武汉科技大学2012-2013-2线性代数(本科)A卷

2012-2013-2线性代数期末试卷(本科A)
考试方式：闭卷统考 考试时间：2013.5.25
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1.A 是m k ⨯矩阵，B 是k t ⨯矩阵，若B 的第j 列元素全等于零，则下列结论正确的是﹝ ﹞.
A. AB 的第j 行元素全等于零；
B. AB 的第j 列元素全等于零；
C. BA 的第j 行元素全等于零；
D. BA 的第j 列元素全等于零.
2.设()1413121124232221443433323144
434241,ij a a a a a a a a A a B a a a a a a a a ⨯⎛⎫ ⎪
⎪== ⎪
⎪
⎝⎭；100010100,00101000P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 21000001001000001P ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，(其中A 可逆)，则1B -=（ ）.
A. 112A PP -；
B. 112PP A -；
C. 112P A P -；
D. 1
21P A P -. 3. A 为3阶方阵，且1A =-,则1*(2)A A --=（ ）.
A ．27; B. -27; C. 3; D. -3.
4．111212122212.....................n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,且0i a ≠(1,2,,)i n = ，0(1,2,,)j b j n ≠= ，则0
Ax =的基础解系中含有（ ）个向量.
A.1n -；
B.n ；
C.1；
D.不确定.
5. 当(,,)a b c 满足（ ）时，二次型22212312
313(,,)2f x x x ax bx ax cx x =+++为正定二次型。

A. 0,0a b c >+>;
B. 0,0a b >>;
C. ,0a c b >>;
D. ,0a c b >>.
二、填空题（每小题3分，共15分）
6. 设121,,432x A B y ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当x 与y 满足 时,有AB BA =. 7. 行列式22
22111
a a
b b a a b b += ;
8. 设A 为n 阶方阵，若A 与n 阶单位矩阵等价，则方程组Ax b =有 ;
9. 矩阵1234234534564567A ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，则A 的秩为 ;
10. 实二次型()22212311223,,23f x x x x x x tx x =+++，当t = 时，其秩为2.
三、解答题（每小题10分，共60分）
11. 计算行列式
11
230101302
3
1
2
11
----。

12. 设,A B 为三阶矩阵，满足2AB E A B -=+，E 为三阶单位矩阵，又
101020101A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵B 。

13. 求矩阵111111x A x x ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
的秩。

14. 问,a b 取何值时，向量()1,2,T b β=可由向量组()11,1,2T α=，()22,3,3T
α=，
()33,6,T
a α=（1）唯一的线性表示， （2）无穷多的线性表示， （3）不能线性表示。

15. 设1234023400340
004A ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪
⎪
⎝⎭
，求()1
*A -。

16. 设1
020
14522A a a a ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪+--⎝⎭
，问A 能否对角化。

四、证明题（每小题5分，共10分）
17.设,A B 为n 阶实对称矩阵，若有正交矩阵T 使得11,T AT T BT --同为对角阵，证明：
AB BA =.
18. 设向量组12:,,,L A ααα 和向量组12:,,,,S B βββ 的秩分别为p 和q ，试证明：若A 可由B 线性表示，则p q ≤。