高三数学集合的基本概念与运算

第1讲 集合的基本概念与运算
一、高考要求
①理解子集、补集、交集、并集的概念；
②了解空集和全集的意义；
③了解属于、包含、相等关系的意义；
④掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．
二、两点解读
重点：①集合的三大性质； ②集合的表示方法 ；③集合的子、交、并、补等运算．
难点：①新问题情境下集合概念的理解；②点集和数集的区别；③空集的考查．
三、课前训练
1．设集合A=｛1,2｝，B=｛1,2,3｝，C=｛2,3,4｝则=C B A ）（ （ D ） ( A ) ｛1,2,3｝ ( B ) ｛1,2,4｝ ( C ) }4,3,2{ ( D ) }4,3,2,1{
2．设集合}01{<<-=m m P ，044{2<-+∈=mx mx R m Q ，对任意的实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是 （ A ）
(A)P Q (B) Q P (C)Q P = (D)P
Q =∅
3．已知集合}{2x y y A ==，}2{x y y B ==，则=B A {y |y >0}
4．设集合A={5，)3(log 2+a },集合B={a ，b }．若B A ={2}，则B A = {1,2,5}
四、典型例题
例1.设集合},412{Z k k x x M ∈+==，},214{Z k k x x N ∈+==, 则 （ A ） (A)M N ( B )N M (C)M =N (D) M
N =∅ 解：在M 集合中：214k x +=，即124+=k x ，Z k ∈；在N 集合中：,k x k Z ∈+2=4
，即24+=k x ；由此可见：集合M 中元素的4倍是奇数，集合N 中的元素的4倍是整数，故选A ．
例2． 设集合},,1),{(22R y R x y x y x M ∈∈=+=，,1|),{(2
=-=y x y x N },R y R x ∈∈，则集合N M 中元素的个数为 （ B ）
(A ) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
解：选B ．如右图，在同一坐标系画出两个
点集所表示的图象．由图象可知，两曲线有
两个交点，即N M 有两个元素．
例3．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合},|{Q b P a b a Q P ∈∈+=+，若},5,2,0{=P }6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是___8____
解：因为Q b P a ∈∈,，所以},5,2,0{∈a }6,2,1{∈b ．当0=a 时，b 分别取1，2，6可得b a +分别为1，2，6；当2=a 时，b 分别取1，2，6可得b a +分别为3，4，8；当5=a 时，b 分别取1，2，6可得b a +分别为6，7，11．综上：}11,8,7,6,4,3,2,1{∈+b a ，故Q P +中有8个元素 例4. 已知集合}06{2=-+=x x x M ，}01{=-=mx x N ，若M N ⊆，则实数m 的取值构成的集合为_____________________
解：方程062=-+x x 两根分别为：3,2-，因此}3,2{-=M ．由M N ⊆得Φ=N 或
{2}或{－3}，所以，实数m 的取值构成的集合为}2
1,0,31{- 例5. 已知R a ∈，二次函数a x ax x f 22)(2--=．设不等式0)(>x f 的解集为A ，又知集合}31{<<=x x B ，若A B ≠∅，求a 的取值范围．
解：易知0≠a ，由0)(=x f 得：21121a a x +-=，22121a a x ++=，由此可得：0,021><x x ．
（1）当0>a 时，}{}{21x x x x x x A ><= ，Φ≠B A 的充要条件是32<x ，即31212<++a
a ，解得76>a ；
（2）当0<a 时，}{21x x x x A <<=，Φ≠B A 的充要条件是12>x ，即11212>++a
a ，解得2-<a ． 综上所述，使Φ≠B A 成立的a 的取值范围为),7
6()2,(+∞--∞ 例6．设集合A 中不含有元素-1，0，1，且满足条件：若A a ∈，则有
A a
a ∈-+11，请考虑以下问题：
（Ⅰ）已知A ∈2，求出A 中其它所有元素；
（Ⅱ）自己设计一个实数属于A ，再求出A 中其它所有元素； （Ⅲ）根据已知条件和前面（Ⅰ）（Ⅱ）你能悟出什么道理来，并证明你的猜想．
解：（Ⅰ）由A ∈2，则A ∈-=-+32121A ∈-=+-⇒213131A ∈=+-
⇒312
1121
1 A ∈=-+⇒2311311，所以集合}31,21,3,2{--=A ； （Ⅱ）任取一常数，如3A ∈，则同理（Ⅰ）可得：}2
1,31,2,3{--=A ； （Ⅲ）猜想任意的A a a a ∈≠±≠,0,1，则集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧+---+=11,1,11,
a a a a a a A ． 下面作简要证明：A a ∈，=+-⇒∈-=-+--++⇒∈-+a
a A a a a a a A a a 1111111111111A a a ∈+-11 A a a a a a ∈=+--+-+
⇒11111
1 这四个元素互不相等，否则01=±=a a 或。