【2022】甘肃省兰州市中考数学模拟试卷(含答案解析)

甘肃省兰州市中考数学模拟检测试卷
（含答案）
（时间120分钟满分：150分）
一．选择题（共15小题，满分60分，每小题4分）
1．（4分）若x===，则x等于（）
A．﹣1或B．﹣1 C．D．不能确定
2．（4分）如图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从左面看几何体得到的图形是（）
A．B．C．D．
3．（4分）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）
A．24m B．22m C．20m D．18m
4．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，BD为⊙O的直径，则BD等于（）
A．4 B．6 C．8 D．12
（4分）根据下表，确定方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是（）5．
x 2 2.23 2.24 2.25
ax2+bx+c ﹣0.05 ﹣0.02 0.03 0.07
A．2＜x＜2.23 B．2.23＜x＜2.24
C．2.24＜x＜2.25 D．2.24＜x≤2.25
6．（4分）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：
①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；
②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；
③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
7．（4分）下列说法不正确的是（）
A．频数与总数的比值叫做频率
B．频率与频数成正比
C．在频数分布直方图中，小长方形的面积是该组的频率
D．用样本来估计总体，样本越大对总体的估计就越精确
8．（4分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，O为对角线AC的中点，点P、Q分别从A和B两点同时出发，在边AB和BC上匀速运动，并且同时到达终点B、C，连接PO、QO并延长分别与CD、DA交于点M、N．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（）
A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大D．先增大后减小9．（4分）抛物线y=x2+4x+5是由抛物线y=x2+1经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（）
A．向左平移1个单位B．向左平移2个单位
C．向右平移1个单位D．向右平移2个单位
10．（4分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）
A．x（x+1）=1035 B．x（x﹣1）=1035×2
C．x（x﹣1）=1035 D．2x（x+1）=1035
11．（4分）方程x2+3x﹣1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数
的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x2+2x﹣1=0的实数根x0所在的范围是（）
A．﹣1＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜2 D．2＜x0＜3
12．（4分）如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为（）cm2．（结果保留π）
A．B．C．D．
13．（4分）如图，一个斜边长为10cm的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（）
A．60cm2B．50cm2C．40cm2D．30cm2
14．（4分）如图，两个全等的长方形ABCD与CDEF，旋转长方形ABCD 能和长方形CDEF重合，则可以作为旋转中心的点有（）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
15．（4分）如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，BC=2cm，∠A=30°，四边形DEFG为矩形，，EF=6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合．Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG 的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止．设Rt△ABC与矩形DEFG 的重叠部分的面积为ycm2，运动时间xs．能反映ycm2与xs之间函数关系的大致图象是（）
A．B．
C．D．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
16．（4分）如图所示，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=4，OB=2，点B 在反比例函数y=图象上，则图中过点A的双曲线解析式是．
17．（4分）如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图
形，且位似比为，若五边形ABCDE的面积为18cm2，周长为21cm，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为cm2，周长为cm．
18．（4分）抛物线y=﹣2x2+6x﹣1的顶点坐标为．
19．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD 成为正方形，还需添加的一个条件是（只需添加一个即可）
20．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABCO的顶点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，2），动点P在直线y=x上运动，以点P 为圆心，PB长为半径的⊙P随点P运动，当⊙P与四边形ABCO的边OA所在直线相切时，P点的坐标为．
