【5套打包】北京市初三九年级数学上(人教版)第24章圆单元综合练习卷(含答案)

人教版九年级上册第24 章数学圆单元测试卷 ( 含答案 )(7)一．选择题
1．如图，在⊙
O 中，为⊙直径，为圆上一点，若∠＝ 26°，则∠的度数为（）ACO B OBC AOB
A． 26°B． 52°C． 54°D．56°2．如图，△ABC内接于
⊙
O，∠ A＝68°，则∠OBC等于（）A． 22°B． 26°C． 32°D．34°
3．已知⊙O的半径
为5cm，若点 A 到圆心O的距离
为
3cm，则点A（）
A．在⊙O内
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．与⊙O的地点关系没法确立
4．如图，点A， B，P 是⊙ O上的三点，若∠AOB＝40°，则∠ APB的度数为（）
A． 80°B． 140°C． 20°D．50°
5．以下说法错误的选项是（）
A．圆有无数条直径
B．连结圆上随意两点之间的线段叫弦
C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
6．如图，螺母的一个面的外沿能够看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF的半径是cm，则这个正六边形的周长是（）
A．cm B． 12cm C．cm D．36 cm
7．如图，四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠ B＝135°，则劣弧AC的长（）
A． 2πB．πC．D．4π8．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠ACB＝ 110°，则∠ P的度数是（）
A． 55°B． 30°C． 35°D．40°9．如图，小明为查验M、 N、 P、Q四点能否共圆，用尺规分别作了MN、 MQ的垂直均分线交于点 O，则 M、N、P、Q四点中，不必定在以O为圆心， OM为半径的圆上的点是（）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
10．如图，AB为半圆O的直径，BC⊥AB且BC＝AB，射线BD交半圆O的切线于点E，DF⊥ CD 交 AB于 F，若 AE＝2BF，DF＝2，则⊙ O的半径长为（）
A．B．4C．D．
二．填空题
11．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，若∠BCD＝ 26°，则∠ABC的度数为．
12．以下图，AB是⊙ O的直径． PA切⊙ O于点 A，线段 PO交⊙ O于点 C，连结 BC，若∠ P ＝ 40°，则∠B等于．
13．如图，在直角坐标系中，点A（0，3）、点 B（4，3）、 C（0，﹣1），则△ ABC外接圆的半径为．
14．如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为．
15．如图，⊙O的半径为2，正八边形ABCDEFGH内接于⊙ O，对角线 CE、 DF订交于点 M，则△ MEF的面积是．
16．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B
是
的中点， BD
交
OC于
点
E，∠ AOC＝100°，
∠ OCD＝35°，那么∠OED＝．
17．已知点A是圆心为坐标原点O且半径为 3 的圆上的动点，经过点B（4，0）作直线 l ⊥ x
轴，点
P 是直线
l
上的动点，若∠＝ 45°，则△的面积的最大值为．
OPA BOP
18．如图，已知⊙O的半径
为m，点C为直
径
AB延伸线上一点，BC＝ m．过点C任作向来线
l ，若 l上总存在点P，使过P所作的
⊙
O的两切线相互垂直，则∠ ACP的最大值等于．
三．解答题
19．如图，是半⊙的直径，
A 是⊙上一点，过点的切线交的延伸线于点，过点
B
BC O O CB P 的切线交 CA的延伸线于点E， AP与 BE订交于点 F．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若AF＝，半⊙O的半径为 2，求PA的长度．
20．如图，点P是⊙ O的直径 AB延伸线上的一点，点C， D在⊙ O上，且 PD是⊙ O的切线，PC＝ PD．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为 2，DO＝PO，求图中暗影部分的面积．
21．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙ O，点 E 在 BC边上，连结AE交⊙ O 于点 F，连结 BF并延伸交 CD于点 G．
（ 1）求证：△ABE≌△BCG；
（ 2）若∠AEB＝55°，OA＝ 3，求劣弧的长．（结果保存π）
22．如图，已知AB是⊙ O的直径，点P 是⊙ O上一点，连结OP，点 A 对于 OP的对称点 C恰好落在⊙ O上．
（1）求证：OP∥BC；
（2）过点C作⊙O的切线CD，交 A P的延伸线于点D．假如∠D＝ 90°，DP＝ 1，求⊙O 的直径．
23．如图：AB是⊙O的直径，AC交⊙O于G，E是AG上一点，D为△BCE心里，BE交AD于F，且∠ DBE＝∠ BAD．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：DF＝DG．
24．已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧的两点，∠BAC＝25°
（Ⅰ）如图①，若⊥ ，求∠和∠的大小；
OD AB ABC ODC
（Ⅱ）如图②，过点
C 作⊙
O
的切线，交延伸线于点，若∥ ，求∠的大小．
AB E OD EC ACD
25．【资料阅读】
地球是一个球体，随意两条相对的子午线都构成一个经线圈（如图 1 中的⊙O）．人们在北半球可观察到北极星，我国先人在观察北极星的过程中发了然如图 2 所示的工具尺（古人称它为“复矩” ），尺的两边相互垂直，角顶系有一段棉线，棉线尾端系一个铜锤，这
