人教课标版高中数学必修五《二元一次不等式(组)与平面区域(第2课时)》教案(1)-新版

3.3 二元一次不等式（组）与平面区域
（第2课时）
一、教学目标
1．核心素养
通过学习二元一次不等式（组）与平面区域，提升学生的数学抽象、数学建模和逻辑推理的能力． 2．学习目标
（1）能用平面区域表示二元一次不等式（组），并用它分析与解决实际问题； （2）能从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）模型． 3．学习重点
（1）能用平面区域表示二元一次不等式（组），并用它分析与解决实际问题； （2）从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）模型． 4．学习难点
能用平面区域表示二元一次不等式（组），并用它分析与解决实际问题． 二、教学设计 （一）课前设计 1．复习任务 任务1
复习：设直线l 方程为Ax ＋By ＋C ＝0(A ＞0)，则Ax ＋By ＋C ＞0与Ax ＋By ＋C ＜0分别表示什么样的平面区域？如何确定？ 2．复习自测
1．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________． 答案：(2
3，＋∞)
解析：【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】 2．约束条件⎩⎪⎨
⎪⎧
0≤x ≤1，
0≤y ≤1，
y －x ≤1
2表示的平面区域的面积为________．
答案：7
8
解析：【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】
如图，画出可行域，其面积S＝1－1
2×
1
2×
1
2＝
7
8.
（二）课堂设计
1．知识回顾
二元一次不等式0
Ax By C
++>或0
Ax By C
++<在平面直角坐标系中表示直线0
Ax By C
++=
的某一侧所有点组成的平面区域，直线0
Ax By C
++=叫做这两个区域的边界，具体是哪一侧区域的判断方法如下:
(1)“有等为实无等为虚”
画边界直线时，不含等号画虚线，含等号画实线．
(2) “以线定界取点定域”
作出直线Ax＋By＋C＝0，在直线的一侧任取一点P(x0，y0)．若Ax0＋By0＋C>0，则包含此点P 的半平面为不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C<0所表示的平面区域．
(3)“前提A正左小右大”
设直线l方程为Ax＋By＋C＝0(A＞0)，则
①Ax＋By＋C＞0表示l右侧平面区域．
②Ax＋By＋C＜0表示l左侧平面区域．
2．问题探究
问题探究一如何确定非线性的二元不等式组所表示的平面区域？
●活动一转化化归，变不熟悉为熟悉
例1 画出不等式|3x＋4y－1|<5所表示的平面区域．
解析：【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合转化化归】
不等式|3x＋4y－1|<5等价于
3460
3440
x y
x y
+-<
⎧
⎨
++>
⎩
,区域如图．
点拨：去掉绝对值的通法是分类讨论. ●活动二 熟练方法，变式迁移
例2 设平面点集()()()()(){}2
2
1,|0,,|111A x y y x y B x y x y x ⎧⎫⎛
⎫=--≥=
-+-≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，则A ∩B 所表
示的平面图形的面积为（ ）
3.
4A π 3.5B π 4.7C π .2
D π
答案：D
解析：【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】
平面点集A 表示的平面区域就是不等式组()010y x y x -≥⎧⎪⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩与()0
10y x y x -≤⎧⎪
⎨⎛⎫
-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩
表示的两块平面区域，而平面点集B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆及圆的内部，作出它们表示的平面区域如图所示
.
图中的阴影部分就是A ∩B 所表示的平面图形．由于圆和曲线1
y x
=
关于直线y ＝x 对称， 因此，阴影部分所表示的图形面积为圆面积的12，即为π
2
，故选D.
点拨：“以线定界 取点定域”这个方法可以推广应用于其它非二元一次不等式（组）所对应的平面区域的判定.
问题探究二 含参二元一次不等式（组）问题？重点、难点知识★▲ ●活动一 正向思考，逆向运用
例3.若不等式组0
3434
x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的
值是_______.
解析：【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】 不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y ＝kx ＋43过定点40,3⎛⎫
⎪⎝⎭
.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．
因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点15,22D ⎛⎫
⎪⎝⎭.
当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，52时，54223k =+，
所以73
k =
. 点拨：(1)求平面区域的面积：
①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；
②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可． (2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解． 问题探究三 二元一次不等式（组）与平面区域的实际应用？ 重点、难点知识★▲ ●活动一 回归生活，运用知识解决实际问题
例4.2013年4月，为支援四川雅安地震灾区，某公司接受了向该地区每天至少运送180吨饮用水的任务．该公司有8辆载重为6吨的A 型卡车与4辆载重为10吨的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为500元，公司每天最多可以提供资金3 200元．用数学观点来分析一下该公司调配车辆所受到的限制．
解析：【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】 设每天调出A 型车x 辆，B 型车y 辆． 由题意知:0≤x ≤8，0≤y ≤4.
因为共有10名驾驶员，所以x ＋y ≤10.每天需要至少送180吨水，所以4x ×6＋3y ×10≥180.
