高中数学平面向量及其应用练习题百度文库

一、多选题
1．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）
A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+
B ．若0⋅=⋅=a b a c ，则//b c
C ．若////a b c ，则a b c a b c =++++
D ．若0a b ⋅=，则a b a b +=-
2．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点
时，点P 的坐标为（ ） A ．4,23⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．4,33⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()2,3
D ．8
,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
3．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°
D ．()
//2a a b +
4．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且
AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）
A ．1A
B CE ⋅=- B ．0OE O
C +=
C ．3OA OB OC ++=
D ．ED 在BC 方向上的投影为
76
5．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB +=
D ．0PA PB PC ++=
6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=︒，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4.
B ．若4A
C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =
D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 7．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b
C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立
D ．在ABC 中，
sin sin sin +=+a b c
A B C
8．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）
A ．2
AB AB AC B ．2
BC CB AC C ．2AC
AB BD
D ．2
BD
BA BD
BC BD
9．ABC 中，4a =，5b =，面积53S =c =（ ） A 21B 61
C 41
D ．2510．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．11
22AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133
BM BA BD =
+ D ．12
33
CM CA CD =
+
11．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ） A ．5B ．
2
3
C ．23
-
D ．
5
3
12．在下列结论中，正确的有（ ）
A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B ．平行向量又称为共线向量
C ．两个相等向量的模相等
D ．两个相反向量的模相等
13．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ） A ．00a ⋅= B ．()
()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ C ．0a b a b ⋅=⇒⊥
D ．(
)(
)
22
b b a b a a +-=⋅-
14．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=
B ．a b ⊥
C ．()
4a b b +⊥
D ．1a b ⋅=-
15．已知ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,33
B a c b π
=+=,则
a
c
=( ) A ．2
B ．3
C ．
12 D ．
13
二、平面向量及其应用选择题
16．在ABC ∆中，6013ABC A b S ∆∠=︒=，，，则2sin 2sin sin a b c
A B C
-+-+的值等于
（ ）
A B C D ．17．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230
OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ∆的形状是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．不能确定
18．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若
lg lg lg sin a c B -==-，且0,2B π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则ABC 的形状是（ ）
A ．等边三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ∆的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ∆的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．等边三角形
20．若△ABC 中，2
sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
21．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
，且1
||||2AB AC AB AC =，则ABC ∆的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形
D ．等边三角形
22．下列说法中说法正确的有（ ）
①零向量与任一向量平行；②若//a b ，则()a b R λλ=∈；
③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅④||||||a b a b +≥+；⑤若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④
B ．①②④
C ．①②⑤
D ．③⑥
23．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，c =45B =︒，则sin C 的值等于（ ）
A ．
4
41
B ．
45
C ．
425
D 24．在ABC ∆中，
E ，
F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记
i
i S S
λ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1
B ．1
C ．32
-
D ．
32
25．已知ABC 的面积为30，且12
cos 13
A =，则A
B A
C ⋅等于（ ） A ．72 B ．144
C ．150
D ．30026．题目文件丢失！
27．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若1c =，45B =︒，
3
cos 5
A =
，则b 等于（ ） A ．
35 B ．
107
C ．
57
D ．
52
14
28．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得
45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）
A ．102
B ．106
C ．103
D ．10
29．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =
（ ）
A ．13
24
AB AD -+ B ．12
23AB AD + C ．
11
32
AB AD - D ．
13
24
AB AD - 30．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，
B S ，
C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的
结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点
O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则必有（ ）
A ．sin sin sin 0A OA
B OB
C OC ⋅+⋅+⋅= B ．cos cos cos 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=
D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=
31．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()2
26,c a b =-+3
C π
=
，则
ABC 的面积为（ ）
A ．6
B ．
33
C ．33
D ．3
32．已知ABC 中，1,3,30a b A ︒===，则B 等于（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．30°或150°
D ．60°或120°
33．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，
30B ∠=︒，ABC 的面积为3
2
，那么b 等于（ ）
A ．
13
+ B ．13+
C ．
23
+ D ．23+
34．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）
A ．1233A
B A
C -
+ B ．
21
33
AB AC - C ．1233
AB AC -
D ．21
33
AB AC -
+ 35．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===
，点D 在边BC 上，且
27
sin BAD ∠=
，则CD 等于（ ）
A ．
3
B ．
3
C ．
2
D ．
3
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一、多选题 1．BD 【分析】
假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若与共线，与，都 解析：BD 【分析】
假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；
B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以
//b c ，即B 正确；
C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出
a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；
D 选项，若0a b ⋅=，则()
2
2
2
2
2
2a b a b a b a b a b
+=+=++⋅=
+，
(
)
2
2
2
2
2
2a b a b
a b a b a b -=
-=+-⋅=
+，所以a b a b +=-，即D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.