样棉线就与地平线垂直．站在不一样的观察点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉
线的夹角α 的大小是变化的．
【实质应用】
A 处测得α为31°，在点 A 所
观察点 A 在图 1 所示的⊙O上，此刻利用这个工具尺在
点
在子午线往北的另一个观察点B，用相同的工具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ ⊥ ON．
（ 1）求∠POB的度数；
（ 2）已知OP＝6400km，求这两个观察点之间的距离即⊙O
的长．（π 取3.1 ）
上
参照答案
一．选择题
1．解：∵OB＝OC，
∴∠ C＝∠ OBC，
∵∠ OBC＝26°，
∴∠ AOB＝2∠ C＝52°，
应选： B．
2．解：连结CO，
∵∠ A＝68°，
∴∠ BOC＝136°，
∴∠ OBC＝∠ OCB＝（180°﹣136°）＝22°．
应选： A．
3．解：∵OA＝ 3cm＜5cm，
∴点 A在⊙ O内．
应选： A．
4．解：∠APB＝∠AOB＝× 40°＝20°．
应选： C．
5．解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；
B、连结圆上随意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；
C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；
D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；
应选： C．
6．解：设正六边形的中心为O，连结 AO， BO，以下图：
∵ O是正六边形ABCDEF的中心，
∴ AB＝BC＝ CD＝DE＝ EF＝FA，∠ AOB＝60°， AO＝ BO＝2cm，
∴△ AOB是等边三角形，
∴ AB＝OA＝2cm，
∴正六边形ABCDEF的周长＝6AB＝12cm．
应选： C．
7．解：连结OA、 OC，如图．
∵∠ B＝135°，
∴∠ D＝180°﹣135°＝45°，
∴∠ AOC＝90°，
则劣弧 AC的长＝＝2π．
应选： A．
8．解：在优弧AB上取点 D，连结 BD，AD， OB，OA，∵∠ ACB＝110°，
∴∠ D＝180°﹣∠ ACB＝70°，
∴∠ AOB＝2∠ D＝140°，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴ OA⊥PA， OB⊥PB，
∴∠ OAP＝∠ OBP＝90°，
∴∠ P＝360°﹣∠ OAP﹣∠ AOB﹣∠ OBP＝
40°．应选： D．
9．解：连结OM， ON， OQ， OP，
∵MN、MQ的垂直均分线交于点 O，
∴ OM＝ON＝ OQ，
∴ M、 N、 Q再以点 O为圆心的圆上， OP与 ON的大小不可以确立，∴点 P不必定在圆上．
应选： C．
10．解：连结AD， CF，作 CH⊥ BD于 H，以下图：
∵AB是直径，
∴∠ ADB＝90°，
∴∠ADF+∠BDF＝90°，∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠ BDF+∠ BDC＝90°，∠ CBD+∠ DBA＝90°，
∴∠ ADF＝∠ BDC，∠ DAB＝∠ CBD，
∴△ ADF∽△ BDC，
∴＝＝，
∵∠ DAE+∠ DAB＝90°，∠ E+∠ DAE＝90°，
∴∠ E＝∠ DAB，
∴△ ADE∽△ BDA，
∴＝，
∴＝，即＝，
∵AB＝BC，
∴ AE＝AF，
∵AE＝2BF，
∴BC＝AB＝3BF，
设 BF＝x，则 AE＝2x， AB＝ BC＝3x，
∴ BE＝＝x， CF＝＝，
2
由切割线定理得：AE＝ ED× BE，
∴ ED＝＝＝x，
∴ BD＝BE﹣ ED＝，
∵CH⊥BD，
∴∠ BHC＝90°，∠ CBH+∠BCH＝∠ CBH+∠ ABE，
∴∠ CBH＝∠ ABE，
∵∠ BAE＝90°＝∠ BHC，
∴△ BCH∽△ EBA，
∴＝＝，即＝＝，
解得： BH＝x， CH＝x，
∴＝﹣＝
x ，
DH BD BH
∴2＝2+2＝
x 2，
CD CH DH ∵DF⊥CD，
2222
+（ 222
，
∴ CD+DF＝ CF，即x）＝（）解得： x＝，
∴AB＝3，
∴⊙ O的半径长为；
应选： A．
二．填空题
11．解：连结CO，
∵CD切⊙ O于点 C，
∴ CO⊥CD，
∴∠ OCD＝90°，
∵∠ BCD＝26°，
∴∠ OCB＝90°﹣26°＝64°，
∵CO＝BO，
∴∠ ABC＝∠ OCB＝64°．
故答案为： 64°．
12．解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠ PAB＝90°，
∵∠ P＝40°，
∴∠ POA＝90°﹣40°＝50°，
∵OC＝OB，
∴∠ B＝∠ BCO＝25°，
故答案为： 25°．
13．解：连结AB，分别作 AC、 AB的垂直均分线，两直线交于点H，由垂径定理得，点H为△ ABC的外接圆的圆心，
∵A（0，3）、点 B（4，3）、 C（0，﹣
1），∴点 H的坐标为（2，1），
则△外接圆的半径＝＝2，
ABC
故答案为： 2．
14．解：由题意：BA＝ BC＝1，∠ ABC＝90°，
∴S扇形BAC＝＝．
故答案为．
15．解：设OE交 DF于 N，以下图：
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙ O，
∴ DE＝FE，∠ EOF＝＝45°，，
∴∠ OEF＝∠ OFE＝∠ OED，OE⊥ DF，
∴△ ONF是等腰直角三角形，
∴ ON＝FN＝OF＝，∠ OFM＝45°，
∴EN＝OE﹣ OM＝2﹣，∠ OEF＝∠ OFE＝∠ OED＝67.5°，∴∠ CED＝∠ DFE＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠ MEN＝45°，
