Logistic模型改进及山西人口预测_张荔

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表２改进的模型拟合山西人口数据的结果年份１９９０１９９１１９９２１９９３１９９４１９９５１９９６１９９７１９９８１９９９２０００实际人口２８９９２９４２２９７９３０１２３０４５３０７７３０１９３１４１３１７２３２０４３２４８２９３３２９７６３０１３３０４６３０７８３１１０３１４４３１７４３２０５３２３７预测人口年份２００１２００２２００３２００４２００５２００６２００７２００８２００９２０１０实际人口３２７２３２９４３３１４３３３５３３５５３３７５３３９３３４１１３４２７３５７４预测人口３２８１３３０５３３２６３３４６３３６７３３８７３４０７３４２５３４４３３４５９

Ｌｏｉｓｔｉｃ模型改进及山西人口预测ｇ
张荔
（）晋中师范高等专科学校数学系，山西晋中０３０６００摘要〕人口增长率已经很低，显然Ｌｏｉｓｔｉｃ模型中〔就我国现阶段而言由于实行计划生育，ｇ（为ｘ的简单线性函数已很难准确预测未来人口．为了更准确地预测中国未来人口，文章对ｒｘ）ｄｘａ－ｂｘ（（）与ｘ的关系进一步改进，得到了一个新的模型：＝并根据１ｒｘ）ｒｘｅｘ，ｘ（０＝ｘ９９０年到０）０．ｄｔ２０１０年山西人口的数据对山西２０２０年，２０３０年，２０４０年，２０５０年人口进行了预测．〔关键词〕人口增长率；线性最小二乘法；数据拟合ｏｉｓｔｉｃ模型；Ｌｇ〔（）文章编号〕中图分类号〕文献标识码〕１６７２２０２７２０１３０１０００９０３１７５－－－〔Ｏ〔Ａ
〕，ＡｂｓｔｒａｃｔｎＣｈｉｎａａｔｄｕｅｔｏｔｈｅｉｍｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｏｆｆａｍｉｌｒｅｓｅｎｔｌａｎｎｉｎｏｕｌａｔｉｏｎ〔Ｉｐｙｐｐｇｐｐ，ｒａｔｅｉｓｖｅｒｌｏｗｏｂｖｉｏｕｓｌＬｏｉｓｔｉｃｍｏｄｅｌｆｏｒｓｉｍｌｅｌｉｎｅａｒｆｕｎｃｔｉｏｎｈａｓｂｅｅｎｄｉｆｆｉｃｕｌｔｔｒｏｗｔｈｙｐｏｙｇｇ，ａｃｃｕｒａｔｅｌｒｅｄｉｃｔｔｈｅｆｕｔｕｒｅｏｕｌａｔｉｏｎ．ＴｏｍｏｒｅａｃｃｕｒａｔｅｌｄｅｓｃｒｉｂｅＣｈｉｎａ＇ｓｆｕｔｕｒｅｏｕｌａｔｉｏｎｙｐｐｐｙｐｐｄｘａ－ｂｘ：ｔｈｉｓｏｂｔａｉｎａｎｅｗｍｏｄｅｌ＝ｒ（ｘｅｘ，ｘ（０）＝ｘＡｎｄａｃｃｏｒｄｉｎｔｏａ１９９０ｔｏ２０１０ａｅｒｇｐｐ０）０．ｄｔｄｅｍｏｒａｈｉｃｄａｔａｏｎＳｈａｎｘｉｉｎ２０２０，２０３０，２０４０，２０５０，ｔｈｅｗａｓＳｈａｎｘｉｏｕｌａｔｉｏｎｒｅｄｉｃｔｅｄ．ｇｐｐｐｐ〔〕；；；ＫｅｗｏｒｄｓｏｉｓｔｉｃｍｏｄｅｌｍｅｔｈｏｄｒａｔｅｌｉｎｅａｒｌｅａｓｔｓｕａｒｅｓｆｉｔｔｉｎｄａｏｕｌａｔｉｏｎｒｏｗｔｈＬ－ｇｑｇｐｐｇｙｔａ【责任编辑：王映苗】檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪（上接第８页）
－ｘ
表１山西人口统计表人口２８９９２９４２２９７９３０１２３０４５３０７７３０１９３１４１３１７２３２０４３２４８年份２００１２００２２００３２００４２００５２００６２００７２００８２００９２０１０人口３２７２３２９４３３１４３３３５３３５５３３７５３３９３３４１１３４２７３５７４
Ｖｏｌ．１２Ｎｏ．１第１太原师范学院学报（自然科学版）２卷第１期）ａｒ．２０１３Ｍ２０１３年３月ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＴＡＩＹＵＡＮＮＯＲＭＡＬＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ
４模型求解
