复数的加、减运算及其几何意义(优秀经典公开课课件)

答案 A
题型三 复数加减运算的综合应用(一题多解) [例 3] 设 z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2，求|z1－z2|.
[解析] 解法一 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题设知 a2＋b2 ＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2.
题型二 复数加减运算的几何意义(一题多变) [例 2] 如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O，A，C 分别表示 0,3＋2i，－ 2＋4i.求： (1)A→O表示的复数； (2)对角线C→A表示的复数； (3)对角线O→B表示的复数．
[解析] (1)因为A→O＝－O→A，所以A→O表示的复数为－3－2i. (2)因为C→A＝O→A－O→C，所以对角线C→A表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－ 2i. (3)因为对角线O→B＝O→A＋O→C，所以对角线O→B表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋ 4i)＝1＋6i.
[母题变式] 例 2 的条件不变，求向量A→B表示的复数． 解析 因为A→B＝A→O＋O→B，由例 2 的解析可知，A→O表示的复数为－3－2i，O→B 表示的复数为 1＋6i，所以向量A→B表示的复数为(－3－2i)＋(1＋6i)＝－2＋4i.
[规律方法] 复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对 应的．
复数的加法满足交换律和结合律吗？ [提示] 满足．
对问题 2 以交换律为例进行说明．
[提示] z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i， z2＋z1＝(c＋di)＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i， ∴z1＋z2＝z2＋z1.
◎结论形成 1．复数的加、减法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则 z1＋z2＝__(a_＋__c_)_＋__(_b_＋__d_)i__， z1－z2＝__(a_－__c_)_＋__(b_－__d_)_i__.
01 课 前 案 自 主 学 习
栏目 02 课 堂 案 题 型 探 究
03 课 后 案 学 业 评 价
01
课前案 自主学习
[教材梳理] 导学 1 复数的加法和减法 已知复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？
[提示] 两个复数相加减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减，即(a ＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
又∵(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2， ∴2ac＋2bd＝0. ∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2 ＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2， ∴|z1－z2|＝ 2.
解法二 作出 z1，z2 对应的向量O→Z1，O→Z2，使O→Z1＋O→Z2＝O→Z， ∵|z1|＝|z2|＝1，又O→Z1，O→Z2不共线(若O→Z1，O→Z2共线，则|z1＋z2|＝2 或 0 与题 设矛盾)， ∴平行四边形 OZ1ZZ2 为菱形． 又|z1＋z2|＝ 2， ∴∠Z1OZ2＝90°， 即四边形 OZ1ZZ2 为正方形， 故|z1－z2|＝ 2.
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． (2)把 i 看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．
[触类旁通] 1．计算下列各题． (1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)； (2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2021－2022i)．
解析 (1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i＝－5＋20i. (2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2019－2020＋2021)＋(－2＋3－4＋5－…－ 2020＋2021－2022)i＝1011－1012i.
(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数 可能改变．
[触类旁通]
2．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为 z1，z2，z3，复数 z 满足|z－z1|＝|z
－z2|＝|z－z3|，则 z 对应的点是△ABC 的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
解析 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数 z 的对应点 P 到△ABC 的顶点 A，B，C 距离相等，∴P 为△ABC 的外心．
[解析] (1)(－2＋3i)＋(5－i) ＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. (2)(－1＋ 2i)＋(1＋ 2i)＝(－1＋1)＋( 2＋ 2)i＝2 2i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
[规律方法] 复数的加、减运算的技巧
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．在复平面内，A→B，A→C对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则B→C对应的
复数为( )
A．－1－5i
B．－1＋5i
C．3－4i
D．3＋4i
解析 B→C＝A→C－A→B＝(－2－3i)－(－ห้องสมุดไป่ตู้＋2i)＝－1－5i.
答案 A
3．实数 x，y 满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则 xy＝____________. 解析 由题意得 x＋y＋(x－y)i＝2， ∴xx＋ －yy＝ ＝20， ， 解得xy＝ ＝11， ， ∴xy＝1. 答案 1
试写出O→Z1，O→Z2及O→Z1＋O→Z2，O→Z1－O→Z2的坐标．
[提示] O→Z1＝(a，b)，O→Z2＝(c，d)， O→Z1＋O→Z2＝(a＋c，b＋d)， O→Z1－O→Z2＝(a－c，b－d)．
向量O→Z1＋O→Z2，O→Z1－O→Z2对应的复数分别是什么？ [提示] 向量O→Z1＋O→Z2对应的复数是 a＋c＋(b＋d)i，也就是 z1＋z2，向量O→Z1 －O→Z2对应的复数是 a－c＋(b－d)i，也就是 z1－z2.
4．已知 z 是复数，|z|＝3 且 z＋3i 是纯虚数，则 z＝____________.
解析 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i 是纯虚数，∴a＝0， b＋3≠0.又∵|z|＝3，
∴b＝3，∴z＝3i. 答案 3i
02
课堂案 题型探究
题型一 复数的加、减运算 [例 1] 计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋ 2i)＋(1＋ 2i)； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解法二 设 O 为坐标原点，
z1，z2，z1＋z2 对应的点分别为 A，B，C．
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴△OAB 是边长为 1 的正三角形， ∴四边形 OACB 是一个内角为 60°，边长为 1 的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较 长的对角线 OC 的长， ∴|z1＋z2|＝|OC|＝ |OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos 120°＝ 3.
◎结论形成
1．复数加、减法的几何意义
如图，设在复平面内复数 z1，z2 对应的向量分别为O→Z1，O→Z2，以 OZ1，OZ2 为邻边作平行四边形，则与 z1＋z2 对应的向量是____O→_Z____，与 z1－z2 对应的向量 是___Z_→2_Z_1 ___.
2．复平面内的两点
Z1(x1
，
y1)
，
Z2(x2
，
y2)
之
间
的
距
离
|Z1Z2|
＝
|
→ Z1Z2
|
＝
_____x_2－__x_1_2_＋___y_2－__y_1_2_____.
[基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个虚数的和或差可能是实数．( ) (2)若复数 z1，z2 满足 z1－z2＞0，则 z1＞z2.( ) (3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚 部．( ) (4)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形．( )
[触类旁通] 3．(一题多解)已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. 解析 解法一 设 z1＝a＋bi， z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，① (a－c)2＋(b－d)2＝1.② 由①②得 2ac＋2bd＝1. ∴|z1＋z2|＝ a＋c2＋b＋d2＝ a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.
第七章 复数 7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
学业标准
素养目标
1．结合加减运算法则了解复数代数形式 1．通过学习复数的加法和减法运算，培
的加、减运算法则．(重点)
养学生数学运算素养．
2．结合向量的加减运算明确复数代数形 2．通过学习复数加法和减法运算所满足
式的加、减运算的几何意义．(难点) 的运算律，培养学生数学抽象素养.
[素养聚焦] 借助复数的综合运算，把数学运算等核心素养体现在解题过程中． [规律方法]
与复数模有关的几个常见结论 在复平面内，z1，z2 对应的点为 A，B，z1＋z2 对应的点为 C，O 为坐标原点． (1)四边形 OACB 为平行四边形． (2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为矩形． (3)若|z1|＝|z2|，则四边形 OACB 为菱形． (4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为正方形．
2．复数加法的运算律
对于任意的 z1，z2，z3∈C 有 (1)交换律：___z1_＋__z_2_＝__z2_＋__z_1_____. (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝_____z_1＋__(_z_2＋__z_3_)_____．
导学 2 复数加法和减法的几何意义 如图O→Z1，O→Z2 分别与复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di 对应．