满足什么条件是M 类数列，然后解析判断，（2）
由*111,32()n n n a a a n N +=+=⋅∈如何求n S ，分n 为偶数与n 为奇数两种情况，注意把
1n n a a ++看做整体对待，进行求和，由n S 进一步求出n a ，在根据新定义判断{}n a 是否是“M 类数列”.
试题解析：（1）因为12n n a a +=+，12p q ==，是“M 类数列”
，（2分） 12n n b b +=，20p q ==，是“M 类数列”（4分）.
（2）因为{}n a 是“M 类数列”，所以1n n a pa q +=+，2+1n n a pa q +=+，
所以121+()2n n n n a a p a a q +++=++，因此，1{}n n a a ++是“M 类数列”.（7分） 因为{}n a 是“M 类数列”，所以1n n a pa q +=+，2+1n n a pa q +=+，
所以221211()()n n n n n n a a p a a pq a a q ++++=+++，
当0q =时，是“M 类数列”；（9分）
当0q ≠时，不是“M 类数列”；（10分）
假设{}n a 是“M 类数列”，
当n 为偶数时，1121(21)2,3n n n n a pa q p q p q ++=-=+=++⇒==-，
当n 为奇数时，1121(21)2,3n n n n a pa q p q p q ++=+=+=-+⇒==，
得出矛盾，所以{}n a 不是“M 类数列”.（16分）
考点：数列的新定义.
23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.
如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A 、B 、C 、D .记m n
λ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S . （1）当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值；；
（2）设直线:(0)l y kx k =>，若123S S =，证明：,B C 是线段AD 的四等分点
（3）当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.
【答案】(1)1λ=
+;(2)证明见解析；
（3） 当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;
当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .
【解析】
试题分析：（1）解决有关椭圆问题时，注意椭圆的对称性得应用；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.
（3）设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22
222:1x y C a n
+=,直线l :(0)y kx k =≠
22
221y kx x y a m =⎧⎪⎨+=⎪⎩222222a m x m a k ⇒=+ 即222222
A a m x m a k =+ （12分） 同理可得,22
2222B a n
x n a k =+ 又BDM ∆和ABN ∆的高相等
1
2B D B A
A B A B
S x x x x BD S AB x x x x -+∴===--
若存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B x x λλ-=+,
即()()22
2222222211n a k n a k λλλλ-+=++,解得()()2322224211n k a λλλλ=--+ （16分） ∴
当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;
当11λ<≤时,20k ≤,不存在这样的直线l . （18分） 考点：椭圆的综合问题.。