2．AD 【分析】
设，则，然后分点P 靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】 设，则，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以， 故选：
解析：AD 【分析】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，然后分点P 靠近点1P ，靠近点2P 两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ， 当点P 靠近点1P 时，121
2
PP
PP =， 则()()1421142x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
，
解得432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以4,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 当点P 靠近点2P 时，12
2PP PP =， 则()()24124x x y y ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩
，
解得833
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以8,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 故选：AD 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3．AC 【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】 由向量，， 则，故A 正确； ，故B 错误；
解析：AC 【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】
由向量()1,0a =，()2,2b =，
则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；
222b =+=，故B 错误；
2cos ,21a b a b a b
⋅<>=
=
=
⋅+，
又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确； 由()1,0a =，()25,4a b +=，140540⨯-⨯=≠，故D 错误. 故选：AC 【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.
4．BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】
由题E 为AB 中点，则，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以，，
解析：BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.
【详解】
由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，123
(0,0),(1,0),(1,0),3),(,
)33
E A B C D -， 设123
(0,),3),(1,),(,3
3
O y y BO y DO y ∈==--，BO ∥DO ， 所以3133y y -
=-，解得：3
2
y =
， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；
3
2OA OB OC OE OC OE ++=+==
，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；
123(3ED =，(1,3)BC =，
ED 在BC 方向上的投影为12
7326BC BC
ED +⋅==，所以选项D 正确.
故选：BCD 【点睛】
此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.
5．CD 【分析】
转化为，移项运算即得解 【详解】 由题意： 故 即
, 故选：CD 【点睛】
本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.
解析：CD 【分析】
转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解 【详解】
由题意：3AB AC AP += 故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=
0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=
故选：CD 【点睛】
本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.
6．ABD 【分析】
根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】
解：由正弦定理得，故正确； 对于，，选项：如图
解析：ABD 【分析】
根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】
解：由正弦定理得2
24sin sin30AB R ACB =
==∠︒
，故A 正确；
对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数． 易知当
1
22
x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解； 当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；
当AD AB AC <<，即1
22
x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．
故B ，D 正确，C 错误． 故选：ABD ．
【点睛】
本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．
7．ACD 【分析】
对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中
解析：ACD 【分析】
对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确； 对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R C
R B C
+=+＝左边，故该选项正确.
【详解】
对于A ，由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；
对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2
π
，∴a ＝b 或a 2+b 2
＝c 2，故该选项错误；
对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；
对于D ，由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C
R B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.
故选：ACD. 【点睛】
本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8．AD 【分析】
根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】
对于A ，，故A 正确； 对于B ，，故B 错误； 对于C ，,故C 错误； 对于D ，, ,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查三角形
解析：AD 【分析】
根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】 对于A ，2
cos AB AB AC AB AC A AB AC
AB AC
，故A 正确；
对于B ，
2
cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB AC
CB AC
，
故B 错误； 对于C ，
2
cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BD
BD
AB
,故C 错误； 对于D ，2
cos BD BA BD
BA BD ABD BA BD BD BA
,
2
cos BD BC BD
BC BD CBD BC BD
BD BC
,故D 正确.
故选：AD.
本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.
