八年级初二数学下学期勾股定理单元测试提优卷

一、选择题
1．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S ；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6S ，其中
116S =，245S =，511S =，614S =，则43S S +=（ ）．
A ．86
B ．61
C ．54
D ．48
2．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90D ∠=，8AD =，6BC =，分别以点A ，C 为圆心，大于
1
2
AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）
A ．2
B ．6
C ．210
D ．8
3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为（ ）
A ．1cm
B ．1.5cm
C ．2cm
D ．3cm
5．如图是一块长、宽、高分别为6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A ．
cm
B ．
cm
C ．
cm
D ．9cm
6．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若S 1+S 2+S 3=15，则S 2的值是( )
A ．3
B ．
154
C ．5
D ．
152
7．下列说法不能得到直角三角形的（ ） A ．三个角度之比为 1：2：3 的三角形 B ．三个边长之比为 3：4：5 的三角形 C ．三个边长之比为 8：16：17 的三角形
D ．三个角度之比为 1：1：2 的三角形
8．如图，BD 为ABCD 的对角线，45,DBC DE BC ︒
∠=⊥于点E ，BF ⊥DC 于点F ，
DE 、BF 相交于点H ，直线BF 交线段AD 的延长线于点G ，下列结论：①1
2
CE BE =
；
②A BHE ∠=∠；③AB=BH;④BHD BDG ∠=∠;⑤222BH BG AG +=；其中正确的结论有（ ）
A ．①②③
B ．②③⑤
C ．①⑤
D ．③④ 9．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A ．1、2、3
B ．2、3、4
C ．1、2、3
D ．4、5、6
10．下列条件中，不能．．判定ABC 为直角三角形的是（ ） A ．::5:12:13a b c = B ．A B C ∠+∠=∠
C ．::2:3:5A B C ∠∠∠=
D ．6a =，12b =，10c =
二、填空题
11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S 1+S 2+S 3=10，则S2的值是_________．
12．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，2BC =，以AB 为边向外作等腰直角三角形ABD ，则CD 的长可以是__________．
13．如图是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．如果AB ＝13，EF ＝7，那么AH 等于_____．
14．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BCA ＝30°，点D 在BC 上，点E 在△ABC 外，且AD ＝AE ＝CE ，AD ⊥AE ，则
AB
BD
的值为____________．
15．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号) ①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°
16．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC ，则AC 边上的高的长度是_____________．
17．四边形ABCD 中AB ＝8，BC ＝6，∠B ＝90°，AD ＝CD ＝52，四边形ABCD 的面积是_______．
18．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知25AB = ，24AC = 其中阴影部分面积是_____________平方单位．
19．如图，直线4
23
y x =
+与x 轴、y 轴分别交于点B 和点A ，点C 是线段OA 上的一点，若将ABC ∆沿BC 折叠，点A 恰好落在x 轴上的'A 处，则点C 的坐标为______.
20．已知：如图，等腰Rt OAB ∆的直角边OA 的长为1，以AB 边上的高1OA 为直角边，按逆时针方向作等腰11Rt OA B ∆，11A B 与OB 相交于点2A ，若再以2OA 为直角边按逆时针方向作等腰22Rt OA B ∆，22A B 与1OB 相交于点3A ，按此作法进行下去，得到33OA B ∆，
44OA B ∆，…，则66OA B ∆的周长是______.