三．解答题（共8小题，满分70分）
21．（10分）计算：（π+）0+﹣2sin60°﹣（）﹣2．
22．（6分）在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一
点作这条直线的垂线“的尺规作图过程：
已知：直线l和l外一点P．
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图：（1）在直线l上任取两点A、B；
（2）分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．
参考以上材料作图的方法，解决以下问题：
（1）以上材料作图的依据是：
（2）已知，直线l和l外一点P，
求作：⊙P，使它与直线l相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
23．（7分）正四面体各面分别标有数字1、2、3、4，正六面体各面分别标有数字1、2、3、4、5、6，同时掷这两个正多面体，并将它们朝下面上的数字相加．
（1）请用树状图或列表的方法表示可能出现的所有结果；
（2）求两个正多面体朝下面上的数字之和是3的倍数的概率．
24．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，3），反比例函数y=的图象经过点D，点P是一次函数y=mx+3﹣4m（m≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点；
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算说明一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C；
（3）对于一次函数y=mx+3﹣4m（m≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围，（不必写过程）
25．（8分）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．
（1）求支架CD的长；
（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）
26．（10分）已知：矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上．
（1）如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；
（2）如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；
（3）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长．
27．（10分）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB 于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
（1）求证：AE•FD=AF•EC；
（2）求证：FC=FB；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．
28．（12分）在直角坐标平面内，直线y=x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y=﹣+bx+c经过点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．
（1）求上述抛物线的表达式；
（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC 的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；
（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．
答案
一．选择题（共15小题，满分60分，每小题4分）
1．【解答】解：∵x===，
∴当a+b+c≠0时，x==；
当a+b+c=0时，x===﹣1，
故选：A．
2．【解答】解：从左面看易得上面一层左边有1个正方形，下面一层有2个正方形．
故选：A．
3．【解答】解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．
由题意得：．（2分）
∴DF=DE×1.6÷2=14.4（m）．（1分）
∴GF=BD=CD=6m．（1分）
又∵．（2分）
∴AG=1.6×6=9.6（m）．（1分）
∴AB=14.4+9.6=24（m）．（1分）
答：铁塔的高度为24m．
故选：A．
4．【解答】解：∵∠BAC=120°，AB=AC=4
∴∠C=∠ABC=30°
∴∠D=30°
∵BD是直径
∴∠BAD=90°
∴BD=2AB=8．
故选：C．
5．【解答】解：∵对于函数y=ax2+bx+c，
当x=2.23时y＜0，
当x=2.24时y＞0，
可见，x取2.23与2.24之间的某一值时，y=0，
则方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是2.23＜x＜2.24．
故选：B．
6．【解答】解：①当x=1时，有若a+b+c=0，即方程有实数根了，∴△≥0，故错误；
②把x=﹣1代入方程得到：a﹣b+c=0 （1）
把x=2代入方程得到：4a+2b+c=0 （2）
把（2）式减去（1）式×2得到：6a+3c=0，
即：2a+c=0，故正确；
③方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
则它的△=﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0而方程ax2+bx+c=0的△=b2﹣4ac＞0，
∴必有两个不相等的实数根．故正确；
④若b=2a+c则△=b2﹣4ac=（2a+c）2﹣4ac=4a2+c2，
∵a≠0，
∴4a2+c2＞0故正确．
②③④都正确，故选C．
7．【解答】解：A、是频率的概念，正确；
B、是频率的性质，正确；
C、在频数分布直方图中，小长方形的面积是该组的频数，错误；
D、用样本来估计总体，样本越大对总体的估计就越精确，正确．
故选：C．