∴△ EMN是等腰直角三角形，
∴MN＝EN，
∴MF＝MN+FN＝ ON+EN＝ OE＝2，
∴△ MEF的面积＝MF×EN＝×2×（2﹣）＝2﹣；
故答案为： 2﹣．
16．解：连结OB．
∵＝，
∴∠ AOB＝∠ BOC＝50°，
∴∠ BDC＝∠BOC＝25°，
∵∠ OED＝∠ ECD+∠ CDB，∠ ECD＝35°，
∴∠ OED＝60°，
故答案为60°．
17．解：当PA是⊙ O的切线时， OP最长，则 PB最长，故△ BOP的面积的最大，连结 OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴ OA⊥PA，
∵∠ OPA＝45°，
∴△ OPA是等腰直角三角形，
∴OA＝PA＝3，
∴OP＝3，
在 Rt △中，
PB ＝＝＝，
BOP
∴△ BOP的面积的最大值为× 4×＝ 2，故答案为2．
18．解：∵PM、PN是过P所作的⊙O的两切线且相互垂直，
∴∠ MON＝90°，
∴四边形 PMON是正方形，
依据勾股定理求得OP＝m，
∴ P 点在以 O为圆心，以m长为半径作大圆⊙O上，
以 O为圆心，以 m长为半径作大圆⊙ O，而后过 C点作大⊙ O的切线，切点即为 P 点，此时∠ ACP有最大值，以下图，
∵PC是大圆⊙O的切线，
∴ OP⊥PC，
∵ OC＝2m， OP＝ m，
∴ PC＝＝m，
∴OP＝PC，
∴∠ ACP＝45°，
∴∠ ACP的最大值等于
45°，．故答案为 45°．
三．解答题
19．（ 1）证明：连结OA，
∵ AF、BF为半⊙ O的切线，
∴AF＝BF，∠FAO＝∠EBC＝
90°，∴∠E+∠C＝∠EAF+∠
OAC＝90°，∵ OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC，
∴∠ E＝∠ EAF，
∴AF＝EF，
∴BF＝EF；
（ 2）解：连结AB，
∵ AF、BF为半⊙ O的切线，
∴∠ OAP＝∠ OBE＝90°，且 BF＝ AF＝1.5，
又∵ tan ∠P＝，即，
∴PB＝，
∵∠ PAE+∠ OAC＝∠ AEB+∠ OCA＝90°，且∠ OAC＝∠ OCA，∴∠ PAE＝∠ AEB，∠ P＝∠ P，
∴△ APB∽△ CPA，
∴，即
2
PA＝ PB?PC，
∴，解得PA＝．20．（ 1）证明：连结OC，
在△ PDO与△ PCO中，，
∴△ PDO≌△ PCO（ SSS），
∴∠ PCO＝∠ PDO，
∵PD是⊙O的切线，
∴∠ PDO＝90°，
∴∠ PCO＝90°，
∴ PC是⊙ O的切线；
（ 2）解：∵∠PDO＝ 90°，DO＝PO，
∴∠ POD＝60°，
∴∠ DOC＝120°，
∵⊙ O的半径为2，
∴PD＝ OD＝2，
∴图中暗影部分的面积＝S﹣S＝2××2×2﹣＝4﹣
四边形PDOC扇形DOC
．
21．（ 1）证明：∵四边形ABCD是正方形， AB为⊙ O的直径，
∴∠ ABE＝∠ BCG＝∠ AFB＝90°，
∴∠ BAF+∠ ABF＝90°，∠ ABF+∠ EBF＝90°，
∴∠ EBF＝∠ BAF，
在△ ABE与△ BCG中，，
∴△ ABE≌△ BCG（ ASA）；
（ 2）解：连结OF，
∵∠ ABE＝∠ AFB＝90°，∠ AEB＝55°，
∴∠ BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠ BOF＝2∠BAE＝70°，
∵OA＝3，
∴的长＝＝．
22．（ 1）证明：∵A对于OP的对称点C恰巧落在⊙O上．∴＝
∴∠ AOP＝∠ COP，
∴∠ AOP＝∠AOC，
又∵∠ ABC＝∠ AOC，
∴∠ AOP＝∠ ABC，
∴PO∥BC；
（2）解：连结PC，∵
CD为圆O的切线，∴
OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴ OC∥AD，
∴∠ APO＝∠ COP，
∵∠ AOP＝∠ COP，
∴∠ APO＝∠ AOP，
∴ OA＝ AP，
∵ OA＝OP，
∴△ APO为等边三角形，
∴∠ AOP＝60°，
又∵ OP∥ BC，
∴∠ OBC＝∠ AOP＝60°，又 OC＝ OB，
∴△ BCO为等边三角形，
∴∠ COB＝60°，
∴∠ POC＝180°﹣（∠ AOP+∠ COB）＝60°，又 OP＝OC，
∴△ POC也为等边三角形，
∴∠ PCO＝60°， PC＝ OP＝OC，
又∵∠ OCD＝90°，
∴∠ PCD＝30°，
在 Rt △PCD中，PD＝PC，
又∵ PC＝ OP＝ AB，
∴PD＝ AB，
∴AB＝4PD＝4．
23．证明：（ 1）∵点D为△BCE的心里，
∴BD均分∠
EBC．∴∠ EBD＝∠
CBD．
又∵∠ DBE＝∠ BAD，
∴∠ CBD＝∠ BAD．
又∵AB是〇O直径，
∴∠ BDA＝90°．
在 Rt △BAD中，∠BAD+∠ABD＝ 90°，∴∠CBD+∠ ABD＝90°，即∠ ABC＝90°．
∴BC⊥AB．
又∵ AB为直径，
∴ BC是〇 O的切线；
（2）连结ED，如图，则ED均分∠BEC，
∴∠ BED＝∠ CED．
∵∠ EFD为△ BFD的外角
∴∠ EFD＝∠ ADB+∠ EBD＝90°+∠ EBD，
又∵四边形ABDG为圆的内接四边形，
∴∠ EGD＝180°﹣∠ ABD＝180°﹣（90°﹣∠ CDB）＝90°+∠ CDB 又∵∠ EBD＝∠ CBD，
∴∠ EFD＝∠ EGD
又∵ ED＝ ED，
∴△ DFE≌△ DGE（ AAS ）．
∴DF＝DG．
24．解：（Ⅰ）连结OC，
∵ AB 是⊙ O的直径，
∴∠ ACB＝90°，
∵∠ BAC＝25°，
∴∠ ABC＝65°，
∵OD⊥AB，
∴∠ AOD＝90°，
∴∠ ACD＝∠AOD＝＝ 45°，
∵OA＝OC，
∴∠ OAC＝∠ OCA＝25°，
∴∠ OCD＝∠ OCA+∠ ACD＝70°，
∵OD＝OC，
∴∠ ODC＝∠ OCD＝70°；
