随机走动-附matlab程序仿真

信息与随机性报告
随机走动
（1）随机走动回到零点的概率
a.一维随机走动：假设有一只青蛙，它处在一维坐标系的零点处，有1/2的概率向左跳，有1/2的概率往右跳。

向左跳，坐标减1，向右跳，坐标加1。

进行10000次试验，青蛙走的最大步数为10000。

程序;
clear all
clc;
b=0;
for i=1:10000;
a=0;
for j=1:10000
x=rand;
if x>0.5
a=a+1;
else
a=a-1;
end
if a==0;
pp=j;
b=b+1;
break;
end
end
end
return1=b/10000;%返回的概率
运行结果：
返回的概率为99.12%，因此可以认为，一维随机走动一定会回到原点。

b.二维随机走动：假设青蛙处在二维坐标系中，每一次走动它向上向下向左向右移动的概率均为1/4，考虑它能回到原点的概率。

进行1000次试验，青蛙走的最大步数为1000000。

程序：
clear all
clc;
total=0;
for i=1:1000;
a=0;
b=0;
for j=1:1000000
x=rand;
y=rand;
if x>0.5;
x=1;
else
x=-1;
end
if y>0.5
a=a+x;
else
b=b+x;
end
if a==0 && b==0;
pp=j;
total=total+1;
break;
end
end
end
return2=total/1000;%返回的概率
运行结果：
可以看到，青蛙回到原点的概率为97.63%，因此可以认为在二维随机走动中，青蛙一定是可以回到原点的。

c.三维随机走动：假设青蛙处在三维坐标系中，每一次走动它移动的方向有八个，每个方向的概率为1/8，考虑它能回到原点的概率。

进行1000次试验，青蛙走的最大步数为100000。

程序：
clear all
clc;
total=0;
for i=1:1000;
a=0;
b=0;
c=0;
for j=1:100000
x=rand;
y=rand;
if x>0.5;
x=1;
else
x=-1;
end
if y>0.667
a=a+x;
else if y>0.333
b=b+x;
else
c=c+x;
end
end
if a==0 && b==0 &&c==0;
pp=j;
total=total+1;
break;
end
end
end
return3=total/100;%返回的概率
运行结果：
可以看到，在这种情况下，青蛙回到原点的概率为33.8%。

与前两种情况不同，青蛙不一定会回到原点，当增加青蛙最大步数的时候，回到原点的概率依然在34%左右。

（2）一维随机走动回到原点所需的步数
在（1）中我们知道了一维随机走动是一定会回到原点的，现在继续研究回到原
点所需要的步数。

通过对程序的测试，发现当随机走动的步数控制在100以内时，青蛙总能回到原点。

因此设置最大步数为100，进行10000次试验，统计青蛙第一次回到原点时的步数。

程序：
clear all
clc;
for i=1:10000;
a=0;
for j=1:100
x=rand;
if x>0.5
a=a+1;
else
a=a-1;
end
if a==0;
pp=j;
break;
end
end
y(i)=pp;
end
t=tabulate(y)
q=t(:,1);
p=t(:,3);
k=t(:,2);
stem(q,p);xlabel('步数');ylabel('次数');title('一维随机走动')
运行结果：
可以看出：
1. 青蛙在第二步时回来的概率最大，并且超过50%。

2. 青蛙在偶数步时有可能回来，奇数步时无法回来。

3. 在30步以内，青蛙回来的概率大于5%，可以认为青蛙一定回到原点。

（3） 一维随机走动的均方差与均值
青蛙的停留位置与走动的步数有关，在这里我们观察与统计青蛙走动偶数步时停留位置的均方差与均值。

给定走动的步数从2到100，每种步数进行10000次试验，统计最终停留位置的均方差与均值。

程序：
clear all
clc;
for k=1:50
for i=1:10000;
a=0;
for j=1:k*2
x=rand;
if x>0.5
a=a+1;
else
01000
2000
3000
4000
5000
6000
步数次数一维随机走动
a=a-1;
end
end
y(i)=a;
end
junfang=var(y);
junzhi=mean(y);
dd(k)=sqrt(junfang);
ff(k)=junzhi;
end
k=2:2:100;
stem(k,dd);
figure(2);stem(k,ff);
结果：
010********
60708090100
01
2
3
4567
8
9
10
停留位置的均方差步数
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
010********
60708090100
-0.2-0.15
-0.1
-0.05
00.050.1
0.15
0.2
停留位置的均值步数。