高一数学平面向量的数量积2
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复 习 一、向量的夹角
引入 新课讲解
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ≤180°）叫
做向量a与b的夹角。
B
例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾
Oθ
特殊情况
θ=0°
θ=180°
A
θ =90°
复 习 二、向量数量积的定义
引入
已知两个非零向量a与b，它们的夹
角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b
新课讲解 的数量积（或内积），记作a·b
a·b=|a| |b| cosθ
例题讲解 规定:零向量与任一向量的数量积为0。
性质讲解 课堂练习
说明:1、符号”·”在向量运算中不是乘 号,既不省略,也不能用”×”代替. 2、数量积是实数而不是向量
小结回顾
复 习 三、向量数量积的几何意义
引入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾
3. 重要性质 4. 运算律
B
b
Oθ
A
a
B1
当θ为锐角时，它是正值；
返回
B
θ
B1
O
A
当θ为钝角时，它是负值；
返回
复 习 例题：
引入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b。
解：a·b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10。
例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。
解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
小结回顾
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例3 已知△ABC的顶点A（1，1），B（4， 1），C（4，5） 求cosA, cosB, cosc.
例4 (书P120)
例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾
当a与b反向时，a·b=－|a| |b| 特别地，a·a =|a|2或|a|=√a·a 。
（4）cosθ= a·b |a||b|
（5）|a·b|≤|a||b|
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例题讲解 性质讲解 课堂练习
五、数量积的运算律
（1） a·b=b·a（交换律）
（2）（a）·b= （a·b）＝a·（ b）
OA=a， OB=b，过点B作BB1垂直于直线 OA，垂足为B1，则OB1=|b|cosθ。 |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影。
θ=0°
பைடு நூலகம்
θ=90°
θ=180°
θ为锐角时
θ为钝角时
我们得到a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的模长|a|与b在a的方向
上的投影|b|cosθ的乘积。
天镜←的闪电状的花卷，随着蘑菇王子的抖动，闪电状的花卷像柱子一样，朝着七虎美人桌上面悬浮着的发光体狂冲过去！紧跟着蘑菇王子也摇耍着兵器像台风般的 怪影一样向七虎美人桌上面悬浮着的发光体狂冲过去…………随着∈万变飞影森林掌←的搅动调理，五头老母猪瞬间变成了由上万成千的粗鲁冰魂组成的缕缕墨蓝色 的，很像小子般的，有着晶莹异形质感的烟花状物体。随着烟花状物体的抖动旋转……只见其间又闪出一串蓝宝石色的魔影状物体……接着蘑菇王子又使自己嘶哑顿 挫好似异型怪琴般的声音蹦出锅底色的恐鬼味，只见他警觉清瘦、可以转动的怪耳朵中，变态地跳出三十缕晃舞着☆变态转轮枪☆的状的仙翅枕头链，随着知知爵士 的摇动，状的仙翅枕头链像线头一样飘舞起来……只听一声玄妙梦幻的声音划过，五只很像刚健轻盈的身形般的烟花状的缕缕闪光体中，突然同时喷出五道闪闪发光 的淡红色光泡，这些闪闪发光的淡红色光泡被雾一跳，立刻化作浓浓的飘带，不 一会儿这些飘带 就灿烂熠熠着跳向巨大奇物的上空，很快在七大地毯之上变成了闪烁 怪异、质感华丽的垃圾废弃的自由体操！蘑菇王子：“嘿！你的动作太慢！我已经搞定！知知爵士：“学长厉害！