重庆市江津中学校2018届高三4月月考数学(文)试题+Word版含解析

数学（文史类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】选C.2. 记为等差数列的前项和，若则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，由等差数列的性质可得：，该数列的公差：，故.本题选择B选项.3. 函数，在区间上任取一点，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：求出不等式f（x0）≥的解，利用几何概型的概率公式即可得到结论．详解：若f（x）≥，即sinx≥，解得，则在区间[0，π]上任取一点x0，则f（x0）≥的概率P==,故选：A．点睛：本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．4. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意易得：，，，∴故选：C5. ①已知是三角形一边的边长，是该边上的高，则三角形的面积是，如果把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，则①、②两个推理依次是（）A. 类比推理、归纳推理B. 类比推理、演绎推理C. 归纳推理、类比推理D. 归纳推理、演绎推理【答案】A【解析】试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．详解：①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；②由特殊到一般，故推理为归纳推理．故选：A．点睛：本题考查的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，熟练掌握三种推理方式的定义及特征是解答本题的关键．6. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】观察三视图可知，这个几何体是挖去个底面圆半径为，高为的圆锥的边长为的正方体，所以几何体的体积是正方体的体积减去个圆锥的体积，即几何体的体积.故本题正确答案为7. 设满足约束条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据分式的特点将分式转化为斜率形式，利用数形结合即可得到结论．详解：设z=,设k=，则k的几何意义为动点P（x，y）到定点D（﹣1，﹣1）的斜率．即z=1+2k，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当P位于直线OA上，斜率k最小为1，当Pw位于B（0，4）时，斜率k最大为5，即1≤k≤5，则3≤1+2k≤11，即的取值范围是[3，11]，故选：A．点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）；(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.8. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前 1 0第一圈 2 2 是第二圈 3 7 是第三圈 4 18 是第四圈 5 41 是第五圈 6 88 否故退出循环的条件应为k＞5？故答案选C．考点：程序框图．9. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为圆C的方程可化为：(x－4)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(4,0)，半径为1.依题意知直线y＝kx＋2上至少存在一点A(x0，kx0＋2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，所以存在x0∈R，使得|AC|≤1＋1成立，即|AC|min≤2.因为|AC|min即为点C到直线y＝kx＋2的距离.所以≤2，解得－≤k≤0，所以k 的最小值为－.10. 已知函数的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向右平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】B【解析】，因为函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，所以函数的最小正周期为，而，，故的图象可看作是的图象向右平移个单位而得，故选B.11. 如图，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，为双曲线的顶点，为双曲线虚轴的端点，为右焦点，延长与交于点，若是锐角，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据∠B1PB2为与夹角，并分别表示出与，由∠B1PB2为钝角，.＜0，得ac﹣b2＜0，利用椭圆的性质，可得到e2-e﹣1>0，即可解得离心率的取值范围．详解：如图所示，∠B1PB2为与的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，=（a，b），=（c，﹣b），∵向量的夹角为钝角时，.＜0，∴ac﹣b2＜0，又b2=-a2+c2，∴a2+ac-c2＞0；两边除以a2得e2-e﹣1>0，解得e的范围为，又∵1＜e＜，∴1＜e＜，故选：C．点睛：本题主要考查双曲线的定义及几何性质，以双曲线为载体，通过利用导数研究的单调性，考查逻辑思维能力、运算能力以及数形结合思想．双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．12. 设函数在区间的导函数为在区间的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”，已知，若对任意的实数满足时，函数在区间上为“凸函数”，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由于，所以，因为在区间上为“凸函数”，所以在区间上恒成立，对时恒成立，即对恒成立，所以，解得，其对应的可行域如下图所示，则的最大值是，故选C.考点：1、导数在函数研究中的应用；2、线性规划.【方法点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用以及线性规划方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：根据题目条件首先对函数进行两次求导，列出关于的不等式组，并且将上述不等式组转换成关于未知数上的不等式，进而得到关于的不等式，再结合线性规划即可求得的最大值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若与平面向量方向相反的单位向量为，则的坐标为__________．【答案】【解析】试题分析：平面向量与方向相反，设=k（﹣1，2），（k＜0），根据|，解得k．详解：平面向量与方向相反，设=k（﹣1，2），（k＜0），∵|，∴，解得k=．则=，故答案为：．点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.14. 已知是上的减函数，那么的取值范围是__________．【答案】【解析】因为函数f(x)=在区间内是减函数，那么可以每一段都是递减的，可知3a-1<0,0<a<1,3a-1+4a,可知实数a的范围是15. 已知四面体中，其外接球的体积为，则该四面体的棱__________．【答案】【解析】试题分析：在△ABC中，由余弦定理得BC=3，故Rt△DAC，Rt△DBC有公共斜边DC，取DC中点O，则有OD=OC=OA=OB，即有O为球心．由外接球体积为，得球半径R=2，，解得AD=2．详解：如图，在△ABC中，由余弦定理得BC==3,满足AC2=AB2+BC2，∴AB⊥BC∵∠BAD=∠CAD=90°，∴DA⊥面ABC∴BC⊥面DAB，即BC⊥BD．故Rt△DAC，Rt△DBC有公共斜边DC，取DC中点O，则有OD=OC=OA=OB，∴O为球心．