（Ⅱ）连结OC，
∵EC是⊙O的切线，
∴ OC⊥EC，
∴∠ OCE＝90°，
∵∠ BAC＝25°，
∴∠ COE＝2∠ BAC＝50°，
∴∠ OEC＝40°，
∵OD∥CE，
∴∠ AOD＝∠ COE＝40°，
∴∠ ACD＝AOD＝20°．
25．解：（ 1）设点B的切线CB交ON延伸线于点E， HD⊥BC于 D， CH⊥BH交 BC于点 C，如图所示：
则∠ DHC＝67°，
∵∠ HBD+∠ BHD＝∠ BHD+∠DHC＝90°，
∴∠ HBD＝∠ DHC＝67°，
∵ON∥BH，
∴∠ BEO＝∠ HBD＝67°，
∴∠ BOE＝90°﹣67°＝23°，
∵PQ⊥ON，
∴∠ POE＝90°，
∴∠ POB＝90°﹣23°＝67°；
（ 2）同（ 1）可证∠POA＝31°，
∴∠ AOB＝∠ POB﹣∠ POA＝67°﹣31°＝36°，
∴＝＝3968（km）．
人教版九年级上册第 24 章数学圆单元测试卷 ( 含答案 )(2)
一、选择题
1．已知⊙ O 的直径 CD ＝ 10 cm ， AB 是⊙ O 的弦， AB ⊥ CD ，垂足为 M ，且 AB ＝ 8 cm ，则
AC 的长为 (
)
A ． 2
5cm
B
． 4 5cm
C ． 2 5cm 或 4 5cm D
．2
3cm 或 4
3cm
2．在△ ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有
2
2
2
2
AB ＋ AC ＝ 2AO ＋ 2BO 建立．依照以上
结
论，解决以下问题：如图
1，在矩形 DEFG 中，已知 DE ＝ 4，EF ＝ 3，点 P 在以 DE 为直径的半
圆上运动，则
2
2
)
PF ＋ PG 的最小值为 (
19
A. 10
B. 2
C ． 34
D ．10
图 1
图 2
3．如图 2，在△ ABC 中， AB ＝ 5， AC ＝ 3， BC ＝ 4，将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转 40°获得
︵
(
)
△ADE ，点 B 经过的路径为 BD ，则图中暗影部分的面积为
14
25
33
A. 3 π －6
B. 9 π
C. 8 π － 3
D. 33＋ π
4．如图 3，在平面直角坐标系
xOy 中，已知 (4 ， 0) ， (0 ，3) ， (4 ，3) ， I 是△
ABC
A B C
的心里，将△ ABC绕原点逆时针旋转90°后，点I 的对应点 I ′的坐标为()
图3
A． ( －2， 3)B．( － 3，2)C．(3 ，－ 2)D．(2 ，－ 3) 5．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1 为半径作圆，点P 在直线
y＝3x＋2 3 上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值
为
() A． 3B． 2 C.3 D. 2
6．如图4，在矩形ABCD中， G
是BC的中点，
过
A， D， G三点的
⊙
O与
边
AB， CD分别
交于点E，F，给出以下说法：(1) AC
与BD的交点是
⊙
O的圆心；(2)AF
与
DE的交点是
⊙
O
的圆心；(3) BC与⊙O相切，此中正确说法的个数
是
()
图 4
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
7．如图 5，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥ OA，OC交 AB于点 P，已知∠OAB＝22°，则∠ OCB＝________°.
图5图6
8．如图6，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(20 ，0) ，点B的坐标是(16 ，0) ，点C，
D在以
OA为直径的半
圆
M上，且四边
形
OCDB是平行四边形，则点C的坐标
为
________．
9．如图7，正方形ABCD的边长
为
8，M
是
AB的中点，P 是BC边上的动点，连结PM，
以点 P 为圆心， PM长为半径作⊙ P.当⊙ P 与正方形ABCD的边相切时， BP的长为________．
图7图8
10．如图 8，在矩形ABCD中，AB＝ 5，BC＝ 4，以CD为直径作⊙O. 将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形 A′ B′ CD′的边 A′ B′与⊙ O相切，切点为 E，边 CD′与⊙ O订交于点 F，
则 CF的长为________．
三．解答题
11．如图 9，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的均分线与⊙O交于点D，∠C＝90° .
(1)CD与⊙ O有如何的地点关系？请说明原因；
︵
(2)若∠ CDB＝60°， AB＝6，求 AD的长．
图 9
12．如图 10，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆交AC于点 D，交 BC于点 E，延长 AE至点 F，使 EF＝ AE，连结 FB， FC.
(1)求证：四边形 ABFC是菱形；
(2)若 AD＝7， BE＝2，求半圆和菱形 ABFC的面积．
图 10
13．如图 11，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE 为半径作半圆，交AO于点 F.
(1)求证： AC是半圆 O的切线；
(2)若 F 是 AO的中点， OE＝3，求图中暗影部分的面积；
(3) 在 (2) 的条件下，
P 是边上的动点，当＋
PF
取最小值时，直接写出的长．BC PE BP
图 11
14．如图 12，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD＝∠ CAD， CE∥ AD， CE交 BA的延伸线于点E， BC＝8， AD＝3.