又知最多可以提供资金3200元．所以320x ＋500y ≤3 200.
08,08,10
24301803205003200x x N y x N x y x y x y **⎧≤≤∈⎪≤≤∈⎪⎪
+≤⎨⎪+≥⎪
+≤⎪⎩
如图中横坐标、纵坐标均为整数的点．
点拨：充分利用已知条件，找出不等关系，画出适合条件的平面区域，然后在该平面区域内找出符合条件的点的坐标．实际问题要注意实际意义对变量的限制．必要时可用表格的形式列出限制条件． 3．课堂总结 【知识梳理】
二元一次不等式表示平面区域的确定
(1)直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C ，所得的符号都相同． (2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的一侧取某个特殊点(x 0，y 0)，由Ax 0＋By 0＋C 的符号可以断定Ax ＋By ＋C >0表示的是直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域． 【重难点突破】
转化化归思想是重要的解题思维，它可以将一个不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题（比如非二元一次不等式(组)问题），也可以将生活问题转化为数学问题（比如生活中的二元一次不等式(组)问题），积累这类问题的解题经验可以有效提升自己的迁移能力. 4．随堂检测
1．如图，不等式y ≥|x |表示的平面区域是（ ）
答案：A
解析：【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】 不等式等价于⎩⎨⎧ x ≥0，y ≥x 或⎩
⎨⎧
x <0，y ≥－x .
2．不等式组⎩⎨⎧
x ≥0，
x ＋y ≤3，
y ≥x ＋1
表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的
取值范围为（ ） A ．(0,3] B ．[－1,1] C ．(－∞，3] D ．[3，＋∞) 答案：D
解析：【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】
直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝
2－－1－0
＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．故选D.
3．已知点P (－1,2)及其关于原点的对称点均在不等式2x －ky ＋1＞0表示的平面区域内，求k 的取值范围．
【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】
详解：据题意得()()21210
21210k k ⨯--+>⎧⎪⎨⨯--+>⎪⎩
即⎩⎪⎨⎪⎧
k <－
122k ＋3>0，
解得－32<k <－1
2.
（三）课后作业 基础型 自主突破
1．若平面区域D 的点(x ，y )满足不等式组⎩⎨⎧
x ＋
2
＋y 2≤1
x －y ≤0
x ＋y ≤0，
则平面区域D 的面积是( )
A.12＋π2 B ．1＋π2 C.12＋π4 D ．1＋π4
【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】 详解： B
2．若不等式组⎩⎨⎧
x －y ＋5≥0
y ≥a
0≤x ≤2
表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )
A ．a <5
B ．a ≥7
C ．5≤a <7
D ．a <5或a ≥7
【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】 详解：C 不等式表示的平面区域如图所示，
当y ＝a 过A (0,5)时表示的平面区域为△ABC . 当5<a <7时表示的平面区域为三角形．
综上，当5≤a <7时表示三角形．
3．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧
x ＋y ≥0
x －y ＋4≥0
x ≤a
(a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实
数a 的值为( ) A ．32＋2 B ．－32＋2 C ．－5 D ．1
C ．5≤a <7
D ．a <5或a ≥7
【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】 详解：D
4．求由不等式组⎩
⎨⎧
|x |≤5
x ＋2y |≤4围成的平面区域的面积．
【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】
详解： ⎩⎨⎧
x ≤5
x ≥－5
x ＋2y ≥－4
x ＋2y ≤4.
画出该不等式组所表示的平面区域，如图所示，可知阴影部分为一平行四边形． 由于两平行线x ＝－5与x ＝5之间的距离为10. 由⎩⎨⎧
x ＝5x ＋2y ＝4，可得C (5，－12)． 由⎩⎨⎧
x ＝5x ＋2y ＝－4，可得B (5，－92)． ∴|BC |＝|－92＋1
2|＝4，∴S ＝10|BC |＝40.
能力型 师生共研
5．设关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧
2x －y ＋1>0，
x ＋m <0，
y －m >0
表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0
＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4
3) B ．(－∞，1
3) C ．(－∞，－2
3)
D ．(－∞，－5
3)
【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】 详解：
C
图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y ＝1
2x －1上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m )在y ＝12x －1下方，也就是m <－12m －1，即m <－2
3.故选C 项．
6．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)．
【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】
详解：⎩⎨⎧
200x ＋300y ≤1 400，
200x ＋100y ≤900，
x ≥0，
y ≥0
用表格列出各数据
A B 总数 产品吨数 x y 资金 200x 300y 1 400 场地
200x
100y
900
所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900.