三、解答题
21．如图，,90,8,6,,ABC B AB cm BC cm P Q ︒
∆∠===是边上的两点，点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 沿B C A →→运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒． （1）出发2秒后，求线段PQ 的长；
（2）求点Q 在BC 上运动时，出发几秒后，PQB 是等腰三角形； （3）点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．
22．如图，在△ABC 中，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm ，∠B ＝60°，有一动点M 自A 向B 以1
cm/s 的速度运动，动点N 自B 向C 以2 cm/s 的速度运动，若M ，N 同时分别从A ，B 出发．
(1)经过多少秒，△BMN 为等边三角形； (2)经过多少秒，△BMN 为直角三角形．
23．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，其中AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ． （1）如图①，连接BE 、CD ，求证：BE ＝CD ；
（2）如图②，连接BE 、CD ，若∠BAC ＝∠DAE ＝60°，CD ⊥AE ，AD ＝3，CD ＝4，求BD 的长；
（3）如图③，若∠BAC ＝∠DAE ＝90°，且C 点恰好落在DE 上，试探究CD 2、CE 2和BC 2之间的数量关系，并加以说明．
24．阅读与理解：
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？
分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点
C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明AC
D AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．
感悟与应用：
（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断
AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，
12DC BC ==，
①求证：180B D ∠+∠=︒； ②求AB 的长．
25．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.
小明为解决上面的问题作了如下思考：
作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且
CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.
（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：
如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.
26．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题
问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个
小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC ，其顶点A ，B ，C 都在格点上，同时构造长方形CDEF ，使它的顶点都在格点上，且它的边EF 经过点A ，ED 经过点B ．同学们借助此图求出了△ABC 的面积．
（1）在图（1）中，△ABC 的三边长分别是AB ＝ ，BC ＝ ，AC ＝ ．△ABC 的面积是 ．
（2）已知△PMN 中，PM ＝17，MN ＝25，NP ＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN ，并直接写出△RMN 的面积 ．
27．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线
AB 于点H ．
（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．
28．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在
ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .
（1）求点A 的坐标；
（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；
（3）直接写出ADG ∆的周长.
29．已知n 组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…
（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；
（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．
30．如图1，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝AE ，AD 与BE 相交于点F ．
（1）求证：∠ABE ＝∠CAD ；
（2）如图2，以AD 为边向左作等边△ADG ，连接BG ． ⅰ）试判断四边形AGBE 的形状，并说明理由；
ⅱ）若设BD ＝1，DC ＝k （0＜k ＜1），求四边形AGBE 与△ABC 的周长比（用含k 的代数式表示）．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
设1S ，2S ，3S 对应的边长为1L ，2L ，3L ，根据题意，通过等边三角形和勾股定理的性
质，得2
3L ，从而计算得到3S ；设4S ，5S ，6
S 对应的边长为4L ，5L ，6L ，通过圆形面积和勾股定理性质，得2
4L ，从而计算得到4S ，即可得到答案． 【详解】
分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S 则1S ，2S ，3S 对应的边长设为1L ，2L ，3L 根据题意得：2
1111133162S L L =
==
2
2245S L =
= ∴2
1L =
，2
2L =∵2
2
2
132L L L +=
∴222
32129L L L =-=
∴2
332929S =
== 以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6 S 则4S ，5S ，6
S 对应的边长设为4L ，5L ，6L 根据题意得：2
255511228L S L ππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭
2
266614228
L S L ππ
⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭
∴2
58
11L π
=⨯
，2
68
14L π
=⨯
∵2
2
2
564L L L += ∴()2
2
2
4568
8
111425L L L π
π
=+=⨯+=⨯
∴2448
S 25258
