2020-2021学年江苏省淮安市某校高一(上)9月月考数学试卷(有答案) (2)

2020-2021学年江苏省淮安市某校高一（上）9月月考数学试卷
一、选择题
1. 设全集U={0,1,2,3}，集合A={2,3}，则∁U A=( )
A.{3}
B.{0,1}
C.{0,1,3}
D.{0,1,2}
2. 设命题p:∃n∈N，n2>2n−1，则命题p的否定为( )
A.∀n∈N，n2>2n−1
B.∀n∈N，n2≤2n−1
C.∃n∈N，n2≤2n−1
D.∃n∈N，n2=2n−1
3. 已知集合A={2,3,4}，集合B={m,m+2}，若A∩B={2}，则m=( )
A.0
B.2
C.4
D.1
4. 已知A={0,1,2}，B={4,5}，M={x|x=a+b,a∈A,b∈B}，则集合M的真子集个数为( )
A.32
B.31
C.16
D.15
5. “a<1”是“关于x的方程x2−3x+a=0有实数根”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
6. 若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A.a+c>b−c
B.ac2>bc2
C.c2
a−b
>0 D.(a−b)c2≥0
7. 已知命题“∃x∈R，使得x2+(2a−1)x+1<0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A.{a|−3
2≤a≤1
2
} B.{a|−1
2
<a<3
2
} C.{a|−1
2
≤a≤3
2
} D.{a|0<a<1}
8. 集合A，B的并集A∪B={1,2}，若A≠B，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对有( )
A.6个
B.7个
C.8个
D.9个
二、多选题
下列各式中正确的是( )
A.{0}∈{0,1,2}
B.{0,1,2}⊆{2,1,0}
C.⌀⊆{0,1,2}
D.{0,1}⊆{(0,1)}
下列命题中的真命题是( )
A.a+b=0的充要条件是a
b
=1
B.a>1，b>1是ab>1的充分条件
C.命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”
D.由实数x，−x，|x|，√x2，√x3
3组成的集合中，元素最多有2个
若a>b>0，则下列不等式中一定不成立的有( )
A.b a >b+1
a+1
B.a+1
a
>b+1
b
C.a+1
b
>b+1
a
D.2a+b
a+2b
>a
b
取整函数：[x]=不超过x的最大整数，如[1.2]=1，[2]=2，[−1.2]=−2．取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取整函数”进行计费的．以下关于“取整函数”的性质是真命题的有( )
A.∀x∈R，[2x]=2[x]
B.∃x∈R，[2x]=2[x]
C.∀x，y∈R，若[x]=[y]，则x−y<1
D.∀x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y]
三、填空题
设全集U=R，集合A={3,−1}，B={m2−2m,−1}，且A=B，则实数
m=________．
若“−2≤x≤2”是“x≤a”的充分不必要条件，则a的最小值为________.
已知3≤x≤5，−2≤y≤−1，则x−y的取值范围是________.
有15人进家电超市，其中有8人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有2人，则这两种都没买的有________人．
四、解答题
已知全集U=R，集合A={x|x>4}，B={x|−6<x<6}．
(1)求A∩B和A∪B；
(2)定义A−B={x|x∈A, 且x∉B}，求A−B，A−(A−B)．
已知1≤a−b≤2且2<a+b<4，求4a−2b的取值范围．
设全集为R，A={x|2≤x<4}，B={x|3x−7≥8−2x}．
(1)求A∪(∁R B)；
(2)若C={x|a−1≤x≤a+3}，A∩C=A，求实数a的取值范围．
已知集合A={x|2a−3<x<3a+1}，集合B={x|−5<x<4}．
(1)若A⊆B，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使得A=B？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
已知全集为R，集合P={x|2≤x≤10}，集合Q={x|x<a或x>2a+1}(a>0)．(1)若x∈P是x∈Q的充分不必要条件，求a的取值范围；
(2)若P∩(∁R Q)≠⌀，求实数a的取值范围．
已知命题p:∀x∈(0，1)，x+m−1<0，命题q:∀x∈(0，+∞)，mx2+4x−1≠0，若p真、q假，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省淮安市某校高一（上）9月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
补集及其运算
【解析】
没有作答
全集中去掉A中的元素，剩下的就是A的补集的元素，所以选B
【解答】
解：∵ 全集U={0,1,2,3}，集合A={2,3}，
∴∁U A={0,1}.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】
解：因为特称命题的否定是全称命题，命题p:∃n∈N，n2>2n−1，
则命题p的否定为：∀n∈N，n2≤2n−1．
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
集合关系中的参数取值问题
交集及其运算
【解析】
没有作答
由已知条件可得2∈B，所以m=2或m+2=2，则m=0或m=2，
m=0时，B={0,2}，符合题目条件，m=2时B={2,4}，不符合题目条件，
所以m=0
【解答】
解：由已知条件可得2∈B，
所以m=2或m+2=2，则m=0或m=2，
m=0时，B={0,2}，A∩B={2}，符合；
m=2时，B={2,4}，A∩B={2,4}，不符合，
所以m=0.