8．【解答】解：连接BD，则BD过点O，
∵O是AC的中点，
∴S△AOB=S△BOC=S△AOD=S△COD=S矩形ABCD，
开始时，如图1，S阴影=S△AOB+S△COD=S矩形ABCD，
点P到达AB的中点，点Q到达BC的中点时，如图2，
S阴影=S矩形ABCD，
结束时，如图3，S阴影=S△BOC+S△AOD=S矩形ABCD，
∴在这个运动过程中，图中的阴影部分面积大小变化情况是：先减小
后增大．
故选C．
9．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，1），新抛物线的顶点为（﹣2，1），
∴是抛物线y=x2+1向左平移2个单位得到，
故选：B．
10．
【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=1035．
故选：C．
11．
【解答】解：方程x2+2x﹣1=0的实数根可以看作函数y=x+2和y=的交点．
函数大体图象如图所示：
A．由图可得，第三象限内图象交点的横坐标小于﹣2，故﹣1＜x0＜0错误；
B．当x=1时，y1=1+2=3，y2==1，而3＞1，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于1，故0＜x0＜1正确；
C．当x=1时，y1=1+2=3，y2==1，而3＞1，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于1，故1＜x0＜2错误；
D．当x=2时，y1=2+2=4，y2=，而4＞，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于2，故2＜x0＜3错误．
故选：B．
12．
【解答】解：如图，连接BO，CO，OA．
由题意得，△O BC，△AOB都是等边三角形，
∴∠AOB=∠OBC=60°，
∴OA∥BC，
∴△OBC的面积=△ABC的面积，
∴图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积=．故选：C．
13．
【解答】解：如图，∵正方形的边DE∥CF，
∴∠B=∠AED，
∵∠ADE=∠EFB=90°，
∴△ADE∽△EFB，
∴===，
∴=，
设BF=3a，则EF=5a，
∴BC=3a+5a=8a，
AC=8a×=a，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即（a）2+（8a）2=（10+6）2，
解得a2=，
红、蓝两张纸片的面积之和=×a×8a﹣（5a）2，
=a2﹣25a2，
=a2，
=×，
=30cm2．
故选：D．
14．
【解答】解：根据长方形的性质，对角线互相平分且相等，所以对角线的交点是长方形的对称中心；
故长方形ABFE的对称中心是其对角线的交点，即CD的中点；进而可得：可以作为旋转中心的点只有CD的中点．
故选：A．
15．
【解答】解：已知∠C=90°，BC=2cm，∠A=30°，
∴AB=4，
由勾股定理得：AC=2，
∵四边形DEFG为矩形，∠C=90，
∴DE=GF=2，∠C=∠DEF=90°，
∴AC∥DE，
此题有三种情况：（1）当0＜x＜2时，AB交DE于H，
如图
∵DE∥AC，
∴=，
即=，
解得：EH=x，
所以y=•x•x=x2，
∵x y之间是二次函数，
所以所选答案C错误，答案D错误，
∵a=＞0，开口向上；
（2）当2≤x≤6时，如图，
此时y=×2×2=2，
（3）当6＜x≤8时，如图，设△ABC的面积是s1，△FNB的面积是
s2，
BF=x﹣6，与（1）类同，同法可求FN=X﹣6，
∴y=s1﹣s2，
=×2×2﹣×（x﹣6）×（X﹣6），
=﹣x2+6x﹣16，
∵﹣＜0，
∴开口向下，
所以答案A正确，答案B错误，
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
16．
【解答】解：设点B的坐标是（m，n），
因为点B在函数y=的图象上，则mn=2，
则BD=n，OD=m，则AC=2m，OC=2n，
设过点A的双曲线解析式是y=，A点的坐标是（﹣2n，2m），把它代入得到：2m=，
则k=﹣4mn=﹣8，
则图中过点A的双曲线解析式是y=﹣．
故答案为：y=﹣．
17．
【解答】解：五边形A′B′C′D′E′的面积=18×=8cm2；五边形A′B′C′D′E′的周长=21×=14cm．
18．
【解答】解：∵y=﹣2x2+6x﹣1
=﹣2（x﹣）2+
∴顶点的坐标是（）
故填空答案：（）．
19．
【解答】解：条件为∠ABC=90°或AC=BD，
理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°或AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．
20．
【解答】解：∵C（﹣3，2），
∴直线OC的解析式为y=﹣x，
∵直线OP的解析式为y=x，
∵﹣×=﹣1，
∴OP⊥OC，
①当⊙P与BC相切时，∵动点P在直线y=x上，
∴P与O重合，此时圆心P到BC的距离为OB，
∴P（0，0）．
②如图1中，当⊙P与OC相切时，则OP=BP，△OPB是等腰三角形，作PE⊥y轴于E，则EB=EO，易知P的纵坐标为1，可得P（，1）．
③如图2中，当⊙P与OA相切时，则点P到点B的距离与点P到x 轴的距离相等，可得x，
解得x=3+或3﹣，
∵x=3+＞OA，
∴⊙P不会与OA相切，
∴x=3+不合题意，
∴P（3﹣，）．
④如图3中，当⊙P与AB相切时，设线段AB与直线OP的交点为G，此时PB=PG，
∵OP⊥AB，
∴∠BGP=∠PBG=90°不成立，
∴此种情形，不存在P．
综上所述，满足条件的P的坐标为（0，0）或（，1）或（3﹣，）．
故答案为：（0，0）或（，1）或（3﹣，）．
三．解答题（共8小题，满分70分）
21．
【解答】解：原式=1+2﹣2×﹣4=﹣3．
22．
【解答】解：（1）以上材料作图的依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
（2）如图．
23．
【解答】解：（1）
（2）共有24种情况，和为3的倍数的情况是8种，所以
．
24．
【解答】解：（1）∵B（4，1），C（4，3），
∴BC∥y轴，BC=2，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，AD∥y轴，而A（1，0），
∴D（1，2），