8L π
π
π
=
=
⨯
⨯=
∴43292554S S +=+= 故选：C ． 【点睛】
本题考查了勾股定理、等边三角形、圆形面积的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、等边三角形面积计算的性质，从而完成求解．
2．A
解析：A 【分析】
连接FC ，根据基本作图，可得OE 垂直平分AC ，由垂直平分线的性质得出AF =FC ．再根据ASA 证明△FOA ≌△BOC ，那么AF =BC =3，等量代换得到FC =AF =3，利用线段的和差关系求出FD =AD -AF =1．然后在直角△FDC 中利用勾股定理求出CD 的长． 【详解】
解：如图，连接FC ，
∵点O 是AC 的中点，由作法可知，OE 垂直平分AC ，
∴AF =FC ．
∵AD ∥BC ，
∴∠FAO =∠BCO ．
在△FOA 与△BOC 中，
FAO BCO OA OC
AOF COB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ， ∴△FOA ≌△BOC （ASA ），
∴AF =BC =6，
∴FC =AF =6，FD =AD -AF =8-6=2．
在△FDC 中，∵∠D =90°，
∴CD 2+DF 2=FC 2，
∴CD 2+22=62，
∴CD =42
故选：A ．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF 与DF 是解题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知2()a b + =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。

【详解】 22a b +，又大正方形的面积为13，
即2213a b +=，而小正方形的面积表达式为2213a b +=，而小正方形的面积表达式为 2222()2()()213215a b a b a b -=+-+=⨯-=
故本题正确答案为C ．
【点睛】
本题主要考查直角三角形，用到勾股定理的证明，正确计算是解题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
根据折叠的性质可得AD=A'D，AE=A'E，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC，则可求得答案．
【详解】
解：因为等边三角形ABC的边长为1cm，所以AB=BC=AC=1cm，
因为△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD=A'D，AE=A'E，
所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC=1+1+1=3（cm）．
故选：D．
【点睛】
此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
本题中蚂蚁要跑的路径有三种情况，知道当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短．蚂蚁爬的是一个长方形的对角线．展开成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．
【详解】
解：如图1，当爬的长方形的长是(4+6)=10，宽是3时，需要爬行的路径的长
==cm；
如图2，当爬的长方形的长是(3+6)=9，宽是4时，需要爬行的路径的长
==cm；
如图3，爬的长方形的长是(3+4)=7时，宽是6时，需要爬行的路径的长==cm.
所以要爬行的最短路径的长
cm.
故选C.
【点睛】 本题考查平面展开路径问题，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线.
6．C
解析：C
【解析】
将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，
∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=15， ∴得出S 1=8y+x ，S 2=4y+x ，S 3=x ，
∴S 1+S 2+S 3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，
所以S 2=x+4y=5，
故答案为5．
点睛：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，用x ，y 表示出S 1，S 2，S 3，再利用S 1+S 2+S 3=15求解是解决问题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
三角形内角和180°，根据比例判断A 、D 选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B 、C 选项中边长是否符合直角三角形的关系.
【详解】
A 中，三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形； D 中，三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；
B 中，三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x 、4x 、5x ，满足：()()()222
345x x x +=，是直角三角形；
C 中，三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x 、16x 、17x ，()()()22281617x x x +≠，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形
故选：C
【点睛】
本题考查直角三角形的判定，常见方法有2种；
（1）有一个角是直角的三角形；
（2）三边长满足勾股定理逆定理. 8．B
解析：B
【分析】
根据直角三角形的意义和性质可以得到解答．
【详解】
解：由题意，90BHE HBE C HBE A C ∠+∠=∠+∠=︒∠=∠，
∴A BHE C ∠=∠=∠，②正确；
∵∠DBC=45°，DE ⊥BC ，∴∠EDB=∠DBC=45°，∴BE=DE
∴Rt BEH Rt DEC ≅，∴BH=CD=AB ，③正确；
∵AB CD BF CD ⊥，，∴AB ⊥CD ，
∴222AB BG AG +=即 222BH BG AG +=，⑤正确，
∵没有依据支持①④成立，∴②③⑤正确
故选B ．
【点睛】
本题考查直角三角形的意义和性质，灵活应用有关知识求解是解题关键．
9．A
解析：A
【分析】
求出两小边的平方和、最长边的平方,看看是否相等即可.
【详解】
A 、12+）2=2
∴以1,故本选项正确;
B 、
22+32≠42 ∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误; C 、
12+22≠32 ∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;
D 、 42+52≠62 ∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;
故选A..
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理应用，掌握勾股定理逆定理的内容就解答本题的关键.