7．若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域被直线4y kx =+分成面积相等的两部分，则k 的值
为（ ）
A ．
73 B ． 37 C ．173- D ．317- 【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】
详解：在坐标系中作出可行域，如图所示为一个三角形，动直线4y kx =+为绕定点()0,4的一条动直线，设直线交AC 于M ，若将三角形分为面积相等的两部分，则ABM
BCM
S
S
=，观察可得
两个三角形高相等，所以AM MC =即M 为AC 中点，联立直线方程可求得()40,,1,13A C ⎛⎫
⎪⎝⎭，则
17,26M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，代入直线方程可解得173k =-
8．若不等式组⎩⎨⎧
x －y ≥0，
2x ＋y ≤2，
y ≥0，
x ＋y ≤a
表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )．
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．(0,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫
43，＋∞ 【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】
详解 D 不等式组⎩⎨⎧
x －y ≥0，
2x ＋y ≤2，
y ≥0
表示的平面区域如图(阴影部分)，
求A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫
23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的
取值范围是 0＜a ≤1或a ≥4
3. 探究型 多维突破
9．已知区域2:2010y D x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩
，则圆()()22
:22C x a y -+-=与区域D 有公共点，则实数a 的取
值范围是__________
【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】
详解：先在坐标系中作出区域D ，圆C 的圆心为(),2a ，半径为2，所以只需确定圆心的取值范围即可，通过左右平移圆可观察到圆C 与直线1:20l x y +-=和2:10l x y --=相切是a 取值的临界条件.当圆与1:20l x y +-=相切时，则1222
C l a d a -==⇒=±，由圆心位置可得2a =-；
当圆与2:10l x y --=相切时，
23252
C l a d a --=
=⇒=，所以[]2,5a ∈-
答案：[]2,5a ∈- 自助餐
1．当m ∈________时，点(1,2)和点(1,1)在y －3x －m ＝0的异侧． 【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】
详解 (－2，－1) 把(1,2)和(1,1)代入y －3x －m 所得到的两个代数式值异号即可， 于是(－1－m )(－2－m )<0⇒(m ＋1)(m ＋2)<0.
∴－2<m <－1.
2．不等式|x |＋|y |＜3表示的区域内的点的横坐标、纵坐标都是整数的个数有________． 【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】 详解 13 数形结合，穷举法．
3．已知平面区域00240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩
恰好被面积最小的圆()()22
2:C x a y b r -+-=及其内部所覆盖，
则圆C 的方程为_______
【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】 详解
()
()2
2
215x y -+-=作图可得可行域为直角三角形，所以覆盖三角形最小的圆即为该三角
形的外接圆.()()4,0,0,2A B ，所以外接圆圆心为AB 中点()2,1C ，半径为1
52
r AB ==，所以圆方程为()()2
2
215x y -+-=
4．已知约束条件⎩⎨⎧
x ≥1，
x ＋y －4≤0，
kx －y ≤0
表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．－2
【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】
详解 A 由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只有可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．
①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求．
5．若不等式组0
024x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪
⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则实数s 的取值范围是（ ）
A ．02s <≤或4s ≥
B ．02s <≤
C ． 4s ≥
D ． 2s ≤或4s ≥ 【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】
详解 A 本题约束条件含参，所以先从常系数不等式入手作图，直线x y s +=为一组平行线，
在平移的过程中观察能否构成一个三角形.一方面，0
024x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
本身就构成一个三角形.所以当
4s ≥时，不等式组的区域与0024x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩区域相同，从而符合题意.继续将直线x y s +=向下平移.
可得24s <<时，不等式组的区域为一个四边形.当02s <≤时，x y s +=从0024x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
的区域中
切割出来了一个三角形.所以符合题意.而0s ≤时，不等式组无公共区域.综上所述，02s <≤或
4s ≥
6．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的限制条件是( ) A ．⎩⎨⎧
2x ＋3y ≤5x 、y ∈N *
B ．⎩⎪⎨⎪
⎧
50x ＋40y ≤2 000x y ＝2
3
C ．⎩⎪⎨⎪⎧
5x ＋4y ≤200x y ＝23
x 、y ∈N *
D ．⎩⎪⎨⎪⎧
5x ＋6y <100x y ＝2
3
【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】 详解C
7．画出2x －3＜y ≤3表示的区域，并求所有的正整数解．
【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】 详解 原不等式等价于 ⎩⎨⎧
y ＞2x －3
y ≤3.
而求正整数解，则意味着x ，y 还有限制条件，即求：
⎩⎨⎧
x ＞0y ＞0
y ＞2x －3，
y ≤3
的整数解．
8．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t 需耗A 种矿石10 t ，B 种矿石5 t ，煤4 t ；生产乙种产品1 t 需耗A 种矿石4 t ，B 种矿石4 t ，煤9 t ．每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300 t ，B 种矿石不超过200 t ，煤不超过360 t ，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
【知识点：二元一次不等式(组)与平面区域；数学思想：数形结合】
详解 设生产甲、乙两种产品分别为x t ，y t ，利润总额为z 元，那么
⎩⎪⎨⎪⎧
10x ＋4y ≤300
5x ＋4y ≤2004x ＋9y ≤360x ≥0y ≥0，
z ＝600x ＋1 000y .
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图所示)．。