9．AB 【分析】
在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】
中，因为，，面积， 所以， 所以，解得或，
当时，由余弦定理得：， 解得，
当时，由余弦定理得：， 解得 所以或
解析：AB 【分析】
在ABC 中，根据4a =，5b =，由1
sin 2
ABC
S
ab C =
=60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.
【详解】
ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABC
S
=
所以1
sin 2
ABC
S
ab C =
=
所以sin C =
60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，
解得c =
当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，
解得c =
所以c =c =故选：AB 【点睛】
本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
10．ABD 【分析】
根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.
解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.
对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A 正确； 对于B 选项，，由于为三
解析：ABD 【分析】
根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】
解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得11
22
AD AB AC =
+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，
2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；
对于C 选项，()
2212
=3333
BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()
2212
3333
CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD
【点睛】
本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.
11．AD 【分析】
利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】
由正弦定理，可得， ，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】
本题考查利用正弦定理与同
解析：AD 【分析】
利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】
由正弦定理sin sin b a B A
=，可得1
20sin 22sin 153
b A B a ⨯
===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.
因此，cos 3
B ==±. 故选：AD. 【点睛】
本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.
12．BCD 【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确
解析：BCD 【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；
C. 相等向量方向相同，模相等，正确；
D. 相反向量方向相反，模相等，故正确； 故选：BCD 【点睛】
本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.
13．AB 【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】
对于A 选项，，A 选项错误；
对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误；
对于C 选项，
解析：AB 【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】
对于A 选项，00a ⋅=，A 选项错误；
对于B 选项，()
a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()
a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；
对于C 选项，0a b a b ⋅=⇒⊥，C 选项正确；
对于D 选项，(
)()
2
2
22a b a b a b a b +⋅-=-=-，D 选项正确. 故选：AB. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.
14．CD 【分析】
分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
分析知，，与的夹角是. 由，故B 错误，D 正确； 由，所以，故A 错误； 由，所以，故C 正确. 故选：CD 【点睛】
解析：CD 【分析】
分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒.
由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；
由()2
2
221243a b
a a
b b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误； 由()()2
144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确.
故选：CD 【点睛】
本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
15．AC 【分析】
将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】 ∵， ∴①，
由余弦定理可得，②， 联立①②，可得， 即， 解得或. 故选：AC. 【点睛】
本题考查余弦定理的应
解析：AC 【分析】
将a c +=两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】
∵,3
B a c π
=
+=，
∴2
2
2
2
()23a c a c ac b +=++=①， 由余弦定理可得，2
2
22cos
3
a c ac
b π
+-=②，
联立①②，可得222520a ac c -+=，
即2
2520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 解得
2a
c =或12a c =. 故选：AC. 【点睛】
本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.
二、平面向量及其应用选择题
16．A 【解析】
分析：先利用三角形的面积公式求得c 的值，进而利用余弦定理求得a ，再利用正弦定理
求解即可.
详解：由题意，在ABC ∆中，
利用三角形的面积公式可得011
sin 1sin 6022
ABC S bc A c ∆==⨯⨯⨯=， 解得4c =，
又由余弦定理得2
2
2
1
2cos 116214132
a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯
=
，解得a =，
由正弦定理得2sin 2sin sin sin a b c a A B C A -+===
-+，故选A. 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 17．C 【分析】
根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果. 【详解】
由123||||||1OP OP OP ===，可知点O 是123PP P ∆的外心， 又1230OP OP OP ++=，可知点O 是123PP P ∆的重心， 所以点O 既是123PP P ∆的外心，又是123PP P ∆的重心， 故可判断该三角形为等边三角形， 故选：C 【点睛】
本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题. 18．C 【分析】
化简条件可得sin a B c ==
，由正弦定理化边为角，整理cos 0C =，即可求解. 【详解】
lg lg lg sin a c B -==-，
sin 2
a B c ∴==.0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
4
B π
∴=
.
由正弦定理，得
sin sin 2
a A c C ==
，
3
sin cos sin 422C A C C C π⎫⎛⎫
∴==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
， 化简得cos 0C =.