10．D
解析：D
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90︒即可．
【详解】
解：A 、22251213+=，ABC ∆∴是直角三角形，故能判定ABC ∆是直角三角形； B 、A B C ∠+∠=∠，90C ∴∠=︒，故能判定ABC ∆是直角三角形；
C 、::2:3:5A B C ∠∠∠=，518090235C ∴∠=
⨯︒=︒++，故能判定ABC ∆是直角三角形；
D 、22261012+≠，ABC ∆∴不是直角三角形，故不能判定ABC ∆是直角三角形；
故选：D ．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
二、填空题
11．
103
． 【解析】 试题解析：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， ∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=10， ∴得出S 1=8y+x ，S 2=4y+x ，S 3=x ，
∴S 1+S 2+S 3=3x+12y=10，故3x+12y=10， x+4y=103
， 所以S 2=x+4y=
103． 考点：勾股定理的证明．
12．【分析】
在ABC 中计算AB ，情况一：作AE CE ⊥于E ，计算AE ，DE ，CE ，可得CD ；情况二：作BE CE ⊥于E ，计算BE ，CE ，DE ，可得CD ；情况三：作DE CE ''⊥，计算,,DF DE CE ''，可得CD ．
【详解】
∵90ACB ︒∠=，4,2AC BC ==，
∴AB =
情况一：当AD AB ==AE CE ⊥于E
∴ 1122BC AC AB AE ⋅=⋅，即AE =，5
DE =
∴CE =
∴CD ==
情况二：当25BD AB ==时，作BE CE ⊥于E ，
∴1122BC AC AB BE ⋅=⋅，即455BE =，1455
DE = ∴22255CE BC BE =
-= ∴22210CD CE DE =+=
情况三：当AD BD =时，作DE CE ''⊥，作BE CE ⊥于E
∴1122
BC AC AB BE ⋅=⋅， ∴55BE =
355
CE ∴= ∵ABD △为等腰直角三角形
∴152
BF DF AB ===∴95DE DF E F DF BE ''=+=+= 25355CE EE CE BF CE ''=-=-==
∴2232CD CE E D ''=+=
故答案为：1021332【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的计算等，熟知以上知识是解题的关键． 13．【分析】
根据面积的差得出a+b 的值，再利用a-b=7，解得a ，b 的值代入即可．
【详解】
∵AB ＝13，EF ＝7，
∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，
∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE 为a ，DE 为b ，即141202ab ⨯
=， ∴2ab ＝120，a 2+b 2＝169，
∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝169+120＝289，
∴a +b ＝17，
∵a ﹣b ＝7，
解得：a ＝12，b ＝5，
∴AE ＝12，DE ＝5，
∴AH ＝12﹣7＝5．
故答案为：5．
【点睛】
此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab 的值． 1462+【解析】
【分析】
过A 点作BC 的垂线，E 点作AC 的垂线，构造全等三角形，利用对应角相等计算得出∠DAM=15°，在AM 上截取AG=DG ，则∠DGM=30°，设DM=a,通过勾股定理可得到DG=AG=2a ，332)a ，31)a ，231)a ,代入计算即可.
【详解】
过A点作AM⊥BC于M点，过E点EN⊥AC于N点.∵∠BCA＝30°，AE=EC
∴AM=1
2
AC，AN=
1
2
AC
∴AM=AN 又∵AD=AE
∴R t∆ADM≅ R t∆AEN(HL)
∴∠DAM=∠EAN
又∵∠MAC=60°，AD⊥AE
∴∠DAM=∠EAN=15°
在AM上截取AG=DG，则∠DGM=30°
设DM=a,则 DG=AG=2a，
根据勾股定理得：GM=3a,
∵∠ABC＝45°
∴AM=BM=(32)a
+
∴BD=(31)a
+，AB=2(32)a
+,
∴
()
()
62262
2
31
a
AB
BD a
++
==
+
故答案为：
62
2
+
【点睛】
本题主要考查等于三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15°角转化为30°角，本题有较大难度.
15．①②③
【解析】
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
60
ABC
∴∠=，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，
60
PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC
∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，
∴△BPQ 是等边三角形，①正确.
∴PQ =BP =4，
2222224325,525PQ QC PC +=+===，
222PQ QC PC ∴+=，
90PQC ∴∠=，即△PQC 是直角三角形，②正确.
