人教版九年级数学上册正多边形和圆 (2)
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24.3正多边形和圆
学习目标 1、了解正多边形和圆的有关概念
2、理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、 边长之间的关系,会计算. (重点)
自学指导 内容：阅读课本P105-106． 要求：思考以下问题．
1、什么叫做正多边形？矩形、菱形是正多边形吗？正多边形都 是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 2、正多边形的中心、半径、中心角、边心距的概念 ３、指出课本106页图24.3-4（右图）中心角是谁？半径、 边长、边心距之间满足什么数量关系？
1 2
R.
面积为
3 4
3R
学以致用
解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E，
∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45° 在Rt△OBE中为等腰直角三角形
BE2 OE2 OB2
2OE2 OB2
OE 2 OB2 2
边心距OE
2 OB 2
2R 2
A
D
O R·
B
EC
边长BC 2BE 2 2 RBiblioteka 2R 2FCOP
E
1 2
中心角
1 2
360
n
180
n
O
A
O· D
rR
半径R
中心角一半 边心距r
B PC
C
P
边长一半
1.连半径，得中心角； 2.作边心距，构造直角三角形.
R2
r2
a 2
2
.
例1：有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形, 求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).
F 抽象成
A
B
E
O
D
PC
自学效果检测
1.圆O是与等边内切△AB圆C的的圆中心心.,它是△ABC的 外接
2.OB叫等边△ABC的 半径 ,它是正 △ABC的 外接 圆的半径.
3.OD叫作等边△ABC的 边心距 它是等边△ABC的 内切 圆的 半径.
B
A
.O
D
C
自学效果检测
4.图中正六边形ABCDEF的中心角是 ∠AOB
４、完成课本P 106练习３
时间：6分钟后检测自学效果．
自学效果检测
1、什么叫做正多边形？矩形、菱形是正多边形吗？为什么？
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
不是，因为矩形不符合各边相等； 不是，因为菱形不符合各角相等；
各边相等 正多边形
缺一不可
各角相等
问题１ 正多边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数
为偶数的正多边形才是中心对称图形.
2、正多边形的中心、半径、中心角、边心距的概念
A F
D
E
B
R OH
r
G
C
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作 正多边形的中心.
外接圆的半径（中心到顶点的距离）叫作正多
边形的半径.
内切圆的半径（中心到一边的距离）叫作正 多边形的边心距.
360 正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于 n
它的度数是 60°
5.△OAB是什么三角形？正六
边形 ABCDEF的半径与边长
E
具有什么 数量关系?
F
D
.O
C
A
B
学以致用 完成课本P 106练习３
分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心 距和面积.
解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=R，BC=a
A
在Rt△OBD中 ∠OBD=30°,
3
60° 120 2 2 3 1 6 3 3 3
4
90 90 2 2 1 8 4
6
120 60 2 2
3 12 6 3
AC
半径R
O
O
60 边心距r
半径R 45 边心距r
M
AC
M
O
半径R 30 边心距r
AC
M
MON
360 n
A
A
D
E
M
O.
M
B
NCB
图①
O
NC
图②
A M
OD
N
B
C
图③
课堂小结
正多边形 的对称性
正多边形 的性质
正多边形的 有关概念
正多边形的 有关计算
中心 半径 边心距 中心角
添加辅助线的方法： 连半径，作边心距
当堂作业
1.课本P107第1题
正多边形 边数
内角 中心角 半径 边长 边心距 周 面 长积
S正方形ABCD AB BC
2R 2 2R2
拓广探索(练习册P70第６题）
如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON=__1_2_0__°_;图②中∠MON= 90 °;
图③中∠MON= 72 °;
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
O
边心距＝OD=
1 2
R.