）用线性最小二乘法对ａ，１ｂ进行参数估计．ａ－ｂｘ对ｒ（可得ｘ）＝ｒ（ｘｅ两边取对数，０），（）ｘ＋ｄ，ｎｒ（ｘ）ｃ＝－ｂ，ｄ＝ｌｎｒ（ｘ１＋ａｙ＝ｃｙ＝ｌ０）），式（删去１用Ｅ１９９６年异常数据）ＸＣＥＬ求解可得ｃ＝－０．０００４３，ｄ＝４．７８４３４１．用表１的数据拟合（进一步求得ａ＝１０．２３１，ｂ＝０．０００４３．为１由１ｒ（ｘ９９１年的人口增长率，９９０年的人口可求得０）ｒ（ｘ．０１４８２３７０１．＝００）人口增长模型为基于山西人口数据拟合的参数，ｄｘ１．０２３１０．０００４３ｘ－）＝ｘ．０１４８３２７０１ｅｘ，ｘ（０＝００．ｄｔ该方程不易求解．）））， … 将模型转化为差分方程ｘ（２Ｔ＋１－ｘ（Ｔ）＝ｒ（ｘ（Ｔ）ｘ（Ｔ）Ｔ＝０，１，２，３，））， … 用已知的数据进行递推可达到人口预测的目的．则ｘ（Ｔ＋１＝ｘ（Ｔ）＋ｒ（ｘ（Ｔ）ｘ（Ｔ）Ｔ＝０，１，２，３，得到表２和图１．
ＩｍｒｏｖｅｄＬｏｉｓｔｉｃＭｏｄｅｌａｎｄＦｏｒｅｃａｓｔｉｎｔｈｅＰｏｕｌａｔｉｏｎｏｆＳｈａｎｘｉｐｇｇｐ
ＺｈａｎＬｉｇ
（，，）ＤｅａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＪｉｎｚｈｏｎＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｅＪｉｎｚｈｏｎ０３０６００，Ｃｈｉｎａｐｇｇｇ
２０１２１２２４＊收稿日期：－－，张荔（女，山西太谷人，晋中师范高等专科学校讲师，主要从事常微分方程研究．１９８０作者简介：－）
１０
太原师范学院学报（自然科学版）２卷第１
６模型评价
本模型适合现阶段我国计划生育前提下人口预报，误差较小．但只适用人口增长率大于０的情形，如果人口出现负增长则应再次进行模型改进．参考文献：
［］谢金星，叶俊．数学模型［北京：高等教育出版社，１Ｍ］．２００３：１２１５姜启源，－［］北京：中国统计出版社２２０１２中国统计年鉴［Ｍ］．中国统计局．
３模型建立
，由假设３）应表示为ｅ的函ｒ（ｘ）
ａ－ｂｘ，数，设ｒ（为人口总ｘ）＝ｒ（ｘｅｒ（ｘ０）０）
１９９５１９９６１９９７１９９８１９９９２０００
量为ｘ０那一年的增长率．因此改进后的模型为：ｄｘａｂｘ－）ｘｅｘ，ｘ（０ａ，ｂ为＝ｒ（＝ｘ０）０，ｄｔ参数．
［］年到２０１０年山西人口的数据２对山西人口进行了预测．
２模型假设
）现有的计划生育政策不变．１）２不考虑人口负增长．）人口增长已达到一定的高度，增长３率逐渐减小最终将趋于０．
年份１９９０１９９１１９９２１９９３１９９４
图１改进的模型拟合图形（以１９９０年为起点）
可以看出这Байду номын сангаас模型拟合效果不错．
Ｌｏｉｓｔｉｃ模型改进及山西人口预测第１期张荔：ｇ
１１
５模型检验
以２误差为０可以求得其他年误差更小（０１０年为例，．５％．１９９６年除外）．可以用以上数据继续推出２０２０年山西人口约为４０１０万，２０３０年山西人口约为４２９８万，２０４０年山西人口约为４５７１万，２０５０年山西人口约为４８２８万．
１问题分析
认识人口数量的变化规律建立人口模型，做出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提．二百多年前ｄｘ）英国人口学家Ｍ该模型是建立在人口增长率不ａｌｔｈｕｓ建立了著名的人口指数增长模型：＝ｒｘ，ｘ（０＝ｘ０．ｄｔ变的假设的基础上，但是人口增长到一定数量后由于受到自然资源、环境条件的影响增长率是会下降的，因ｄｘ（），（）此人们对Ｍ得到了Ｌ该模型对ｒ（作了一个简单ａｌｔｈｕｓ模型作了改进，ｏｉｓｔｉｃ模型：＝ｒｘｘｘ０＝ｘｘ）ｇ０．ｄｔ［１］）的假定，设ｒ（为ｘ的线性函数，即ｒ（ｘ）ｘ）＝ｒ－ｓｘ（ｒ＞０，ｓ．＞０就我国现阶段而言由于实行计划生育，人口增长率已经很低，显然Ｌ为ｘ的简单线ｏｉｓｔｉｃ模型中ｒ（ｘ）ｇ性函数已很难准确预测未来人口．本文对ｒ（与ｘ的关系进一步改进，得到了一个新的模型，并对根据１ｘ）９９０