∵△BPQ 是等边三角形，
60PBQ BQP ∴∠=∠=，
∵△BQC ≌△BPA ，
∴∠APB =∠B QC ，
6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，③正确.
36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠，
90PQC PQ QC ∠=≠，，
45QPC ∴∠≠，
即135APC ∠≠，④错误.
故答案为①②③.
16．355 【详解】 四边形DEFA 是正方形，面积是4； △ABF，△ACD 的面积相等，且都是 ×1×2=1． △BCE 的面积是：12×1×1=12
． 则△ABC 的面积是：4﹣1﹣1﹣
12=32． 在直角△ADC 中根据勾股定理得到：AC=222+1=5．
设AC 边上的高线长是x ．则
12AC•x=5x=32， 解得：x=355
．
355
.
17．49
【解析】
连接AC ，在Rt △ABC 中，∵AB =8，BC =6，∠B =90°，∴AC =22AB BC + =10． 在△ADC 中，∵AD =CD =52，∴AD 2+CD 2=（52）2+（52）2=100．
∵AC 2=102=100，∴AD 2+CD 2=AC 2，∴∠ADC =90°，∴S 四边形
ABCD =S △ABC +S △ACD =12AB •BC +12AD •DC =12×8×6+12
×52×52=24+25=49．
点睛：本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，不规则几何图形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
18．49
【分析】
先计算出BC 的长，再由勾股定理求出阴影部分的面积即可.
【详解】
∵∠ACB=90︒，25AB = ，24AC =,
∴22222252449BC AB AC =-=-=,
∴阴影部分的面积=249BC =，
故答案为：49.
【点睛】
此题考查勾股定理，能利用根据直角三角形计算得到所需的边长，题中根据勾股定理的图形得到阴影部分面积等于BC 的平方是解题的关键.
19．（0，
34）. 【分析】
由423
y x =+求出点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长度，由此得到53122
OA '=
-=，设点C 的坐标为（0，m ），利用勾股定理解得m 的值即可得到答案. 【详解】 在423
y x =+中，当x=0时，得y=2，∴A （0,2） 当y=0时，得4203x +=，∴32x =-，∴B(32-,0),
在Rt △AOB 中，∠AOB=90︒，OA=2，OB=
32,
∴52AB =
==, ∴53122
OA '=-=, 设点C 的坐标为（0，m ）
由翻折得ABC A BC '≌，
∴2A C AC m '==-，
在Rt A OC '中， 222A C OC A O ''=+,
∴222(2)1m m -=+，解得m=
34， ∴点C 的坐标为（0，
34）. 故答案为：（0，
34
）. 【点睛】
此题考查勾股定理，翻折的性质，题中由翻折得ABC A BC '≌是解题的关键，得到OC 与A’C 的数量关系，利用勾股定理求出点C 的坐标.
20．28
+ 【分析】
依次求出在Rt △OAB 中，OA 1Rt △OA 1B 1中，OA 2OA 1）2；依此
类推：在Rt △OA 5B 5中，OA 6＝（
2）6，由此可求出△OA 6B 6的周长． 【详解】
∵等腰Rt OAB ∆的直角边OA 的长为1，
∴在Rt △OA 1B 1中OA 1＝
2OA ＝2，
在22Rt OA B ∆中OA 2＝
2OA 1＝（2）2， …
故在Rt △OA 6B 6中OA 6＝2OA 5＝（2
）6= OB 6
66A B OB 6
故△OA 6B 6+2×（2）6+2×18=28+．
【点睛】 本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
三、解答题
21．（1）出发2秒后，线段PQ 的长为2）当点Q 在边BC 上运动时，出发
83
秒后，△PQB 是等腰三角形；（3）当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ 为等腰三角形.