故选A.
4.
【答案】
D
【考点】
子集与真子集的个数问题
【解析】
【解答】
解：根据题意可得，M={4，5，6，7}，有4个元素，
所以集合M的真子集个数为24−1=15.
故选D.
5.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
根的存在性及根的个数判断
【解析】
关于x的方程x2−3x+a=0有实数根，则Δ≥0，解得a范围，即可判断出结论．【解答】
，解：关于x的方程x2−3x+a=0有实数根，则Δ=9−4a≥0，解得a≤9
4
∴ “a<1”是“关于x的方程x2−3x+a=0有实数根”的充分不必要条件．
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，取a=3，b=1，c=−3，则a+c>b−c不成立；
B，c=0时不成立；
C，c=0时不成立；
D，∵a>b，c2≥0，∴(a−b)c2≥0，成立．
故选D．
7.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若命题”∃x ∈R ，使x 2+(2a −1)x +1<0”是假命题，
则函数f(x)=x 2+(2a −1)x +1的最小值大于等于0，
即4−(2a−1)24≥0，
解得：a ∈[−12，32].
故选C .
8.
【答案】
C
【考点】
子集与交集、并集运算的转换
【解析】
先将集合A 可能的情况依次列出，再分析集合B 对应的可能情况，注意不要漏数空集情况.
【解答】
解：当A ={1}时，B ={2}或{1,2}两种，
当A ={2}时，B ={1}或{1,2}两种，
当A ={1,2}时，B ={1}或{2}或⌀三种，
当A =⌀时，B ={1,2}一种，
共有八种，即(A,B)对有8个，
故选C .
二、多选题
【答案】
B,C
【考点】
集合的相等
集合的包含关系判断及应用
元素与集合关系的判断
【解析】
根据集合相等的定义和集合之间是包含关系以及空集是任何非空集合的真子集即作出判断．
【解答】
解：A ，是集合与集合的关系，“∈”表示元素与集合的关系，故错误；
B ，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集，故正确；
C ，空集是任何集合的子集，故正确；
D ， {0,1}是含两个元素0与1的集合，则{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，∴ {0,1}与{(0,1)}不相等，故错误；
故选BC ．
【答案】
B,C,D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的真假判断与应用
命题的否定
元素与集合关系的判断
【解析】
根据充要条件，充分条件，命题的否定和集合的元素逐项判断即可.
【解答】
解：若a=0且b=0，则a+b=0也成立，a
b
=1中b≠0，故A是假命题，不符合题意；
a>1，b>1是ab>1的充分条件，故B是真命题，符合题意；
命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”，
故C是真命题，符合题意；
∵√x2=|x|，√x3
3=x，当x≥0时，|x|=x，当x<0时，|x|=−x，
∴ 由实数x，−x，|x|，√x2，√x3
3组成的集合中，元素最多有2个，
故D是真命题，符合题意.
故选BCD.
【答案】
A,D
【考点】
不等式性质的应用
不等式比较两数大小
【解析】
不等式可用两式相减进行验证.