(1)求 CE的长；
(2)求证：△ ABC为等腰三角形；
(3)求△ ABC的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q之间的距离．
图 12
答案
1． [ 分析 ]C如图，连结AC， AO.
∵⊙ O的直径 CD＝10 cm， AB⊥ CD， AB＝8 cm，
1 1
∴AM＝2AB＝2×8＝4 cm， OD＝ OC＝5 cm.
当点 C地点如图①所示时，
∵OA＝5 cm， AM＝4 cm，CD⊥ AB，
∴ OM＝
2222
，OA－ AM＝ 5 － 4＝ 3(cm)
∴CM＝OC＋ OM＝5＋3＝8(cm)，
∴ AC＝
2222
5(cm) ；
AM＋ CM＝ 4 ＋ 8＝ 4
人教版九年级上册第24 章数学圆单元测试卷 ( 含答案 )(5)
一、填空题（每题 5 分，计 40 分）
1、已知点 O为△ ABC的外心，若∠ A=80°，则∠ BOC的度数为（）A． 40°B． 80° C ．160° D． 120°
2．点
P 在⊙内，=2cm，若⊙
O
的半径是 3cm，则过点
P
的最短弦的长度为（）O OP
A． 1cm B． 2cm C． 5 cm D．2 5 cm
3．已知A为⊙O上的点，⊙O的半径为1，该平面上还有一点P，PA 3 ，那么点P与⊙的地点关系是（）
O
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O
上C．点P在⊙O外D．没法确立
4．如图，A，B，C，D为O 的四均分点，动点P从圆心 O出发，沿 O C D O 路
线作匀速运动，设运动时间为t （s）．∠ APB y() ，则以下图象中表示y 与t之间函数
关系最适合的是（）
D C y y y y
P9*******
O45454545
A B
0t0t0t0t 第4题图
A．B．C．D．
5. 在平面直角坐标系中，以点（
2， 3）为圆心，
2 为半径的圆必然（
）
A ．与
x 轴相离、
与
y 轴相切
B
．与
x 轴、
y
轴都相离
C ．与
x 轴相切、
与
y
轴相离
D
．与
x 轴、
y
轴都相切
6 如图 , 若⊙的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 30° , 切线 CD 与 AB 的延伸线交于点 D,且⊙ O 的半
径为 2, 则 CD 的长为
(
)
A.
2 3
B.
4
3
C.2
D. 4
7．如图，△ PQR 是⊙ O 的内接三角形，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接正方形， BC ∥ QR,则∠ DOR 的度
数是
（
）
A.60
B.65
C.72
D. 75
P
A
D
C
O
A
B
D
Q
R
B
C
第6题图
第 7题图
8. 如图， ⊙A 、 ⊙ B 、 ⊙C 、 ⊙D 、 ⊙E 相互外离，它们的半径都是
1，按序
B
ABCDE ，则图中五个扇形（暗影部分）的面积之和
连结五个圆心获得五边形
C
是（ ）
A
A ． π
B ． 1.5π
C ． 2π
D ． 2.5π
D
二 选择题（每题 5 分，计 30 分）
E
B
9. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点
、 、 ，此中，
点坐标为 (4 ，4) ，
A B C
第 8 题图
则该圆弧所在圆的圆心坐标为
.
A
B
D
C
第 9题图
第10题
10． 如图，在
ABC 中，∠ A=90°， AB=AC=2cm ，⊙ A 与 BC 相切于点 D ，则⊙ A 的半径长
为cm.
11. 擅长概括和总结的小明发现， “数形联合” 是初中数学的基本思想方法， 被宽泛地应用在
数学学习和解决问题中． 用数目关系描绘图形性质和用图形描绘数目关系，常常会有新的发
现．小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径 AB 弦 CD 于 E ），设 AE x ，BE y ，他用含x，y的式子表示图中的弦CD 的长度，经过比较运动的弦CD 和与之垂
直的直径 AB 的大小关系，发现了一个对于正数x，y 的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式．
C
A
xy
B
O
E
D
（第 11 题）
（ 12 题图）0
12. 如图 , ∠AOB=30,OM=6,那么以 M为圆心 ,4 为半径的圆与直OA的地点关系是
_________________.
13.如图 ,△ ABC 内接于⊙ O,∠ B=∠ OAC,OA=8㎝ ,则 AC的长等于 _______㎝。

A
O
C
B
（13 题图）
14.阅读下边资料：
在数学课上，老师请同学思虑以下问题：
请利用直尺和圆规确立图中弧AB 所在圆的圆心．
A B
小亮的作法以下：
如图，
（1）在弧 AB 上随意取一点 C，分别连结 AC， BC；
（2）分别作 AC， BC的垂直均分线，
两条垂直均分线交于O 点；O
因此点 O 就是所求弧 AB 的圆心 .
