浦东新区学年度第一学期期末高三数学考试卷附解答

浦东新区2005学年度第一学期期末高三数学考试卷
一、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 1．=-)arccos(21 。

2．函数)1lg(2
x y -=的定义域为 。

3．不等式11<x 的解为 。

4．已知),
(,cos 2354
π
παα∈-=，则=2cos α 。

5．计算：100
11)
(i i
-+ 。

6．函数b x f x
+=2)(的反函数经过点（2，3），则b= 。

7．数列{a n }中，若a 1=1，a n-1a n =n （n ≥2），则a 4= 。

8．（理）在极坐标系中，O 是极点，),2(
85π
A ，),2(8
3πB 则△AOB 的形状为 。

（文）某工程由下列工序组成，则工程总时数为 天。

9．有4条线段，长度分别为3、5、7、8，从这4条线段中任取3条，则所取3条线段能 构成三角形的概率是 。

10．在Rt △ABC 中，4
π=∠B ，5
3cos =
A ，则边c 长为 。

11．方程x x 4
1
sin =
π的解的个数是 。

12．有穷数列{a n }，S n 为其前n 项和，定义n
S S S S n
n
T ++++=
Λ321为数列{a n }的“凯森和”，
如果有99项的数列a 1、a 2、a 3、…、a 99的“凯森和”为1000，则有100项的数列 1、a 1、a 2、a 3、a 4、…a 99的“凯森和”100T = 。

二、选择题（本大题共4题，每小题4，满分共16分） 13．“)()(C B C A
⋂⊇⊂”是“B A ⊇”的（ ） （A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件； （C ）充要条件；
（D ）既非充分又非必要条件。

14．复数z 1=2+i ，z 2=1-i ，则z 1?z 2在复平面内的对应点位于
（ ）
（A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限；
（D ）第四象限；
15．函数
)sin(ϕω+=x y 的部分图象如图，则ϕ、ω可以取的一组值是
（ ）
（A ）42,ππϕω==；
（B ）63,ππϕω==； （C ）44
,ππϕω==； （D ）4
54
,π
πϕω=
=
；
16．已知：命题p ：函数)2(log 2
5.0a x x y ++=的值域为R ； 命题q ：函数x
a y )25(--=是减函数；
若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围为 （ ）
（A ）a ≤1； （B ）a ＜2；
（C ）1＜a ＜2；
（D ）a ≤1或a ≥2 。

三、解答题（本大题共4小题，满分86分）
17．（本题满分12分）关于x 的方程)(01)2(2
R m mi x i x ∈=+++-有一实根为n ，设复数 )21()2(i n i m z
-+=，求m 、n 的值及复数z 的值。

解：
18．（本题满分12分） 已知集合}log ||log |{632
12
1
π
π<-=x x A ，)},0(,cos 3sin |{2
π∈+==x x x y y B ， 求B A ⋂
解：
19．（本题满分14分）
先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题： 已知R a a ∈21,，121=+a a ，求证2
12
22
1≥+a a ，
证明：构造函数2
221)()()(a x a x x f -+-=
因为对一切x ?R ，恒有)(x f ≥0，所以)(842
22
1a a +-=∆≤0, 从而得2
12
22
1≥
+a a ，
（1）若R a a a n ∈,,,21Λ，121=+++n a a a Λ，请写出上述结论的推广式； （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。

解：
20．（本题满分14分）
现有一批货物用轮船从上海洋山深水港运往青岛，已知该船航行的最大速度为35海 里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时运输成本由燃料费用和其余 费用组成。

轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为），其 余费用每小时960元。

（1）把全程运输y （元）表示为速度x （海里/小时）的函数； （2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 解：
21．（本题满分16分）
已知在数列}{n a 中，11=a ，122-=n n qa a ，d a a n n +=+212(q 、d ?R ,q ?0)。

（1）若q =2，d =-1，求3a 、4a ，并猜测2006a ；
（2）[理]若}{12-n a 是等比数列，且}{2n a 是等比数列，求q 、d 满足的条件； [文]q ?1，若}{12-n a 是等比数列，且}{2n a 是等比数列，求q 、d 满足的条件； （3）一个质点从原点出发，依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动，第n 次 运动的位移是n a ，质点到达点n P 。

