高中数学 第一章 计数原理单元测评1(含解析)新人教A版选修2-3(2021年最新整理)

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计数原理
(时间：90分钟满分:120分)
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（）
A．70种B．112种
C．140种D．168种
解析：方法一（直接法）：
分类完成：
第1类，甲参加或乙参加,有C错误!C错误!种挑选方法；
第2类，甲、乙都参加，有C错误!C错误!种挑选方法．
所以不同的挑选方法共有C错误!C错误!＋C错误!C错误!＝140种．
方法二(间接法）:
从甲、乙等10人中挑选4人共有C错误!种挑选方法，甲、乙两人都不参加挑选方法有C错误!种，所以甲、乙两人中至少有1人参加的不同的挑选方法有C错误!－C错误!＝140种．答案:C
2．五本不同的书在书架上排成一排，其中甲，乙两本必须连排，而丙,丁两本不能连排，则不同的排法共有（)
A．12种B．20种
C．24种D．48种
解析：甲，乙看作一本，除去丙,丁后排列，再将丙，丁插入,共有A22A错误!A错误!＝2×3×2×2＝24种．
答案：C
3．在二项式错误!5的展开式中，含x4的项的系数是（）
A．－5 B．5
C．－10 D．10
解析：T k＋1＝C错误!·（x2)5－k·错误!k＝C错误!·x10－2k·错误!k·（－1）k＝C错误!·x10－3k·(－1)k。

由10－3k＝4知k＝2，
即含x4的项的系数为C错误!（－1)2＝10。

答案：D
4．如图,要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色,则不同的涂色方法种数为( ）
A．320 B．160
C．96 D．60
解析：按③→①→②→④的顺序涂色,有C15×C错误!×C错误!×C错误!＝5×4×4×4＝320种不同的方法．
答案：A
5．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选出6个进行答题,要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是（)
A．40 B．74
C．84 D．200
解析：可按包括前5个题的个数分类，共有不同的选法C错误!C错误!＋C错误!C错误!＋C错误! C错误!＝74种．
答案：B
6．从0，2中选一个数字,从1，3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( ）
A．24 B．18
C．12 D．6
解析:若选0，则0只能在十位,此时组成的奇数的个数是A23＝6；若选2，则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2×A23＝12，根据分类加法计数原理得总个数为6＋12＝18.
答案:B
7．若(2x＋错误!)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则（a0＋a2＋a4)2－（a1＋a3)2的值为（）A．1 B．－1
C．0 D．2
解析：（a0＋a2＋a4）2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4）（a0－a1＋a2－a3＋a4）＝（2＋错误!）4×（－2＋错误!）4＝1。

答案：A
8．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场的顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是( ）
A．6A错误!B．3A错误!
C．2A3，3D．A错误!A错误!A错误!
解析：先选一名男歌手排在两名女歌手之间,有A错误!种选法，这两名女歌手有A错误!种排法,把这三人作为一个元素，与另外三名男歌手排列有A错误!种排法，根据分步乘法计数原理，有A1，4A错误!A错误!种出场方案．
答案：D
9．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边,又不与乙相邻，则不同的站法有( ）
A．24种B．36种
C．60种D．66种
解析:先排甲、乙外的3人,有A错误!种排法，再插入甲、乙两人，有A错误!种方法，又甲排在乙的左边和甲排在乙的右边各占错误!，故所求不同的站法有错误!A错误!A错误!＝36(种）．答案:B
10．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（) A．72 B．96
C．108 D．144
解析:从2，4，6三个偶数中选一个数放在个位，有C错误!种方法，将其余两个偶数全排列，有A错误!种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有A错误!种方法，当1，3相邻且不与5相邻时有A22·A错误!种方法，故满足题意的偶数个数有C错误!·A错误!（A错误!＋A错误!·A错误!)＝108个．
答案:C
第Ⅱ卷（非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．
11．从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有__________种．
解析：从除甲外的乙，丙,丁三名同学中选出两人有C错误!种选法，再将3人安排到三个科目，有A错误!种不同排法，因此共有C错误!A错误!＝18种不同方案．
答案：18
12.错误!5的展开式中的常数项为__________(用数字作答）．
解析：(化简三项为二项）：原式＝错误!5＝错误!·[（x＋错误!）2］5＝错误!·(x＋错误!)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋错误!)10的展开式中含x5项的系数，即C 5
·（错误!）5.
10
所以所求的常数项为错误!＝错误!。