B
A
C 老师说：“小亮的作法正确．”
请你回答：小亮的作图依照是 _________________________ ．
三、解答题（ 7+7+8+8）
A
15、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆
O与边 AB订交于点 D，切线 DE⊥ AC，垂足为点 E．求证：E
1D
（ 1）△ABC是等边三角形；（ 2）AECE ．
3
B O C
16、《九章算术》是中国传统数学重要的著作，确立了中国传统数学的基本框架．《九章算术》
中记录：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几
何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面表示图（如图②），此中 BO⊥ CD
于点 A，求间径就是要求⊙O 的直径．
再次阅读后，发现AB=______寸， CD =____ 寸（一尺等于十寸），经过运用相关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O 的直径．
图①图②
17．如图在⊙ O中， AB是直径， CD是弦， AB⊥ CD。

（1） P 是优弧 CAD上一点（不与 C、 D重合），求证：∠ CPD=∠ COB；
（2）点 P′在劣弧 CD上（不与 C、D 重合）时，∠ CP′ D与∠ COB有什么数目关系？请证明
你的结论。

18、如图，已知△ ABC是等边三角形，以 AB 为直径作⊙ O，交 BC边于点 D，交 AC边于点 F，
作 DE⊥ AC 于点 E．
（ 1）求证： DE 是⊙ O 的切线；
（ 2）若△ ABC的边长为4，求 EF 的长度．
A
F
O
E
B D C
参照答案：
1. c
2. D
3. D
4.C
5. A
6.A
7. D
8.B
9.(2,0)10.2x y ≥ 2 xy
，或
(x y)≥ 4xy
，或
x
2
y
2
≥ 2xy
，
11 、2
或xy ≤x
y12．订交； 13．8 2 ；14.45 2
15. 证明：（ 1）连结 OD得 OD∥AC ∴∠ BDO=∠ A 又由 OB＝ OD得∠ OBD＝∠ ODB
∴∠ OBD=∠ A∴BC＝ AC 又∵ AB=AC ∴△ABC是等边三角形
(2)
连结 CD ，则 CD ⊥ AB ∴ D 是 AB 中点
1 1
AE
1
CE
∵ AE ＝ 2 AD=4
AB
∴ EC=3AE ∴
3．
16. 解：（ 1）1； 10 （2）连结 CO ， ∵ BO CD ，
∴
CA
1
5 ．
CD
2
设 CO x ，则 AO x 1， 在 Rt CAO 中， CAO 90 ，
∴ AO 2 CA 2 CO 2 ．∴ x 1 2 52 x 2 ．
解得 x
13 ，∴⊙ O
人教版九年级上册第二十四章《圆》培优练习卷（含答案）
一．选择题
1．一个圆锥的侧面睁开图是半径为 8 的半圆，则该圆锥的全面积是（
）
A ． 48π
B ． 45π
C ． 36π
D ．32π
2．如图， AB 为⊙ O 的直径， P 为弦 BC 上的点，∠ ABC ＝ 30°，过点 P 作 PD ⊥ OP 交⊙ O 于点
，过点 D 作
∥ 交
AB 的延伸线于点 ．若点
C 恰巧是
的中点，
＝6，则 的长
D
DE BC
E
BE
PC
是（
）
A ． 6
﹣ 8
B ． 3
﹣ 3
C ． 2
D ．12﹣ 6
3．如图，已知⊙
O 的内接正六边形
ABCDEF 的边长
为
6，则弧
BC 的长为（
）
A ． 2π
B ． 3π
C ． 4π
D ．π
4．《九章算术》 是我国古代第一部自成系统的数学专著， 代表了东方数学的最高成就． 它的
算法系统到现在仍在推进着计算机的发展和应用．书中记录：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 1 寸（ED＝ 1 寸），锯道长1 尺（AB＝ 1尺＝ 10 寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”
以下图，请依据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）
A．13寸B．20寸C．26 寸D．28 寸
ACB＝55°，则∠APB等于5．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B 为切点，点C在⊙ O上，且
∠
（）
A． 55°B． 70°C． 110°D．125°
6．如图，在 Rt △ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若 BF＝2， AF＝3，则△ ABC的面积是（）
A． 6B． 7C． 7D．12
O， AB＝4，则图中暗影部分的面积是（）
7．如图，正方形ABCD内接于
圆
A． 4π﹣ 16B． 8π﹣ 16C． 16π﹣ 32D．32π﹣ 16
8．如图，正方形ABCD和正△ AEF都内接于⊙ O， EF与 BC、CD分别订交于点G、 H．若 AE ＝ 3，则EG的长为（）
A．B．C．D．
9．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面．已知扇形的半径为5cm，弧长是8πcm，那么这个圆锥的高是（）
A． 8cm B． 6cm C． 3cm D．4cm
10．如图，点C为△ ABD外接圆上的一点
（点C不
在
上，且不与点 B， D重合），且
∠ ACB＝∠ ABD＝45°，若BC＝8，CD＝4，则AC的长为（）
A． 8.5B． 5C． 4D．
11．在△ABC中，∠C＝ 90°，∠A＝ 30°，AB＝ 12，将△ABC绕点B按逆时针方向旋
转
60°，直角边AC扫过的面积等于（）
A． 24πB． 20πC． 18πD．6π
12．如图，矩形ABCD中，BC＝ 2，CD＝ 1，以AD为直径的半圆O与 BC相切于点 E，连结 BD，则暗影部分的面积为（）
A．B．C．D．
二．填空题
13．若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是 6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连结DE，过点 D作 DF⊥ AC于点 F．若 AB＝6，∠ CDF＝15°，则暗影部分的面积是．