设点n P 4的横坐标为n x 4，若d =0，若324lim =∞
→n
n x ，
求q 。

解：
22．（本题满分18分）
已知函数)()(1x f x f =，)()(1
12x f x f -=，⎩⎨⎧=-+为偶数。

为奇数；
n ,-f f n x f x f n n n 1)](x [),()(111
（1）若函数x x f =)(1，求函数)(3x f 、)(4x f 的解析式；
（2）[理]若函数],1[,)(log )(21a x x x f ∈=，函数)()(43x f x f y ⋅=的定义域是[1,2]，
求a 的值；
[文]若函数],1[,)(log )(21a x x x f ∈=，求函数)(4x f 的定义域； （3）设
)(x f 是定义在R 上的周期为4的奇函数，且函数)(x f 的图像关于直线a x =
对称。

当]1,0[∈x 时，x x f =)(，求正数a 的最小值及函数)(x f 在[-2,2]上
的解析式。

解：
浦东新区2005学年度第一学期期末高三数学考试卷解答
一、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 1．=-)arccos(21 2?/3 。

2．函数)1lg(2
x y -=的定义域为 (-1,1) 。

3．不等式11<x 的解为 x ＜0或x ＞1 。

4．已知),
(,cos 2354
π
παα∈-=，则=2cos α 10
10
- 。

5．计算：100
11)
(i i
-+ 1 。

6．函数b x f x
+=2)(的反函数经过点（2，3），则b= -6 。

7．数列{a n }中，若a 1=1，a n-1a n =n （n ≥2），则a 4= 8/3 。

8．（理）在极坐标系中，O 是极点，),2(
85π
A ，),2(8
3πB 则△AOB 的形状为 等腰直 角三角形 。

9．有4条，则所取3条线段能 构成三角形的概率是 3/4 。

10．在Rt △ABC 中，4
π=∠B ，5
3cos =
A ，则边c 长为
4
2 。

11．方程x x 4
1sin =
π的解的个数是 7 。

12．有穷数列{a n }，S n 为其前n 项和，定义n
S S S S n
n
T ++++=
Λ321为数列{a n }的“凯森和”，
如果有99项的数列a 1、a 2、a 3、…、a 99的“凯森和”为1000，则有100项的数列 1、a 1、a 2、a 3、a 4、…a 99的“凯森和”100T = 991 。

二、选择题（本大题共4题，每小题4，满分共16分） 13．“)()(C B C A ⋂⊇⊂”是“B A ⊇”的
（ B ）
（A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件； （C ）充要条件； （D ）既非充分又非必要条件。

14．复数z 1=2+i ，z 2=1-i ，则z 1?z 2在复平面内的对应点位于 （ D ）
（A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限； （D ）第四象限；
15．函数)sin(ϕω+=x y 的部分图象如图，则ϕ、ω可以取的一组值是
（ C ）
（A ）42,ππϕω==；
（B ）63,ππϕω==；
（C ）44
,ππϕω==； （D ）4
54
,π
πϕω=
=
；
16．已知：命题p ：函数)2(log 2
5.0a x x y ++=的值域为R ； 命题q ：函数x
a y )25(--=是减函数；
若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围为 （ C ） （A ）a ≤1； （B ）a ＜2； （C ）1＜a ＜2； （D ）a ≤1或a ≥2 。

三、解答题（本大题共4小题，满分86分）
17．（本题满分12分）关于x 的方程)(01)2(2R m mi x i x ∈=+++-有一实根为n ，设复数 )21()2(i n i m z -+=，求m 、n 的值及复数z 的值。