∴由反比例函数y=的图象经过点D，可得k=1×2=2，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）∵在一次函数y=mx+3﹣4m中，当x=4时，y=4m+3﹣4m=3，
∴一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C（4，3）；
（3）点P的横坐标的取值范围：＜x＜4．
如图所示，过C（4，3）作y轴的垂线，交双曲线于E，作x轴的垂线，交双曲线于F，
当y=3时，3=，即x=，
∴点E的横坐标为；
由点C的横坐标为4，可得F的横坐标为4；
∵一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C（4，3），且y随x的增大而增大，
∴直线y=mx+3﹣4m与双曲线的交点P落在EF之间的双曲线上，
∴点P的横坐标的取值范围是＜x＜4．
25．
【解答】解：（1）在Rt△CDE中，∠CDE=30°，DE=80cm，
∴CD=80×cos30°=80×=40（cm）．
（2）在Rt△OAC中，∠BAC=30°，AC=165cm，
∴OC=AC×tan30°=165×=55（cm），
∴OD=OC﹣CD=55﹣40=15（cm），
∴AB=AO﹣OB=AO﹣OD=55×2﹣15=95（cm）．
26．
【解答】解：（1）∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，∴△AME≌△PME．
∴∠AEM=∠PEM，AE=PE．
∵ABCD是矩形，
∴AB⊥BC．
∵EP⊥BC，
∴AB∥EP．
∴∠AME=∠PEM．
∴∠AEM=∠AME．
∴AM=A E，
∵ABCD是矩形，
∴AB∥DC．
∴．
∴CN=CE，
设CN=CE=x．
∵ABCD是矩形，AB=4，BC=3，
∴AC=5．
∴PE=AE=5﹣x．
∵EP⊥BC，
∴=sin∠ACB=．∴，
∴x=，
即CN=
（2）∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，∴△AME≌△PME．
∴AE=PE，AM=PM．
∵EP⊥AC，
∴．
∴．
∵AC=5，
∴AE=，CE=．
∴PE=，
∵EP⊥AC，
∴PC==．
∴PB=PC﹣BC=，
在Rt△PMB中，∵PM2=PB2+MB2，AM=PM．
∴AM2=（）2+（4﹣AM）2．
∴AM=；
（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，根据勾股定理得，AC=5，
由折叠知，AE=PE，
由三角形的三边关系得，PE+CE＞PC，
∴AC＞PC，
∴PC＜5，
∴点E是AC中点时，PC最小为0，当点E和点C重合时，PC最大为AC=5，
∴0≤CP≤5，
如图，当点C，N，E重合时，PC=BC+BP=5，
∴BP=2，
由折叠知，PM=AM，
在Rt△PBM中，PM=4﹣BM，根据勾股定理得，PM2﹣BM2=BP2，
∴（4﹣BM）2﹣BM2=4，
∴BM=，
在Rt△BCM中，根据勾股定理得，MN==．
当CP最大时MN=，
27．
【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠DBA=90°，
∵CH⊥AB，
∴CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，
∴=，
∴AE•FD=AF•EC．
（2）证明：连接OC，BC，
∵CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，
∴=， =，
∴==，
∵CE=EH（E为CH中点），
∴BF=DF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠DCB=90°，
∵BF=DF，
∴CF=DF=BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），即CF=BF．
（3）解：连接OF，
∵FE=FB=2，
∴FC=FE=2，
∴∠FEC=∠FCE，
∵∠FCE+∠G=∠FEC+∠FAB=90°，
∴∠FAB=∠G，
∴FA=FG，
∴AB=BG，
∵AO=OB，
∴OF∥AC，
∴==3，
∴FG=3FC=6，
∴由勾股定理得：BG=4，
∴OA=OB=AB=BG=2，
即⊙O的半径r的长为2．
28．
【解答】解：（1）当y=0时， x+2=0，解得x=﹣4，则A（﹣4，0）；当x=0时，y=x+2=2，则C（0，2），
把A（﹣4，0），C（0，2）代入y=﹣+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣﹣x+2；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，如图1，
当y=0时，﹣﹣x+2=0，解得x1=﹣4，x2=1，则B（1，0）
设E（x， x+2），
∵S△ABC=•（1+4）•2=5，
而△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，
∴S△AEB=4，
∴•（1+4）•（x+2）=4，解得x=﹣，
∴E（﹣，），
∴BH=1+=，
在Rt△BHE中，cot∠EBH===，
即∠DBA的余切值为；
（3）∠AOC=∠DFC=90°，
若∠DCF=∠ACO时，△DCF∽△ACO，
如图2，过点D作DG⊥y轴于点G，过点C作CQ⊥DC交x轴于点Q，∵∠DCQ=∠AOC，
∴∠DCF+∠ACQ=90°，即∠ACO+∠ACQ=90°，
而∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠ACQ=∠CAO，
∴QA=QC，
设Q（m，0），则m+4=，解得m=﹣，
∴Q（﹣，0），
∵∠QCO+∠DCG=90°，∠QCO+∠CQO=90°，
∴∠DCG=∠CQO，
∴Rt△DCG∽Rt△CQO，
∴=，即===，
设DG=4t，CG=3t，则D（﹣4t，3t+2），
把D（﹣4t，3t+2）代入y=﹣﹣x+2得﹣8t2+6t+2=3t+2，
整理得8t2﹣3t=0，解得t1=0（舍去），t2=，
∴D（﹣，）；
当∠DCF=∠CAO时，△DCF∽△CAO，则CD∥AO，
∴点D的纵坐标为2，
把y=2代入y=﹣﹣x+2得﹣﹣x+2=2，解得x1=﹣3，x2=0（舍去），
∴D（﹣3，2），
综上所述，点D的坐标为（﹣，）或（﹣3，2）．。