15．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联络OA，AC，假如∠ OAB＝20°，那么∠ CAB 的度数是．
16．如图，用均分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了以下图的四叶好运草，若OA＝2，则四叶好运草的周长是．
17．半径为 6 的扇形的面积为12π，则该扇形的圆心角为°．
18．在平面直角坐标系中，点A（a，a），以点B（0，4）为圆心，半径为1的圆上有一点C，直线 AC与⊙ B 相切，切点为C，则线段 AC的最小值为．
三．解答题
19．如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与 AB、 BC边分别交于点D、E， DE∥ OA，CE是⊙ O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝ 4，EC＝ 6，求AC的长．
20．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD均分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．（1）试判断直线DE与⊙O的地点关系，并说明原因；
（2）若⊙O的半径为 2，∠BAC＝ 60°，求线段EF的长．
21．如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥ BD，弦 AD，BC订交于点 E．
（1）求证：＝；
（2）若CE＝ 1，EB＝ 3，求⊙O的半径；
（ 3）在（ 2）的条件下，过点C作⊙ O的切线，交BA的延伸线于点P，过点 P 作 PQ∥ CB 交⊙ O于 F， Q两点（点 F 在线段 PQ上），求 PQ的长．
22．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连结 AO，AO与⊙ O交于点 C，BD为⊙ O的直径，连接 CD．若∠ A＝30°，⊙ O的半径为2，则图中暗影部分的面积是多少？
23．已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥ BC于 M．（1）求证：AH＝ 2OM；
（2）若∠BAC＝60 °，求证：AH＝AO．（初二）
24．如图，是半圆的直径，
C 是半圆上一点，＝，⊥ 于点，分别交、
AB O DH AB H AC BD DH于 E 、F．
（1）已知AB＝ 10，AD＝6，求AH．
（2）求证：DF＝EF
25．如图，已知AB是⊙ O的直径，点 C是弧 AB的中点，点 D在弧 BC上， BD、 AC的延伸线交于点 K，连结 AD，交 BC于点 E，连结 CD
（ 1）求证：∠AKB﹣∠BCD＝ 45°；
（ 2）若＝，求证：＝2．
DC DB BC CK
参照答案
一．选择题
1．解：侧面积是：π r2＝×π× 82＝32π，
底面圆半径为：，
底面积＝π×42＝ 16π，
故圆锥的全面积是：32π+16π＝ 48π．
应选： A．
2．解：连结OD，交 CB于点 F，连结 BD，
∵＝，
∴∠ DBC＝∠ ABC＝30°，
∴∠ ABD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△ OBD是等边三角形，
∴OD⊥FB，
∴OF＝DF，
∴BF∥DE，
∴OB＝BE＝6
∴ CF＝FB＝ OB?cos30°＝6×＝3，
在 Rt △POD中，OF＝DF，
∴ PF＝DO＝3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴ CP＝CF﹣ PF＝3﹣3．
应选： B．
3．解：∵ABCDEF为正六边形，
∴∠ COB＝360°×＝60°，
∴△ OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝ BC＝6，
弧 BC的长为＝2π．
应选： A．
4．解：设⊙O的半径为r ．
在 Rt △ADO中，AD＝ 5，OD＝r﹣ 1，OA ＝r，则有 r 2＝52+（ r ﹣1）2，
解得 r ＝13，
∴⊙ O的直径为26寸，
应选： C．
5．解：连结OA， OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴ PA⊥OA， PB⊥OB，
∵∠ ACB＝55°，
∴∠ AOB＝110°，
∴∠ APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝
70°．应选： B．
6．解：连结DO， EO，
∵⊙ O是△ ABC的内切圆，切点分别为D， E， F，
∴OE⊥AC， OD⊥BC， CD＝CE， BD＝BF＝3， AF＝ AE＝4
又∵∠ C＝90°，
∴四边形 OECD是矩形，
又∵ EO＝ DO，
∴矩形 OECD是正方形，
设 EO＝x，
则 EC＝CD＝ x，
在 Rt △ABC中
222
BC+AC＝ AB
故（ x+2）2+（ x+3）2＝52，
解得： x＝1，
∴BC＝3， AC＝4，
∴S△ABC＝×3×4＝6，
应选： A．
7．解：连结OA、 OB，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠ AOB＝90°，∠ O AB＝45°，
∴ OA＝AB cos45°＝4×＝2，
2） 2 ﹣4×4＝8π﹣16．因此暗影部分的面积＝S⊙﹣ S 正方形＝π×
（OABCD
8．解：如图，连结AC、 BD、OF，，
设⊙ O的半径是 r ，
则 OF＝OA＝ r ，
∵ AO是∠ EAF的均分线，
∴∠ OAF＝60°÷2＝30°， AC⊥ EF，EG＝EF＝∵OA＝OF，
∴∠ OFA＝∠ OAF＝30°，
∴∠ COF＝30°+30°＝60°，
∴ FI ＝r ?sin60°＝r ，
∴ ＝
r × 2＝
r
＝＝3，
EF AE
∴r ＝
∴OI＝，
∴ CI＝OC﹣ OI＝，
∵EF⊥AC，∠ BCA＝45°
∴∠ IGC＝∠ BCI＝45°
∴ CI＝GI＝
∴EG＝EI﹣ GI＝
应选： B．
9．解：设圆锥底面圆的半径为r ，
依据题意得2πr＝ 8π，
解得 r ＝4，
因此这个的圆锥的高＝＝ 3（cm）．
10．解：延伸CD到 E，使得 DE＝ BC，连结 AE，如右图所示，