解：∵实数n 是方程)(01)2(2
R m mi x i x ∈=+++-的一个根，
∴)(01)2(2R m mi n i n ∈=+++-, (4?) 0)()1(2
=-+-i n m n ，∴n=1，m=1, (8?) 555|21||2||)21)(2(||)21)(2(|||=⋅=-+=-+=-+=i i i i ni i m z . (12?)
18．（本题满分12分） 已知集合}log ||log |{632
12
1
π
π<-=x x A ，)},0(,cos 3sin |{2
π∈+==x x x y y B ， 求B A ⋂ 解：由6
32
12
1
log ||log |π
π<-x ，得63||ππ>-x , (2?) 解得),(),(26+∞⋃-∞=ππA , (4?) )
sin(2cos 3sin 3π+=+=x x x y
, (6?) ∵0＜x ＜2π, ∴3π＜x+3π
＜65π, ∴B =(1,2] (10?), ∴B A ⋂=[2
6,
ππ]∩(1,2]=(1,
2
π
] (12?)
19．（本题满分14分）
先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题： 已知R a a ∈21,，121=+a a ，求证2
12
22
1≥+a a ，
证明：构造函数2
221)()()(a x a x x f -+-=
因为对一切x ?R ，恒有)(x f ≥0，所以)(842
22
1a a +-=∆≤0, 从而得2
12
22
1≥
+a a ，
（1）若R a a a n ∈,,,21Λ，121=+++n a a a Λ，请写出上述结论的推广式； （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。

解：（1）若R a a a n ∈,,,21Λ，121=+++n a a a Λ，
求证：n
n a a a 12
2
22
1≥
+++Λ (4?)
（2）证明：构造函数2
2
22
1)()()()(n a x a x a x x f -++-+-=Λ (6?)
2
2221212)(2n n a a a x a a a nx +++++++-=ΛΛ (9?)
2
222122n a a a x nx ++++-=Λ (11?)
因为对一切x ?R ，都有)(x f ≥0，所以△=)(442
2221n a a a n +++-Λ≤0, 从而证得：n
n a a a 1
2
2
22
1≥
+++Λ. (14?)
20．（本题满分14分）
现有一批货物用轮船从上海洋山深水港运往青岛，已知该船航行的最大速度为35海 里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时运输成本由燃料费用和其余 费用组成。

轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为），其 余费用每小时960元。

（1）把全程运输y （元）表示为速度x （海里/小时）的函数； （2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 解：设每小时燃料费用为m 元，则m=2
6.0x (0＜x ≤35) (2?) 由题意，全程所用的时间为x 500小时，所以
)(3009606.016005005002
x x x x x y +=⋅+⋅=，x ?(0,35] (4?)
故所求的函数为)(3001600x x y +=，x ?(0,35] (6?) （2）以下讨论函数)(3001600x x y +=，x ?(0,35]的单调性： 设0＜x 1＜x 2≤35, (7?)
)
1600(300)(300)(300)()(211600
21600121212121-⋅=+-+=--x x x x x f x f x x x x x x (10?) ∵0＜x 1＜x 2≤35，∴x 1-x 2＜0，x 1x 2＞0，x 1x 2＜1225? x 1x 2-1600＜0，
∴)()(21x f x f -＞0?)()(21x f x f > (12?)
∴函数)(3001600x x y +=，x ?(0,35]是减函数，故当轮船速度为35海里/小时时， 所需成本最小. (14?)
注：未经证明，直接说函数)(3001600x x y +=，x ?(0,35]是减函数而得出结论,扣2分. 21．（本题满分16分）
已知在数列}{n a 中，11=a ，122-=n n qa a ，d a a n n +=+212(q 、d ?R ,q ?0)。

（1）若q =2，d =-1，求3a 、4a ，并猜测2006a ；
（2）[理]若}{12-n a 是等比数列，且}{2n a 是等比数列，求q 、d 满足的条件； [文]q ?1，若}{12-n a 是等比数列，且}{2n a 是等比数列，求q 、d 满足的条件； （3）一个质点从原点出发，依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动，第n 次 运动的位移是n a ，质点到达点n P 。