【分析】
（1）由题意可以求出出发2秒后，BQ 和PB 的长度，再由勾股定理可以求得PQ 的长度； （2）设所求时间为t ，则可由题意得到关于t 的方程，解方程可以得到解答； （3）点Q 在边CA 上运动时，ΔBCQ 为等腰三角形有三种情况存在，对每种情况进行讨论可以得到解答．
【详解】
(1)BQ=2×2=4cm ，BP=AB−AP=8−2×1=6cm ，
∵∠B=90°，
由勾股定理得：===
∴出发2秒后，线段PQ 的长为
(2)BQ=2t ，BP=8−t
由题意得：2t=8−t
解得：t=83
∴当点Q 在边BC 上运动时，出发
83秒后，△PQB 是等腰三角形；
(3) ∵∠ABC=90°，BC=6，AB=8，∴=10.
①当CQ=BQ 时(图1)，则∠C=∠CBQ ，
∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ ，∴BQ=AQ ，∴CQ=AQ=5，
∴BC+CQ=11，∴t=11÷2=5.5秒；
②当CQ=BC时(如图2)，则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒
③当BC=BQ时(如图3)，过B点作BE⊥AC于点E，
∴BE=
6824
105 AB BC
AC
⋅⨯
==，
所以CE=22
BC BE
-=18
5
=3.6，
故CQ=2CE=7.2，
所以BC+CQ=13.2，
∴t=13.2÷2=6.6秒.
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.
【点睛】
本题考查三角形的动点问题，利用分类讨论思想和方程方法、综合力学的运动知识和三角形边角的有关知识求解是解题关键．
22．(1) 出发10s后，△BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形．【分析】
（1）设时间为x，表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；
（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=1
2
BM列方程求解可
得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=1
2
BN列方程求解可得．
【详解】
解(1)设经过x秒，△BMN为等边三角形，则AM＝x，BN＝2x，
∴BM＝AB－AM＝30－x，
根据题意得30－x＝2x，
解得x＝10，
答：经过10秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过x秒，△BMN是直角三角形，
①当∠BNM＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BMN＝30°，
∴BN＝1
2
BM，即2x＝
1
2
(30－x)，
解得x＝6；
②当∠BMN＝90°时，∵∠B＝60°，
∴∠BNM＝30°，
∴BM＝1
2
BN，即30－x＝
1
2
×2x，
解得x＝15，
答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.
23．（1）证明见解析；（2）5；（3）CD2+CE2＝BC2，证明见解析．【分析】
（1）先判断出∠BAE=∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，即可得出结论．
（2）先求出∠CDA=1
2
∠ADE=30°，进而求出∠BED=90°，最后用勾股定理即可得出结论．
（3）方法1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出CD2+CE2=2（AP2+CP2），再判断出CD2+CE2=2AC2．即可得出结论．
【详解】
解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE．
（2）如图2，连结BE，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，∵CD⊥AE，
∴∠CDA＝1
2
∠ADE＝
1
2
×60°＝30°，
∵由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，
∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，
∴BD5．
（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2＝BC2，理由如下：解法一：
如图3，连结BE．
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠D＝∠AED＝45°，
∵由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，
∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，
在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．
∴BC2＝CD2+CE2．
解法二：
如图4，过点A作AP⊥DE于点P．
∵△ADE为等腰直角三角形，AP⊥DE，
∴AP＝EP＝DP．
∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP•AP+AP2，
CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP•CP+CP2，
∴CD2+CE2＝2AP2+2CP2＝2（AP2+CP2），
∵在Rt△APC中，由勾股定理可知：AC2＝AP2+CP2，
∴CD2+CE2＝2AC2．
∵△ABC为等腰直角三角形，由勾股定理可知：
∴AB2+AC2＝BC2，即2AC2＝BC2，
∴CD2+CE2＝BC2．
【点睛】
本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠BAE=∠CAD，解（2）（3）的关键是判断出BE⊥DE，是一道中等难度的中考常考题．
24．（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14
【分析】
（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，进而得出答案；
（2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得；
②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．
【详解】
解：（1）BC−AC＝AD．
理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ECD，
又CD＝CD，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠CED ＝2∠CBA ，
∵∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE ，
∴∠CBA ＝∠BDE ，
∴DE ＝BE ，
∴AD ＝BE ，
∵BE ＝BC−CE ＝BC−AC ，
∴BC−AC ＝AD ．
（2）①如图（b ），在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，
∵AC 平分∠DAB ，
∴∠DAC ＝∠MAC ，
∵AC ＝AC ，
∴△ADC ≌△AMC （SAS ），
∴∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ＝12，
∵CD ＝BC ＝12，
∴CM ＝CB ，
∴∠B ＝∠CMB ，
∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，
∴∠B ＋∠D ＝180°；
②设BN ＝a ，
过点C 作CN ⊥AB 于点N ，
∵CB ＝CM ＝12，
∴BN ＝MN ＝a ，
在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，
在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝
， 则2222
1216(8)a a --+＝
， 解得：a ＝3，
即BN ＝MN ＝3，
则AB ＝8+3+3=14，
∴AB=14．
【点睛】
本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．
25．（1）证明见解析；（2）21.