()0,C π∈， 2
C π
∴=
， 则4
A B C π
π=--=
，
∴ABC 是等腰直角三角形. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题. 19．D 【分析】
先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状. 【详解】
因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ， 所以()sin 0B A -=，所以A B =， 又因为2B A C B π=+=-，所以3
B π
=，
所以3
A B π
==，所以ABC 是等边三角形.
故选：D. 【点睛】
本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 20．A 【分析】
已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】
ABC ∆中，sin()sin A B C +=，
∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，
整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =，
cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），
0A π<< 90A ∴=︒，
则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 【点睛】
此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题． 21．D 【分析】
先根据0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫
+= ⎪ ⎪⎝⎭
，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状． 【详解】
解：0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直， AB AC ∴=，
1
cos ||||2
AB AC A AB AC =
=，
3
A π
∴∠=
，
3
B C A π
∴∠=∠=∠=
，
∴三角形为等边三角形．
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题． 22．A 【分析】
直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】
对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；
对于②：若//a b ，则()a b R λλ=∈，必须有0b ≠，故②错误； 对于③：()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，a 与c 不共线，故③错误； 对于④：a b a b +≥+，根据三角不等式的应用，故④正确；
对于⑤：若0AB BC CA ++=，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.
综上：①④正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
23．B
【分析】
在三角形ABC 中，根据1a =
，c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦定理
sin sin b c B C
=求解. 【详解】 在三角形ABC 中， 1a =
，c =45B =︒，
由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，
13221252=+-⨯⨯=， 所以5b =， 由正弦定理得：sin sin b c B C
=，
所以2sin 42sin 55
c B C b ===，
故选：B
【点睛】
本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 24．D
【分析】
根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312
S S S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC +
+=，根据平面向量基本定理可求得12
x y ==
，从而可求得结果. 【详解】
如图所示：
因为EF 是△ABC 的中位线，
所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半， 所以12312
S S S S ==+， 由此可得22232322322(
)1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立，
所以0PE PF +=，
由平行四边形法则可得2PA PB PE +=，2PA PC PF +=，
将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=， 所以11022
PA PB PC ++=， 又已知0PA xPB yPC ++=， 根据平面向量基本定理可得12x y ==
， 从而132122x y +=+
=. 故选：D
【点睛】
本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.
25．B
【分析】
首先利用三角函数的平方关系得到sin A ，然后根据平面向量的数量积公式得到所求．
【详解】
解：因为ABC 的面积为30，且12cos 13A =，所以5sin 13
A =，所以1||||sin 302
AB AC A ⨯=，得到||||626AB AC ⨯=⨯， 所以12|||||cos 62614413
AB AC AB AC A =⨯=⨯⨯=； 故选：B ．
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积；属于中档题．
26．无
27．C
【分析】
利用同角三角函数基本关系式可得sin A ，进而可得cos (cos cos sin sin )C A B A B =--，再利用正弦定理即可得出．
【详解】 解：3cos 5
A =，(0,180)A ∈︒︒．
∴4
sin 5A =，
34cos cos()(cos cos sin sin )(55C A B A B A B =-+=--=--=．
sin C ∴= 由正弦定理可得：
sin sin b c B C =，
∴1sin 5sin 7c B b C ===． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
28．B
【分析】
设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有
BC=3
x ，在△BCD 中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求 BC ，从而可求x 即塔高．
【详解】
设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，
从而有
x ，
x ， 在△BCD 中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30° 由正弦定理可得，sin sin BC CD BDC CBD
=
可得，BC=10sin 45sin 30x ==.
则；
所以塔AB 的高是米；
故选B ．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．
29．D
【分析】
利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：
DF AF AD =-，1=2AF AE ，=AE AB BE +，1=2
BE BC ，=BC AD ，即可得出答案.
【详解】 利用向量的三角形法则，可得DF AF AD =-，=AE AB BE +，
E 为BC 的中点，
F 为AE 的中点，则1=
2AF AE ，1=2BE BC 1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又=BC AD
1324DF AB AD ∴=
-. 故选D.
