第四节陪集与拉格朗日定理

例
设<Z,+>是整数加群,令
例 设<Z,+>是整数加群,令Z = {3z | z∈Z} 3Z =则{33zZ| z是∈ZZ} 的正规子群. Z 关于 3Z 的商群
则3Z是Z的正规子群. ZZ关/3于Z3=Z的{[商0]群, [1], [2]}
Z/3Z其=中{[0], [1][,i[]2=]} {3z+i | z∈Z}，i = 0, 1, 2
对称性. 任取a,b∈G，则
<a,b>∈R ab1∈H (ab1) 1∈H ba1∈H <b,a>∈R 传递性. 任取a,b,c∈G，则
<a,b>∈R∧<b,c>∈R ab1∈H∧bc1∈H ac1∈H <a,c>∈R 下面证明：a∈G，[a]R = Ha. 任取b∈G， b∈[a]R <a,b>∈R ab1∈H Ha=Hb b∈Ha
2．拉格朗日定理的应用实例 命题：如果群G只含1阶和2阶元，则G是Abel群.
证 设a为G中任意元素，有a1 = a. 任取x,y∈G，则 xy = (xy)1 = y1x1 = yx，
因此G是Abel群.
例 证明阶小于6的群都是Abel群.
证 1阶群是平凡的，显然是阿贝尔群. 2,3和5都是素数，由推论2它们都是单元素生成的群. 都是
例题：设G为模12加群, 求<3> 在G中所有的左陪集.
解：<3> = {0, 3, 6, 9}, <3>的不同左陪集有3个，即 0+<3> = <3>, 1+<3> = 4+<3> = 7+<3> = 10+<3> = {1, 4, 7, 10} , 2+<3> = 5+<3> = 8+<3> = 11+<3> = {2, 5, 8, 11}.
Abel群. 设G是4阶群. 若G中含有4阶元，比如说a，则G=<a>. 由上述分析可知G是Abel群. 若G中不含4阶元，G中只含1阶和2阶元. 由命题可知G也是Abel群.
本节内容及要求
• 熟悉陪集的定义和性质 • 熟悉拉格朗日定理及其推论，学习使用该
定理解决简单的问题
第五节 正规子群与商群
2．正规子群的实例
例 设A={1, 2, 3}，f1, f2, …, f6是A上的双射函数. 其中
f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}, f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}, f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>},
f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>} f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}
一、同态映射的定义
1. 定义11.11 设G1,G2是群，：G1→G2，若a,b∈G1都有 (ab)= (a)(b)
则称是群G1到G2的同态映射，简称同态.
a
bcΒιβλιοθήκη acbc G1G2
f(a)=f(b) f(c) f(a)f(c)=f(b)f(c)
2. 特殊同态的分类：满同态、单同态、同构
一、正规子群的定义与实例
1．正规子群的定义 2．正规子群的实例
二、正规子群的判别法
1．正规子群的判定定理 2．正规子群的判别实例
三、商群
1. 商群定义及其实例 2. 商群的求解
第五节 正规子群与商群
一、正规子群的定义与实例 1．正规子群的定义 定义11.10 设H是群G的子群. 如果a∈G都有Ha=aH，则称H 是G的正规子群，记作H⊴G. 任何群G都有正规子群，因为G的两个平凡子群，即G和{e}， 都是G的正规子群. 如果G是Abel群，G的所有子群都是正规子群.
推论 设H是群G的子群,则 1）a,b∈G，Ha = Hb 或 Ha∩Hb =
（2）∪{Ha | a∈G} = G
定理11.11 设H是群G的子群，则 a∈G，H ≈ Ha
类似地，也可以定义H的左陪集，即 aH = {ah | h∈H}，a∈G
关于左陪集有下述性质： （1）eH = H （2）a∈G，a∈aH （3）a,b∈G，a∈bH b1a∈H aH=bH （4）若在G上定义二元关系R， a,b∈G，<a,b>∈R b1a∈H 则R是G上的等价关系，且[a]R = aH. （5）a∈G，H ≈ aH
三、商群 1. 商群定义及其实例
商群定义：设G是群，N是G的正规子群，令G/N是N在G中的 全体右陪集（或左陪集）构成的集合，即
G/N = {Ng | g∈G} 在G/N上定义二元运算如下：对于任意的 Na, Nb∈G/N，
Na Nb=Nab 可以证明G/N关于运算构成一个群，称为G的商群.
其中 [i] = {3z+且i | Zz∈/3ZZ}，中i的= 0运, 1算, 2如下表所示.
且Z/3Z中的运算如下表所示.
[0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1]
2.商群的求解
例题．设<<Z41>8,= {>0为, 4模, 81, 81加2, 群16,，2,求6,商10群, 1Z4}18./<4>, <3>/<9>. 解： <4> = <{30>, 4=, {80,,132,,61, 69,, 21,2,61, 51}0, 14}. <3> = {0, 3,<69,>9=, 1{20,, 19}5} <9> = {0, 9}Z18/<4> = {<4>, 1+<4>}, Z18/<4> = {其<中4>,1+1<+4<>4>=}{,1, 5, 9, 13, 17, 3, 7, 11, 15}， 其中1+<4>运=算{表1,为5, 9, 13, 17, 3, 7, 11, 15}，
例 设A={1,2,3}，f1, f2, …, f6是A上的双射函数. 其中 f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}， f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}， f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>} f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}， f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}
Hf4={f1f4, f2f4}={f4, f6}
Hf5={f1f5, f2f5}={f5, f3}， Hf6={f1f6, f2f6}={f6, f4}
Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6.