∵∠ ACB＝∠ ABD＝45°，∠ ACB＝∠ ADB，
∴∠ ADB＝45°，
∴∠ BAD＝90°， AB＝ AD，
∵四边形 ABCD是圆内接四边形，∠ADE+∠ ADC＝180°，
∴∠ ADC+∠ ABC＝180°，
∴∠ ABC＝∠ ADE，
在△ ABC和△ ADE中，
，
∴△ ABC≌△ ADE（ SAS），
∴∠ BAC＝∠ DAE，
∵∠ BAC+∠ CAD＝∠ BAD＝90°，
∴∠ DAE+∠ CAD＝90°，
∴∠ CAE＝90°，
∵ACD＝45°， BC＝ DE＝8， CD＝4，
∴∠ ACE＝4 5°， CE＝
12，∴ AC＝AE＝6，
应选： D．
11．解：∵在△ABC中，∠ C＝90°，∠ A＝30°， AB＝12，
∴BC＝ AB＝6，∠ ABC＝60°，
∴ S 暗影＝﹣＝﹣＝18π．应选： C．
12．解：连结OE交 BD于 F，如图，
∵以 AD为直径的半圆O与 BC相切于点 E，
∴OE⊥BC，
∵四边形 ABCD为矩形， OA＝ OD＝1，
而 CD＝1，
∴四边形 ODCE和四边形 ABEO都是正方形，
∴ BE＝1，∠ DOE＝∠ BEO＝90°
∵∠ BFE＝∠ DFO， OD＝ BE，
∴△ ODF≌△ EBF（ AAS），
∴S＝S，
△ODF△ EBF
∴暗影部分的面积＝S扇形EOD＝＝．
应选： C．
二．填空题
13．解：∵圆锥的底面圆的周长是5πcm，
∴圆锥的侧面睁开扇形的弧长为5πcm，
∴＝5π，
解得： n＝150
故答案为150°．
14．解：连结OE，
∵∠ CDF＝15°，∠ C＝75°，∴∠ OAE＝30°＝∠ OEA，
∴∠ AOE＝120°，
S＝
△ OAE
AE× OE sin∠ OEA＝× 2×OE× cos∠OEA×OE sin∠OEA＝，
S 暗影部分＝扇形﹣S△＝
SOAEOAE
×π×32﹣＝ 3π﹣．
故答案3π﹣．
15．解：连结OC交 AB于 E．
∵C是的中点，
∴ OC⊥AB，
∴∠ AEO＝90°，
∵∠ BAO＝20°，
∴∠ AOE＝70°，
∵OA＝OC，
∴∠ OAC＝∠ C＝55°，
∴∠ CAB＝∠ OAC﹣∠ OAB＝35°，
故答案为35°．
16．解：由题意得：四叶好运草的周长为 4 个半圆的弧长＝ 2 个圆的周长，连结AB、BC、CD、AD，则四边形ABCD是正方形，连结OB，以下图：
则正方形 ABCD的对角线＝2OA＝4， OA⊥ OB，OA＝ OB＝2，
∴AB＝2，
过点O
作ON⊥ AB
于
N，则NA＝AB＝，
∴圆的半径为，
∴四叶好运草的周长＝2×2π×＝4π；故答案为： 4π．
17．解：设该扇形的圆心角为n2，则＝ 12π，
解得： n＝120，
故答案为： 120．
18．解：连结AB、 BC，如图，
∵A 点坐标为（a，a），
∴点A在直线y＝x 上，
作 BH⊥直线 y＝x 于 H，
∵∠ AOB＝45°，
∴△BOH为等腰直角三角形，
∴BH＝ OB＝2，
∵直线 AC与⊙ B 相切，切点为C，∴BC⊥AC，
∴∠ ACB＝90°，
∴ AC＝＝，
当AB最小时，AC的值最小，
而点A
在H点时， AB最小，此
时
AB＝ BH＝2，
∴ AC的最小值为＝＝．故答案为．
三．解答题（共7 小题）
19．（ 1）证明：连结OD、 CD，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠ EDC＝90°，
∵DE∥OA，
∴OA⊥CD，
∴OA垂直均分 CD，
∴OD＝OC，
∴OD＝OE，
∴∠ OED＝∠ ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ ODE＝∠ AOD，∠ DEO＝∠ AOC，∴∠ AOD＝∠ AOC，
∵AC是切线，∴∠
ACB＝90°，在△
AOD和△ AOC中
∴△ AOD≌△ AOC（ SAS），
∴∠ ADO＝∠ ACB＝90°，
∵ OD是半径，
∴ AB是⊙ O的切线；
（ 2）解：连结OD， CD，
三．解答题（共7 小题）
19．（ 1）证明：连结OD、 CD，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠ EDC＝90°，
∵DE∥OA，
∴OA⊥CD，
∴OA垂直均分 CD，
∴OD＝OC，
∴OD＝OE，
∴∠ OED＝∠ ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ ODE＝∠ AOD，∠ DEO＝∠ AOC，∴∠ AOD＝∠ AOC，
∵AC是切线，∴∠
ACB＝90°，在△
AOD和△ AOC中
∴△ AOD≌△ AOC（ SAS），
∴∠ ADO＝∠ ACB＝90°，
∵ OD是半径，
∴ AB是⊙ O的切线；
（ 2）解：连结OD， CD，
三．解答题（共7 小题）
19．（ 1）证明：连结OD、 CD，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠ EDC＝90°，
∵DE∥OA，
∴OA⊥CD，
∴OA垂直均分 CD，
∴OD＝OC，
∴OD＝OE，
∴∠ OED＝∠ ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ ODE＝∠ AOD，∠ DEO＝∠ AOC，∴∠ AOD＝∠ AOC，
∵AC是切线，∴∠
ACB＝90°，在△
AOD和△ AOC中
∴△ AOD≌△ AOC（ SAS），
∴∠ ADO＝∠ ACB＝90°，
∵ OD是半径，
∴ AB是⊙ O的切线；
（ 2）解：连结OD， CD，
三．解答题（共7 小题）
19．（ 1）证明：连结OD、 CD，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠ EDC＝90°，
∵DE∥OA，
∴OA⊥CD，
∴OA垂直均分 CD，
∴OD＝OC，
∴OD＝OE，
∴∠ OED＝∠ ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ ODE＝∠ AOD，∠ DEO＝∠ AOC，∴∠ AOD＝∠ AOC，
∵AC是切线，∴∠
ACB＝90°，在△
AOD和△ AOC中
∴△ AOD≌△ AOC（ SAS），
∴∠ ADO＝∠ ACB＝90°，
∵ OD是半径，
∴ AB是⊙ O的切线；
（ 2）解：连结OD， CD，。