【分析】
（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；
（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.
【详解】
解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，
∴A′D=AD ，C A′=CA ，∠CA′D=∠A=60°，
∵CD 平分∠ACB ，
∴A′点落在CB 上
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠A=30°，
∴∠A′DB=∠CA′D -∠B=30°，即∠A′DB=∠B ，
∴A′D=A′B ，
∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.
（2）如图，作△ADC 关于AC 的对称图形△AD′C ．
∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，
∵AC 平分∠BAD ，
∴D′点落在AB 上，
∴D ′C=BC ，
过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则D′E=BE ，
设D′E=BE=x ，
在Rt △CEB 中，CE 2=CB 2-BE 2=102-x 2，
在Rt △CEA 中，CE 2=AC 2-AE 2=172-（9+x ）2．
∴102-x 2=172-（9+x ）2，
解得：x=6，
∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．
【点睛】
本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B 不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.
26．（1）13，17，10，112；（2）图见解析；7． 【分析】
（1）利用勾股定理求出AB ，BC ，AC ，理由分割法求出△ABC 的面积．
（2）模仿（1）中方法，画出△PMN ，利用分割法求解即可．
【详解】
解：（1）如图1中，AB ＝22AE BE +＝2232+＝13，BC ＝22BD CD +＝2214+＝17，AC ＝22AF CF +＝2213+＝10，
S △ABC ＝S 矩形DEFC ﹣S △AEB ﹣S △AFC ﹣S △BDC ＝12﹣3﹣
32﹣2＝112， 故答案为13，17，10，
112
． （2）△PMN 如图所示．
S △PMN ＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，
故答案为7．
【点睛】
此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
27．（1）CF FH =，证明见解析；（2）依然成立，点E 与点C 之间的距离为333．理由见解析.
（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形．证出CEF FGH ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.
（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理可以求DE 、CE 的长，即可求出CE 的长，即可求得点E 与点C 之间的距离．
【详解】
（1）CF FH =
证明：延长DF 交AB 于点G
∵在ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，
∴45A B ∠=∠=︒
∵DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，
∴90EDF ∠=︒，ADG 与DEF 是等腰直角三角形．
∴45AGD DEF ∠=∠=︒，AD DG =，90DCF CFD ∠+∠=︒，
∴135CEF FGH ∠=∠=︒，
∵点D 是AC 的中点，∴132
CD AD AC ===，∴CD DG = ∴CE FG =
∵FH CF ⊥于点F ，∴90CFG ∠=︒，∴90GFH CFD ∠+∠=︒
∴DCF GFH ∠=∠
∴CEF FGH ≌
∴CF FH =；
（2）依然成立
理由：设AH ，DF 交于点G ，
由题意可得出：DF=DE ，
∴∠DFE=∠DEF=45°，
∵AC=BC ，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵DF ∥BC ，
∴∠CBA=∠FGB=45°，
∴∠FGH=∠CEF=45°，
∵点D为AC的中点,DF∥BC，
∴DG=1
2
BC,DC=
1
2
AC，
∴DG=DC，
∴EC=GF，
∵∠DFC=∠FCB，
∴∠GFH=∠FCE，
在△FCE和△HFG中
CEF FGH
EC GF
ECF GFH
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△FCE≌△HFG(ASA)，
∴HF=FC.
