江苏省扬州市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)模拟(培优卷)完整试卷

江苏省扬州市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）模拟(培优卷)完整试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)
第(1)题
古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第日布施了子安贝（其中，），数列的前项和为.若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（）
A．15B．20C．24D．27
第(2)题
已知集合，则（）
A．B．
C．D．
第(3)题
2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案，将采取“”模式，即语文､数学､英语必考，考生首先在物理､历史中选择1门，然后在政治､地理､化学､生物中选择2门.则某同学选到物理､地理两门功课的概率为（）
A
．B．C．D．
第(4)题
已知正三棱柱的所有棱长都相等，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则下列结论
中正确的个数是（）
①；②；③；④平面．
A．1B．2C．3D．4
第(5)题
已知P为双曲线上的动点，O为坐标原点，以OP为直径的圆与双曲线C的两条渐近线交于，两点（A，B异于点O），若恒成立，则该双曲线离心率的取值范围为（）
A．B．C．D．
第(6)题
斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于，两点，为双曲线的右焦点且
，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
第(7)题
无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，，则的最大值为（）
A．5B．6C．7D．8
第(8)题
已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值为（）
A
．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)
第(1)题
图，在边长为4的正方形中，为的中点，为的中点．若分别沿，把这个正方形折成一个四面体，使、
两点重合，重合后的点记为，则在四面体中，下列结论正确的是（）
A．
B．到直线的距离为
C．三棱锥外接球的半径为
D．直线与所成角的余弦值为
第(2)题
某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法正确的是（）
23456
19253844
A．看不清的数据的值为34
B．具有正相关关系，相关系数
C．第三个样本点对应的残差
D．据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗约为50吨
第(3)题
在某节体育课上，体育老师对某班学生进行了立定跳远测试，其中有一组学生的成绩数据如下（单位：m）：
1.74，1.87，1.81，1.81，1.88，1.99，那么（）
A．这组学生成绩的平均数是1.85
B．这组学生成绩的中位数是1.84
C．这组学生成绩的众数是1.87
D．这组学生成绩的方差是0.036 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)
第(1)题
已知函数，若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围为_________．
第(2)题
下图是求函数值的程序框图，当输入值为2时，则输出值为______．
第(3)题
设函数，则不等式的解集为_____.
四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)
第(1)题
按照水果市场的需要等因素，水果种植户把某种成熟后的水果按其直径的大小分为不同等级.某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售.为了了解这种水果的质量等级情况，现随机抽取了100个这种水果，统计得到如下直径分布表（单
位：mm）：
d
等级三级品二级品一级品特级品特级品
频数1m29n7
用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品共抽取6个，其中一级品2个.
（1）估计这批水果中特级品的比例；
（2）已知样本中这批水果不按等级混装的话20个约1斤，该种植户有20000斤这种水果待售，商家提出两种收购方案：
方案A：以6.5元/斤收购；
方案B：以级别分装收购，每袋20个，特级品8元/袋，一级品5元/袋，二级品4元/袋，三级品3元/袋.
用样本的频率分布估计总体分布，问哪个方案种植户的收益更高？并说明理由.
第(2)题
已知椭圆的短半轴长为1，离心率为.
（1）求的方程；
（2）设的上､下顶点分别为､，动点(横坐标不为0)在直线上，直线交于点，记直线，的斜率分别为
，，求的值.
第(3)题
某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下：
门店1门店2门店3门店4门店5门店6门店7门店8
线下
9 6.5199.514.516.520.512.5
日营业额
线上
11.591217192321.515
日营业额
若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．（各门店的营业额之间互不影响）
（1）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率；
（2）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X的分布列和数学期望；
（3）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为和，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为和．
试判断和的大小，以及和的大小．（结论不要求证明）
第(4)题
函数 .
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若函数有两个极值点，且，证明： .
第(5)题
已知函数．
(1)求的最小值；
(2)证明：方程有三个不等实根．。