BD=
a 2
BD2 OD2 OB2
半径R
R ·16O0R. 边心距r
( a )2 (1 R)2 R2
2
2
AC B
a2
2D M
C
解之得: a 3R
S 1 BC AD 1 a (R R ) 3 3R
2
2
24
即正三角形的边长为 3R 边心距为
学习目标 1、了解正多边形和圆的有关概念
2、理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、 边长之间的关系,会计算. (重点)
自学指导 内容：阅读课本P105-106． 要求：思考以下问题．
1、什么叫做正多边形？矩形、菱形是正多边形吗？正多边形都 是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 2、正多边形的中心、半径、中心角、边心距的概念 ３、指出课本106页图24.3-4（右图）中心角是谁？半径、 边长、边心距之间满足什么数量关系？
1 2
R.
面积为
3 4
3R
学以致用
解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E，
∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45° 在Rt△OBE中为等腰直角三角形
BE2 OE2 OB2
2OE2 OB2
OE 2 OB2 2
边心距OE
2 OB 2
2R 2
A
D
O R·
B
EC
边长BC 2BE 2 2 RBiblioteka 2R 2FCOP
E
1 2
中心角
1 2
360
n
180
n
O
A
O· D
rR
半径R
中心角一半 边心距r
B PC
C
P
边长一半
1.连半径，得中心角； 2.作边心距，构造直角三角形.
R2
r2
a 2
2
.
例1：有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形, 求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).
F 抽象成
A
B
E
O
D
PC
自学效果检测
1.圆O是与等边内切△AB圆C的的圆中心心.,它是△ABC的 外接
2.OB叫等边△ABC的 半径 ,它是正 △ABC的 外接 圆的半径.
3.OD叫作等边△ABC的 边心距 它是等边△ABC的 内切 圆的 半径.
B
A
.O
D
C
自学效果检测
4.图中正六边形ABCDEF的中心角是 ∠AOB
４、完成课本P 106练习３
时间：6分钟后检测自学效果．
自学效果检测
1、什么叫做正多边形？矩形、菱形是正多边形吗？为什么？
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
不是，因为矩形不符合各边相等； 不是，因为菱形不符合各角相等；
各边相等 正多边形
缺一不可
各角相等
问题１ 正多边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数
为偶数的正多边形才是中心对称图形.
2、正多边形的中心、半径、中心角、边心距的概念
A F
D
E
B
R OH
r
G
C
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作 正多边形的中心.
外接圆的半径（中心到顶点的距离）叫作正多
边形的半径.
内切圆的半径（中心到一边的距离）叫作正 多边形的边心距.
360 正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于 n
它的度数是 60°
5.△OAB是什么三角形？正六
边形 ABCDEF的半径与边长
E
具有什么 数量关系?
F
D
.O
C
A
B
学以致用 完成课本P 106练习３
分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心 距和面积.
解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=R，BC=a
A
在Rt△OBD中 ∠OBD=30°,
3
60° 120 2 2 3 1 6 3 3 3
4
90 90 2 2 1 8 4
6
120 60 2 2
3 12 6 3
AC
半径R
O
O
60 边心距r
半径R 45 边心距r
M
AC
M
O
半径R 30 边心距r
AC
M
MON
360 n
A
A
D
E
M
O.
M
B
NCB
图①
O
NC
图②
A M
OD
N
B
C
图③
课堂小结
正多边形 的对称性
正多边形 的性质
正多边形的 有关概念
正多边形的 有关计算
中心 半径 边心距 中心角
添加辅助线的方法： 连半径，作边心距
当堂作业
1.课本P107第1题
正多边形 边数
内角 中心角 半径 边长 边心距 周 面 长积
S正方形ABCD AB BC
2R 2 2R2
拓广探索(练习册P70第６题）
如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON=__1_2_0__°_;图②中∠MON= 90 °;
图③中∠MON= 72 °;
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
O
边心距＝OD=
1 2
R.
BD=
a 2
BD2 OD2 OB2
半径R
R ·16O0R. 边心距r
( a )2 (1 R)2 R2
2
2
AC B
a2
2D M
C
解之得: a 3R
S 1 BC AD 1 a (R R ) 3 3R
2
2
24
即正三角形的边长为 3R 边心距为