答案：错误!
13．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有__________种不同的方法(用数字作答）．
解析:只需找到不同颜色的球所在的位置即可，有C错误!C错误!C错误!＝1 260种．
答案：1 260
14．某校邀请6位学生的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中恰有一对是夫妻,那么不同的选择方法有__________种．
解析：先从6对夫妻中任选出一对，有C错误!种不同的选法,再从其余的10人中任选出2人，有C错误!种选法,其中这2人恰好是一对夫妻的选法有C错误!种，所以共有C错误!(C错误!－C错误!）＝240种不同选法．
答案：240
三、解答题:本大题共4小题,满分50分．
15．(12分)已知二项式错误!n展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240,
（1)求n；
（2）求展开式中含x项的系数；
（3）求展开式中所有含x的有理项．
解：（1)由已知得：4n－2n＝240，2n＝16，n＝4.
（2分）
（2）二项展开式的通项为：
C 错误!(5x )4－r 错误!r ＝C 错误!54－r （－1）r x 4－错误!r ，
令4－32
r ＝1⇒r ＝2 所以含x 项的系数：C 错误!52(－1）2
＝150。

（7分）
（3)由（2）得：4－错误!r ∈Z ，（r ＝0,1,2，3,4),
即r ＝0，2，4。

所以展开式中所有含x 的有理项为：
第1项625x 4，第3项150x ,第5项x －2。

（12分）
16．（12分）一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，求满足有且仅有一人要上7楼,且甲不在2楼下电梯的所有可能情况的种数．
解：由题意知需要分两类：第1类，甲上7楼，乙和丙在2，3，4，5,6层楼每个人有5种下法，共有52种；（5分）
第2类，甲不上7楼，则甲有4种下法，乙和丙选一人上7楼，另一人有5种下法，共有4×2×5种．(10分)
根据分类加法计数原理知，共有52＋4×2×5＝65种可能情况．（12分）
17．（12分)现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字．
（1)可以组成多少个无重复数字的三位数？
(2)组成无重复数字的三位数中,315是从小到大排列的第几个数？
（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数?
（4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？
（5)如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”，那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？
解：(1)可以组成无重复数字的三位数A 错误!A 错误!＝648（个）；(2分)
（2）组成无重复数字的三位数中,315是从小到大排列的第A 错误!A 错误!＋A 错误!＋A 错误!＝156(个）；(4分）
（3)可以组成无重复数字的四位偶数
A 错误!＋A 错误!A 错误!A 错误!＝2 296(个）．（分0占个位和0不占个位两种情况）．(6分）
（4）选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数,这样的四位数有
A 1，3A 3，5＋C 1，4C 3，5A 错误!＝1 140（个）．（分选出的偶数是0和不是0两种情况)(9分)
(5)由这十个数字组成的所有“渐减数"共有
C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝210－C错误!－C错误!＝1 013（个)．(12分)
18．(14分)10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求出现如下结果时，各有多少种情况？
(1）4只鞋子没有成双的；
(2)4只鞋子恰成两双；
（3）4只鞋子有2只成双，另两只不成双．
解：（1）从10双鞋子中选取4双，有C错误!种不同的选法,每双鞋子各取一只,分别有2种取法,根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C错误!·24＝3 360（种）．（4分）（2）从10双鞋子中选取2双有C2，10种取法，即45种不同取法．(8分)
(3)先选取一双有C错误!种选法,再从9双鞋子中选取2双鞋有C错误!种选法,每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝C错误!C错误!·22＝1 440(种)．(14分）。