由（1）可知ABC
△和CFH
△均为等腰直角三角形
当他们面积相等时，6
CF AC
==．
∴2233
DE DF CF CD
==-=
∴333
CE DE DC
=-=-
∴点E与点C之间的距离为333
-．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，学会利用全等和等腰三角形的性质，借助勾股定理解决问题.
28．（1）(0，3)；（2）DF OE
=；（3）93233
+
【分析】
（1）由等边三角形的性质得出6
OB=，12
AB AC BC
===，由勾股定理得出2263
OA AB OB
=-=A的坐标；
（2）由等边三角形的性质得出AD AE
=，AF AO
=，60
FAO DAE
∠=∠=︒，证出FAD OAE
∠=∠，由SAS证明FAD OAE
∆≅∆，即可得出DF OE
=；
（3）证出90
AGO
∠=︒，求出9
AG=，由全等三角形的性质得出AOE AFD
∠=∠，证
出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒
，由等边三角形的性质得12DG OF =
=即可得出答案．
【详解】
解：（1）ABC ∆是等边三角形，点0()6,B -，点(6,0)C ，
6OB ∴=，12AB AC BC ===
，OA === ∴点A 的坐标为(0
，；
（2）DF OE =；理由如下：
ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，
AD AE ∴=，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，
FAD OAE ∴∠=∠，
在FAD ∆和OAE ∆中，AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()FAD OAE SAS ∴∆≅∆，
DF OE ∴=；
（3）60AOF ∠=︒，
30FOB ∴∠=︒，
60ABO ∠=︒，
90AGO ∴∠=︒，
AFO ∆
是等边三角形，AO =
·sin 609AG OA ∴=︒==， FAD OAE ∆≅∆，
AOE AFD ∴∠=∠，
30DOE AOD AOE ∠=︒=∠+∠，
30AOD AFD ∴∠+∠=︒，
FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠，
60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+︒+∠=︒+︒=︒，
AG OF ⊥，AOF ∆为等边三角形，
G ∴为斜边OF 的中点，
1122
DG OF ∴==⨯= ADG ∴∆
的周长9AG AD DG =++=+
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形
的性质，证明三角形全等是解题的关键．
29．（1）不存在，见解析；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数，见解析.
【分析】
（1）根据题意可知，这n 组正整数符合规律m 2-1，2m ，m 2+1（m≥2，且m 为整数）．分三种情况：m 2-1=71；2m=71；m 2+1=71；进行讨论即可求解；
（2）由于（m 2-1） 2+（2m ） 2=m 4+2m 2+1=（m 2+1） 2，根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】
（1）不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．
理由如下：
根据题意可知，这n 组正整数符合规律21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）． 若2171m -=，则272m =，此时m 不符合题意；
若271m =，则35.5,m =，此时m 不符合题意；
若2171m +=，则270m =，此时m 不符合题意，
所以不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．
（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．
理由如下：
对于一组数：21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）．
因为2224222(1)(2)21(1)m m m m m -+=++=+
所以若一个三角形三边长分别为21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数），则该三角形为直角三角形．
因为当2m ≥，且m 为整数时，2m 表示任意一个大于2的偶数，21m -，21m +均为正整数，
所以以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．
【点睛】
考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．注意分类思想的应用
30．（1）详见解析；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，证明详见解析；ⅱ）
233
k k ++. 【解析】
【分析】
（1）只要证明△BAE ≌△ACD ；
（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，只要证明BG=AE ，BG ∥AE 即可；
ⅱ）求出四边形BGAE 的周长，△ABC 的周长即可；
【详解】。