由外接球体积为，得球半径R=2，，解得AD=2故答案为：2点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.16. 已知函数，若的图象与轴有个不同的交点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】试题分析：化简，从而化g（x）=|f（x）|﹣ax﹣a的图象与x轴有3个不同的交点为函数|f（x）|与函数y=ax+a的图象有3个不同的交点；作函数的图象，由数形结合求实数a的取值范围．详解：∵，∴|f（x）|=，∵g（x）=|f（x）|﹣ax﹣a的图象与x轴有3个不同的交点，∴函数|f（x）|与函数y=ax+a的图象有3个不同的交点；作函数|f（x）|与函数y=ax+a的图象如下，图中A（﹣1，0），B（2，ln3），故此时直线AB的斜率k=；当直线AB与f（x）=ln（x+1）相切时，设切点为（x，ln（x+1））；则=,解得，x=e﹣1；此时直线AB的斜率k=；结合图象可知，≤a＜；故答案为：≤a＜．点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角所对的边分别为，已知.（1）求角；（2）若点在边上，且的面积为，求边的长.【答案】(1)；(2).【解析】【试题分析】（1）利用正弦定理，将边转化为角，利用三角形内角和定理可求得，故.（2）利用三角形面积公式和余弦定理可求得的值.【试题解析】（1）由及正弦定理可得，故，而，所以，即（2）由及可得是正三角形.由的面积为可得，即，故，在中，由余弦定理可得，即.18. 某机构组织语文、数学学科能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一二三等奖.现有某考场的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中数学科目成绩为二等奖的考生有人.（1）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；（2）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的学生中各抽取人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图，求样本的平均数及方差并进行比较分析；（3）已知本考场的所有考生中，恰有人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率.【答案】(1)4人；(2)答案见解析；(3).【解析】试题分析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生人数及频率，可求得总人数，再利用对立事件的概率公式求出该考场考生中语文成绩为一等奖的频率，与总人数相乘即可得结果（Ⅱ）分别利用平均值公式与方差公式求出数学和语文二等奖的学生两科成绩的平均值与方差，可得数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差；（Ⅲ）利用列举法求得随机抽取两人的基本事件个数为个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共个，利用古典概型概率公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生有人，可得，所以语文成绩为一等奖的考生人（Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为，，，,,因为,，所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差.（Ⅲ）两科均为一等奖共有人，仅数学一等奖有人，仅语文一等奖有人----9分...............19. 如图，四棱锥的底面是直角梯形，，点在线段上，且平面.（1）求证：平面平面；（2）当四棱锥体积最大时，求四棱锥的表面积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【试题分析】（1）利用结合直角梯形，可知四边形是矩形，故，由于平面，所以，故平面.由此证得平面平面.（2）根据体积公式计算得，即只需取得最大值.利用基本不等式可求得的最大值为，再通过体积公式可计算得表面积.【试题解析】（1）由可得，易得四边形是矩形，∴，又平面，平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴平面平面（2）四棱锥的体积为，要使四棱锥的体积取最大值，只需取得最大值.由条件可得，∴，即，当且仅当时，取得最大值36.，，，，则，∴，则四棱锥的表面积为.20. 已知椭圆的左右顶点分别为点坐标为为椭圆上不同于的任意一点，且满足.（1）求椭圆的方程.（2）设为椭圆的右焦点，直线与椭圆的另一角度为的中点为，若，求直线的斜率.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）设，由两点的坐标及可得椭圆的方程；（2）由题可知，斜率一定存在且，设过焦点的直线方程为，设，，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理即可求出点的坐标，根据，结合椭圆的焦半径公式可得，根据题设条件，即可算出直线的斜率.试题解析：(1)设，∴，∴，整理得：，∵、两点在椭圆上∴椭圆的方程为.(2)由题可知，斜率一定存在且，设过焦点的直线方程为，设，，.联立，则，∴∴，∴，∵，又∵∴∴∴∴.点睛：用代数法解直线与圆锥曲线综合问题时，注意以下几点：（1）设直线方程时，若不知直线的斜率存在与否，则需进行讨论，分斜率不存在和斜率存在两种情况；（2）解题过程中，由于计算量较大，故解题中注意“设而不求”、“整体代换”、“韦达定理”等思想方法的运用，以简化运算，提高解题的效率，另外，对于求出的参数的值，要判断是否满足判别式的要求，这一点容易忽视，本题在求弦长问题时，可直接利用焦半径公式.21. 已知函数（是自然对数的底数）的最小值是.（1）求实数的值；（2）若存在，使得不等式成立，求正整数的最小值.【答案】(1)2；(2)2.【解析】试题分析：（1）根据题干表达式对函数求导研究函数单调性，得到，令，求得a值即可；（2），变形得，构造函数求导研究函数的单调性求得最值即可.详解：（Ⅰ）对求导可得，，于是由解得，由解得，在上单调递减，在上单调递增，，令，则，由知，于是函数在单调递减，又，的值是．（2）由（1）知，故，变形得．令函数，则．令函数，则，又，存在，使得．当，故在单调递减；当，故在单调递增．故．又，故，故，又，故，故正整数的最小值是.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）求已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值.【答案】(1)，；(2)或.【解析】试题分析: （Ⅰ）根据加减相消法将曲线参数方程化为普通方程，利用将曲线（Ⅱ）先将直线参数方程转化为（为参数，），再根据直线参数方程几何意义由得，最后将直线参数方程代入，利用韦达定理得关于的方程，解得的值.试题解析: （Ⅰ）曲线参数方程为,∴其普通方程，由曲线的极坐标方程为,∴∴,即曲线的直角坐标方程.（Ⅱ）设、两点所对应参数分别为，联解得要有两个不同的交点，则,即，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知，又由可得，即或∴当时，有，符合题意．当时，有，符合题意．综上所述，实数的值为或．23. 已知不等式.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）当a=1时，化简不等式，去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集；（2）化简函数为分段函数，画出函数的图象，然后求解即可．详解：（1）已知，可得当时，若，则，解得若，则，解得若，则，解得.综上得，所求不等式的解集为；（2）不妨设函数，则其过定点，如图所示，由（1）可得点，由此可得，即. 所以，所求实数的范围为.。