设点n P 4的横坐标为n x 4，若d =0，若324lim =∞
→n
n x ，
求q 。

解：（1）∵22,11,2,1342321===-===a a a a a a ， (2?) ∴猜测: 22006=a . (4?)
（2）（理）由122-=n n qa a ，d a a n n +=+212 得d qa a n n +=-+1212，
当0=d
时，1212-+=n n qa a ，显然}{12-n a 是等比数列，
当0≠d 时，因为11=a ，只有112=-n a 时，}{12-n a 才是等比数列
∴d qa a n n +=-+1212?1=+d q ，即0,0≠=q d ，或1=+d q (6?) 由122-=n n qa a ，d a a n n +=+212 得qd qa a n n +=-222(n ≥2), 当1=q 时，d a a n n +=-222(n ≥2)，显然}{2n a 是等差数列，
当1≠q 时，q qa a ==12，只有q a n =2时，}{2n a 才是等差数列， 1)(222=+⇒+=+d q d a q a n n ，即1=q ，或1=+d q (8?) 综上，q 、d 满足的条件是1=+d q (10?)
（文）∵}{12-n a 是等比数列，d qa a n n +=-+1212，∴0,0≠=q d ，或1=+d q (6?) ∵}{2n a 是等差数列，)(222d a q a n n +=+，∴1=+d q (8?) ∴q 、d 满足的条件是1=+d q (10?)
（3）∵1212-+=n n qa a ，∴1
12--=n n q a (12?)
∴3
2
83141,1q q q x q a a x -+-=-=-=,…, ∴122
23
2
41---++-+-=n n n q q q q q x Λ. (14?)
∵3
2
114lim
==+∞
→q n n x ，∴21=q (16?) 22．（本题满分18分）
已知函数)()(1x f x f =，)()(1
12x f x f -=，⎩⎨⎧=-+为偶数。

为奇数；
n ,-f f n x f x f n
n n 1)](x [),()(111
（1）若函数x x f =)(1，求函数)(3x f 、)(4x f 的解析式；
（2）[理]若函数],1[,)(log )(21a x x x f ∈=，函数)()(43x f x f y ⋅=的定义域是[1,2]， 求a 的值；
[文]若函数],1[,)(log )(21a x x x f ∈=，求函数)(4x f 的定义域；
（3）设)(x f 是定义在R 上的周期为4的奇函数，且函数)(x f 的图像关于直线a x =
对称。

当]1,0[∈x 时，x x f =)(，求正数a 的最小值及函数)(x f 在[-2,2]上
的解析式。

解：（1）∵ ),0[,)(1+∞∈=
x x x f ， (1?) ∴ ),0[,)()(21
12+∞∈==-x x x f x f ； (2?)
),1[,1])1[()]1([)(2
1213+∞∈-=-=-=x x x f x f f x f ； (4?)
),0[,1)()(1
34+∞∈+==-x x x f x f . (6?)
（2）（理）∵ ],1[,log )(21a x x x f ∈=，∴]log ,0[,2)()(21
12a x x f x f x
∈==-, (7?) ]log 1,1[,1)2(log )]1([)(21
2213a x x x f f x f x +∈-==-=-, (8?)
]log ,0[,1)()(21
34a x x x f x f ∈+==-， (9?)
∴]log ,1[,1)()(22
43a x x x f x f y ∈-=⋅=. (11?) 由题设，得42log 2=⇒=a a . (12?)
（文）∵ ],1[,log )(21a x x x f ∈=，∴]log ,0[,2)()(21
12a x x f x f x
∈==-, (7?) ∴ ]log 1,1[,1)2(log )]1([)(21
2213a x x x f f x f x +∈-==-=-, (9?)
]log ,0[,1)()(21
34a x x x f x f ∈+==-, (11?)
∴ )(4x f 的定义域为]log ,0[2a . (12?)
（3）∵)(x f 是定义在R 上的奇函数，∴)()(x f x f -=- ①
∵函数)(x f 的图象关于直线a x =对称，∴)2()(x a f x f -= ② 在②式中以x -替换x ，得 )2()(x a f x f +=- ③ 由①式和③式，得 )()2(x f x a f -=+ ④
在④式中以a x 2+替换x ，得 )2()4(x a f x a f +-=+ ⑤ 由④式和⑤式，得 )()4(x f x a f =+ (14?)
∵)(x f 是定义在R 上的周期为4的奇函数，∴正数a 的最小值是1. (16?)
∴当x ?[0,1]时，x x f =)(，∴当x ?[-1,0]时，x -?[0,1]，
)()(x f x x f -=-=
-，即x x f --=)(.
∵函数)(x f 的图象关于直线1=x 对称，
∴当x ?(1,2]时，2-x ?[0,1)，x x f x f -=-=2)2()(
当x ?[-2,-1)当，x -?(1,2]，)(2)(x f x x f -=+=
-，即x x f +-=2)(.
∴⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎨⎧--∈+--∈--∈∈-=)1,2[,2)0,1[,]1,0[,]2,1(,2)(x x x x x x x x x f . (18?)。