2019届高考数学复习解答题双规范案例之——数列问题.doc

2019届高考数学复习解答题双规范案例之一一数
列问题
1.已知在正项等比数列｛&｝中，a】与分别是方程X2-5X+4=0的两根.
(1)求数列｛aj的通项公式.
'1'
⑵若数列｛bn｝是递增数列，其前n项和为Sn,且b n=log2a n+l,求数列I'J的前n项和T n.
【解析】(1)设等比数列｛a』的公比为q,
S = l，ph = £依题意得〔％ = 4,或伊3 = L
'% = 1,
若［a3 =4?因为a n>0,则q=2,
所以a n=1 X2n-1=2n-1;
= 4, 1
若伊3 = 1，因为a n>0,则q=2, 件-1
所以a n=4X\2/ =23-n.
⑵因为数列｛bj是递增数列，b n= Iog2a n+1,
所以由⑴知a=2nH,
b n= I og2a n+1 = I og22n-n-1 +1=n,
所以｛以｝是以1为首项，1为公差的等差数列,
n(S + 如)n(l + n) 所以Sn= 2 - 2
所以s n=n(n + 1)=2 \n n + 1
/I 1 1 1 1 1 \
---- + ----- + ... + ----------
所以T n=2\l 2 2 3 n n + 1)
=2\ n + 1)= n + 1
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2.已知数列｛aj的前n项和为S”且ai=l, S n+-2S n=l (nEN*).
(1)求数列｛缶｝的通项公式.
n
⑵若数列｛bj满足b n=n+a n,求数列｛bj的前n项和T n.
【解析】(1)由S伸—2Sr1 (n£N*)得
Sn-2Sn.Fl (nN2,n£N*),
两式相减得a n+i=2a n (n^2, n£N*).
又S2~2S I-1 , ai-1,
所以ai+a2_2ai=1,得a2=2,
则a2=2a b所以数列｛aj是首项为1,公比为2的等比数列，所以a=2n-1.
n
⑵由⑴知b n=n+2n',
2《n
所以T=+2+•••+n+1+2+22+...+2" 1
n(n + 1) 2 3 71
2
Q Q 2 - 1
+ 1+乙+乙+・・・ +乙,
2兰丁
令A n=1+2+22+...+2n' %),
1 1
2
3 n-1 n
则2A=2+22+23+...+2n-1+2n@,
1 I 1 1 n
①-②得2A n=1+2+22+-..+2n- 1-2n
1 - 二2. lv 1 n
2) 2吃2- 2n n + 2
n n -1 所以A n=4- 2 n(n + 1)
.所以Tn= 2 +4- n + 2 2n-1。