2．陪集的基本性质 定理11.8 设H是群G的子群，则
1）He = H （2）a∈G有a∈Ha.
定义11.12 设：G1→G2是群G1到G2的同态. （1）若 ：G1→G2是满射，则称为满同态，
令G={f1, f2, …, f6}，则G关于函数的复合运算构成群.
G的全体子群是：
H1 = {f1}, H2 = {f1, f2}, H3 = {f1, f3}， H4 = {f1, f4}, H5 = {f1, f5, f6}, H6 = G H1, H5和H6是G的正规子群，而H2, H3和H4不是正规子群.
分析：求群的所有陪集的方法，以右陪集为例加以说明.
对于有限群G，子群H的不同的右陪集数为 |G| / |H|. 第一个右陪集就是H自身. 任选元素aGH，求Ha, 作为第二个右陪集. 任选元素bG(HHa), 做第三个陪集Hb. 任选元素cG(HHaHb), 做第四个右陪集，…. 依次做下去，由于G是有限群，经过有限步就可以得到G的 全体右陪集.
二、拉格朗日定理及其应用 1．拉格朗日定理及其推论
定理11.12 （Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，|G|=n, |H|=m, 则
m|n
证 设R是G中的一个等价关系，所以由定理11.10知，R必将G划 分成不同的等价类[a1]R,[a2]R, …,[ak ]R,使得
G = Ha1∪Ha2∪…∪Har |G| = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har|
<9> 3+<9> 6+<9>
<9> <9> 3+<9> 6+<9>
3+<9> 3+<9> 6+<9> <9>
6+<9> 6+<9> <9> 3+<9>
说明：说求明解：求商解群商群的的方方法法：： 商群G/ N = 商{ 群NGg/ |Ng= {NgG| g}. G }.
先计算子群 N
先计算子群N求所有陪集的集合 G/N, 对于有限群，|G/N| = |G| / |N|. 求所有陪集的若集商群合为G有/限N群, ，对给于出运有算表限；群若商，群|为G无/N限|群=，|给G出| /运|算N表|. 若商群为有限达群式 ，给出运算表；若商群为无限群，给出运 算表达式
n∈N，令f(n) = gng1，则f：N gNg1.
f(n1)=f(n2) gn1g1=gn2g1 n1=n2，即f是单射. gng1∈gNg1，n∈N，f(n) = gng1 ，f是满射. 从而N ≈ gNg1. 根据已知条件，必有gNg1 = N. 所以N⊴G.
运算表为
<4> 1+<4> <4> <4> 1+<4> 1+<4> 1+<4> <4>
<3>/<9> =<{3<>/<99>>,=3{<+9<>,93>+<,96>,+6+<<99>>}} 其中 3+<9>其中= {3+3<,9>12= }{3,, 612+},<6+9<>9>== {{66, 1,51}.5}. 运算表为 运算表为
令G={f1, f2, … , f6}，则G关于函数的复合运算构成群.
考虑G的子群H={f1, f2}. 做出H的全体右陪集如下：
Hf1={f1f1, f2f1}={f1, f2}=H， Hf2={f1f2, f2f2}={f2, f1}=H
Hf3={f1f3, f2f3}={f3, f5}
本节内容及要求
• 正规子群的判别定理和方法 • 商群的定义和实例 • 会判别和证明子群的正规性 • 了解商群的概念
第六节 群的同态与同构
一、同态映射的定义
二、典型同态映射的实例 三、同态映射的性质
1．同态映射保持元素的对应性 2．同态映射保持子群的对应性 3．有关同态核的性质 4．同态基本定理
第六节 群的同态与同构
定理11.9 设H是群G的子群，则a,b∈G有 a∈Hb ab1∈H Ha=Hb
定理11.10 设H是群G的子群，在G上定义二元关系R： a,b∈G,
<a,b>∈R ab1∈H
则R是G上的等价关系，且[a]R = Ha.
证 先证明R为G上的等价关系.
自反性. 任取a∈G，aa1 = e∈H <a,a>∈R
由定理11.11知，Hai≈H ，所以|Hai| = |H|＝m，i = 1,2,…,k, 得 n＝|G| = |H|·k = m·k
从而 m|n
推论1 设G是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且有an = e.
证 任取a∈G，<a>是G的子群，<a>的阶是n的因子. <a>是由a生成的子群，若|a| = r，则
第四节 陪集与拉格朗日定理
一、陪集及其性质 1．陪集定义及实例 2．陪集的基本性质 二、拉格朗日定理及其应用 1．拉格朗日定理及其推论 2．拉格朗日定理的应用实例
第四节 陪集与拉格朗日定理
一、陪集及其性质 1．陪集定义及实例 定义11.9 设H是G的子群，a∈G.令
Ha={ha | h∈H} 称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.
<a> = {a0=e,a1,a2,…,ar1} 即<a>的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子. 从而an = e. 推论2 对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G = <a>. 证 设|G| = p，p是素数. 由p≥2知G中必存在非单位元. 任取a∈G，a ≠ e，则<a>是G的子群. 根据拉格朗日定理，<a>的阶是p的因子，即<a>的阶是p或1. 显然<a>的阶不是1，这就推出G = <a>
二、正规子群的判别法 1．正规子群的判定定理 定理11.13 设N是群G的子群，N⊴G g∈G,n∈N有 gng1∈N.
定理11.14 设N是群G的子群， N⊴G g∈G有 gNg1=N
2．正规子群的判别实例
例 设N G，若G的其他子群都不与N等势，则N⊴G.
证 任取g∈G，易证gNg1是G的子群， 下面证N ≈ gNg1.