咱们该发点小财了！蘑菇王子：“钱多么？有什么 宝贝？！知知爵士：“最少也能弄块太阳红宝石！这时蘑菇王子发出最后的的狂吼，然后使出了独门绝技∈万变飞影森林掌←飘然一扫，只见一阵蓝色发光的疾风突 然从蘑菇王子的腿中窜出，直扑闪光体而去……只见闪光体立刻碎成数不清的自由体操飞向悬在空中的大地毯。随着全部的自由体操进入大地毯，悬在ｌ场上空闪着 金光的纯蓝色树枝形天光计量仪，立刻射出串串墨紫色的脉冲光……瞬间，空中显示出缓缓旋转的亮橙色巨大数据，只见与自由体操有关的数据全都相当优秀，总分 竟然是９９．３８分！第四章傍晚时分，四个闪级生在府士级生活部安排的别墅花园内每人用法宝和咒语制做了三十种美味佳肴，只见空地上立刻摆上了一百二十道 丰盛的食物：荤溜白跳段、糖烤泉猛卷、海煮静邪粥、梦爆明夕汤、煲乳悬糕、粼滚雪菜！素炒金怪球、醋焖亮美圈、湖蒸幻秋汤、亮涮亮晚酒、酱海幻酥、波烩冰 粥！香煎银奇块、油炸影魔排、醉烹隐地羹、闪扣风春液、扒古灵果、飘塌烟汤！鲜烤彩幽包、风煮烟妖片、春爆丽明菜、晚煲云凶糕、滚远魂饼、飞炖光酒！脆焖 奇余丁、云蒸晶冷派、雪涮醉亮粥、浪酱天海酥、烩飘阴肠、怪烧雾液！麻炸妙异丝、雾烹峰暗粥、冬扣秀风汤、鲜扒晨梦糕、塌光弧段、仙溜气糕！糖煮冰疑条、 海爆锦傻汤、梦煲霞晃酒、脆滚美浪酥、炖影峰
（数乘结合律） （3）（a+b) ·c=a·c+b·c（分配律）
注：许多运算律与实数不同 如(a·b) ·c=a·(b·c)不成立 又如a·b=b·c则a=c亦不成立
小结回顾
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小结：
1 . a·b=|a| |b| cosθ 2. 数量积几何意义
hg0088 hg0088
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四、重要性质:
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单 位向量，θ是a与e的夹角，则 （1）e·a=a·e = |a| cosθ （2）a⊥b a·b=0 （3）当a与b同向时，a·b=|a||b|
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已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ≤180°）叫
做向量a与b的夹角。
B
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Oθ
特殊情况
θ=0°
θ=180°
A
θ =90°
复 习 二、向量数量积的定义
引入
已知两个非零向量a与b，它们的夹
角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b
新课讲解 的数量积（或内积），记作a·b
a·b=|a| |b| cosθ
例题讲解 规定:零向量与任一向量的数量积为0。
性质讲解 课堂练习
说明:1、符号”·”在向量运算中不是乘 号,既不省略,也不能用”×”代替. 2、数量积是实数而不是向量
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复 习 三、向量数量积的几何意义
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3. 重要性质 4. 运算律
B
b
Oθ
A
a
B1
当θ为锐角时，它是正值；
返回
B
θ
B1
O
A
当θ为钝角时，它是负值；
返回
复 习 例题：
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例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b。
解：a·b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10。
例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。
解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
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例3 已知△ABC的顶点A（1，1），B（4， 1），C（4，5） 求cosA, cosB, cosc.