【点睛】
本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法： 一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：
（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；
（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；
二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
30．C
【分析】
利用已知条件得到O 为垂心，再根据四边形内角为2π及对顶角相等，得到AOB C π∠=-，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到
::cos :cos :cos OA OB OC A B C =，进而求出::A B C S S S 的值，最后再结合“奔驰定
理”得到答案.
【详解】
如图，因为OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，
所以()00OB OA OC OB CA ⋅-=⇒⋅=，同理0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=， 所以O 为ABC ∆的垂心。

因为四边形DOEC 的对角互补，所以AOB C π∠=-，
cos()cos OA OB OA OB C OA OB C π∴⋅=-=-．
同理，||cos OB OC OB OC A ∴⋅=-‖，
||cos OC OA OC OA B ∴⋅=-‖，
∴||cos ||||cos ||||cos OA OB C OB OC A OC OA B ==‖． ∴||cos ||||cos ||||cos ||||||||||||
OA OB C OB OC A OC OA B OA OB OC OA OB OC OA OB OC ==‖‖‖‖， ::cos :cos :cos OA OB OC A B C ∴=． 又11sin()sin 22
A S O
B O
C A OB OC A π=-= 11sin()sin 22B S OA OC B OA OC B π=-= 11sin()sin 22
C S OB OA C OB OA C π=-= sin sin sin ::::A B C A B C S S S OA OB OC ∴=
=sin sin sin ::tan :tan :tan cos cos cos A B C A B C A B C =． 由奔驰定理得tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=.
故选C ．
【点睛】
本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变形运用，属于难题.
31．B
【分析】
由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果.
【详解】
由条件可知：22226c a b ab =+-+，①
由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，②
所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，
则ABC 的面积为11sin 622S ab C =
=⨯=. 故选：B
【点睛】
本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.
32．D
【分析】
由正弦定理可得，sin 2B =
，根据b a >，可得B 角的大小. 【详解】
由正弦定理可得，sin sin b A B a ==， 又0,,π<<>∴>B b a B A ，60︒∴=B 或120B =.
故选：D
【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目. 33．B
【分析】
由题意可得2b a c =+，平方后整理得22242a c b ac +=-，利用三角形面积可求得ac 的值，代入余弦定理可求得b 的值.
【详解】
解：∵a ，b ，c 成等差数列，
∴2b a c =+，
平方得22242a c b ac +=-，①
又ABC 的面积为
32，且30B ∠=︒， 由11sin sin 3022ABC S ac B ac ==⋅︒△1342
ac ==，解得6ac =， 代入①式可得222412a c b +=-， 由余弦定理得222
cos 2a c b B ac
+-=，
222412312326122b b b ---===⨯， 解得2423b =+， ∴13b =+.
故选：B .
【点睛】 本题考查等差数列的性质和三角形的面积公式，涉及余弦定理的应用，属于中档题. 34．A
【分析】
作出图形，利用AB 、AC 表示AO ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OC AC AO =-可得出结果.
【详解】
如下图所示：
D 为BC 的中点，则
()
1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-1122AB AC =+， 2AO OD =，211333
AO AD AB AC ∴==+， 11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭
， 故选：A.
【点睛】
本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.
35．A
【分析】
首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正弦定理表示AD ，建立方程求DC 的值.
【详解】
222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅
1312232332
=+-⨯⨯=，
222
cos
2
AB BC AC
B
AB BC
+-
∴===
⋅
又因为角B是三角形的内角，所以
6
B
π
=，
90
BAC
∴∠=，
sin BAD
∠=
，cos BAD
∴∠==，
sin cos
7
DAC BAD
∴∠=∠=，
在ABD
△中，由正弦定理可得
sin
sin
BD B
AD
BAD
⋅
=
∠
，
在ADC中，由正弦定理可得
sin
sin
DC C
AD
DAC
⋅
=
∠
，
(
)1
7
DC DC
⨯⨯
=
，解得：DC=.
故选：A
【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型.。