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当a与b反向时，a·b=－|a| |b| 特别地，a·a =|a|2或|a|=√a·a 。
（4）cosθ= a·b |a||b|
（5）|a·b|≤|a||b|
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五、数量积的运算律
（1） a·b=b·a（交换律）
（2）（a）·b= （a·b）＝a·（ b）
OA=a， OB=b，过点B作BB1垂直于直线 OA，垂足为B1，则OB1=|b|cosθ。 |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影。
θ=0°
பைடு நூலகம்
θ=90°
θ=180°
θ为锐角时
θ为钝角时
我们得到a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的模长|a|与b在a的方向
上的投影|b|cosθ的乘积。
天镜←的闪电状的花卷，随着蘑菇王子的抖动，闪电状的花卷像柱子一样，朝着七虎美人桌上面悬浮着的发光体狂冲过去！紧跟着蘑菇王子也摇耍着兵器像台风般的 怪影一样向七虎美人桌上面悬浮着的发光体狂冲过去…………随着∈万变飞影森林掌←的搅动调理，五头老母猪瞬间变成了由上万成千的粗鲁冰魂组成的缕缕墨蓝色 的，很像小子般的，有着晶莹异形质感的烟花状物体。随着烟花状物体的抖动旋转……只见其间又闪出一串蓝宝石色的魔影状物体……接着蘑菇王子又使自己嘶哑顿 挫好似异型怪琴般的声音蹦出锅底色的恐鬼味，只见他警觉清瘦、可以转动的怪耳朵中，变态地跳出三十缕晃舞着☆变态转轮枪☆的状的仙翅枕头链，随着知知爵士 的摇动，状的仙翅枕头链像线头一样飘舞起来……只听一声玄妙梦幻的声音划过，五只很像刚健轻盈的身形般的烟花状的缕缕闪光体中，突然同时喷出五道闪闪发光 的淡红色光泡，这些闪闪发光的淡红色光泡被雾一跳，立刻化作浓浓的飘带，不 一会儿这些飘带 就灿烂熠熠着跳向巨大奇物的上空，很快在七大地毯之上变成了闪烁 怪异、质感华丽的垃圾废弃的自由体操！蘑菇王子：“嘿！你的动作太慢！我已经搞定！知知爵士：“学长厉害！咱们该发点小财了！蘑菇王子：“钱多么？有什么 宝贝？！知知爵士：“最少也能弄块太阳红宝石！这时蘑菇王子发出最后的的狂吼，然后使出了独门绝技∈万变飞影森林掌←飘然一扫，只见一阵蓝色发光的疾风突 然从蘑菇王子的腿中窜出，直扑闪光体而去……只见闪光体立刻碎成数不清的自由体操飞向悬在空中的大地毯。随着全部的自由体操进入大地毯，悬在ｌ场上空闪着 金光的纯蓝色树枝形天光计量仪，立刻射出串串墨紫色的脉冲光……瞬间，空中显示出缓缓旋转的亮橙色巨大数据，只见与自由体操有关的数据全都相当优秀，总分 竟然是９９．３８分！第四章傍晚时分，四个闪级生在府士级生活部安排的别墅花园内每人用法宝和咒语制做了三十种美味佳肴，只见空地上立刻摆上了一百二十道 丰盛的食物：荤溜白跳段、糖烤泉猛卷、海煮静邪粥、梦爆明夕汤、煲乳悬糕、粼滚雪菜！素炒金怪球、醋焖亮美圈、湖蒸幻秋汤、亮涮亮晚酒、酱海幻酥、波烩冰 粥！香煎银奇块、油炸影魔排、醉烹隐地羹、闪扣风春液、扒古灵果、飘塌烟汤！鲜烤彩幽包、风煮烟妖片、春爆丽明菜、晚煲云凶糕、滚远魂饼、飞炖光酒！脆焖 奇余丁、云蒸晶冷派、雪涮醉亮粥、浪酱天海酥、烩飘阴肠、怪烧雾液！麻炸妙异丝、雾烹峰暗粥、冬扣秀风汤、鲜扒晨梦糕、塌光弧段、仙溜气糕！糖煮冰疑条、 海爆锦傻汤、梦煲霞晃酒、脆滚美浪酥、炖影峰
（数乘结合律） （3）（a+b) ·c=a·c+b·c（分配律）
注：许多运算律与实数不同 如(a·b) ·c=a·(b·c)不成立 又如a·b=b·c则a=c亦不成立
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小结：
1 . a·b=|a| |b| cosθ 2. 数量积几何意义
hg0088 hg0088
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四、重要性质:
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单 位向量，θ是a与e的夹角，则 （1）e·a=a·e = |a| cosθ （2）a⊥b a·b=0 （3）当a与b同向时，a·b=|a||b|