【解答】
解：A项，因为a>b>0，
则b
a −b+1
a+1
=b(a+1)−a(b+1)
a(a+1)
=b−a
a(a+1)
<0，
所以b
a <b+1
a+1
，
所以A项一定不成立；B项，因为a>b>0，
且a+1
a −b−1
b
=(a−b)(1−1
ab
)，
当ab>1时，a+1
a −b−1
b
>0，即a+1
a
>b+1
b
，
当ab<1时，a+1
a −b−1
b
<0，即a+1
a
<b+1
b
，
所以B项可能成立；
C项，因为a>b>0，
则a+1
b −b−1
a
=(a−b)(1+1
ab
)>0，
所以C项一定成立；
D项，因为a>b>0，则
2a+b a+2b −a
b
=b2−a2
b(a+2b)
<0，
所以2a+b
a+2b <a
b
，
所以D项一定不成立. 故选AD．
【答案】
B,C
【考点】
函数新定义问题
命题的真假判断与应用
【解析】
解析：首先对取整函数的理解，然后知道真命题和假命题的判断方法，若是假命题，可以举反例.
【解答】
解：A，根据新定义“取整函数”的意义知[2x]=2[x]不一定成立，如x取1.5，[2x]= 3，2[x]=2，A错误；
B，x取1，[2x]=2，2[x]=2，B正确；
C，设x=n+a(n∈Z,0≤a<1)，y=m+b(m∈Z，0≤b<1)，
若[x]=[y]，则n=m，因此x−y=a−b≤a<1，故C正确；
D，x取1.6，y取1.6，[x+y]=[3.2]=3，[x]+[y]=1+1=2，D错误.
故选BC.
三、填空题
【答案】
−1或3
【考点】
集合的相等
【解析】
由题意得到m2−2m=3，求解即可.
【解答】
解：∵集合A={3,−1}，B={m2−2m,−1}，且A=B，
∴m2−2m=3，
解得m=−1或3.
故答案为：−1或3.
【答案】
2
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
集合的包含关系判断及应用
【解析】
将问题等价为利用集合的基本关系求参数取值问题即可.
【解答】
解：∵ “−2≤x≤2”是“x≤a”的充分不必要条件，
∴[−2,2]⊆(−∞,a]，
∴a≥2.
即a的最小值是2.
故答案为：2.
【答案】
[4,7]
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
先求出1≤−y≤2，再与不等式3≤x≤5两边相加即可求解.
【解答】
解：∵−2≤y≤−1，
∴1≤−y≤2.
又∵3≤x≤5，
∴4≤x−y≤7，
∴x−y的取值范围是[4,7].
故答案为：[4,7].
【答案】
2
【考点】
Venn图表达集合的关系及运算
【解析】
两种都买的有2人，即可得到至少买一种的人数，为15−2=13人；再计算出买电脑、电视的总人数，然后用和减去至少买一种的人数就是两种都没买的人数．
【解答】
解：根据题意作出Venn图，
两种家电至少买一种的有8+7−2=13人，
所以两种都没买的有15−13=2人．
故答案为：2.
四、解答题
【答案】
解：(1)集合A={x|x>4}，B={x|−6<x<6}，
∴A∩B={x|4<x<6}，A∪B={x|x>−6}.
(2)∵定义A−B={x|x∈A, 且x∉B}，
∴A−B=A∩∁U B={x|x≥6}，
∴A−(A−B)={x|4<x<6}.
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)集合A={x|x>4}，B={x|−6<x<6}，
∴A∩B={x|4<x<6}，A∪B={x|x>−6}.
(2)∵定义A−B={x|x∈A, 且x∉B}，
∴A−B=A∩∁U B={x|x≥6}，
∴A−(A−B)={x|4<x<6}.
【答案】
解：设4a−2b=m(a−b)+n(a+b)，
即4a−2b=(m+n)a+(n−m)b，
∴ {m +n =4，
n −m =−2， 解得：{m =3，n =1，
∴ 4a −2b =3(a −b)+(a +b).
又∵ 1≤a −b ≤2，2<a +b <4， ∴ 3≤3(a −b)≤6，
∴ 5<4a −2b <10．
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：设4a −2b =m(a −b)+n(a +b)， 即4a −2b =(m +n)a +(n −m)b ， ∴ {m +n =4，n −m =−2，
解得：{m =3，n =1，
∴ 4a −2b =3(a −b)+(a +b).
又∵ 1≤a −b ≤2，2<a +b <4， ∴ 3≤3(a −b)≤6，
∴ 5<4a −2b <10．
【答案】
解：(1)全集为R ，A ={x|2≤x <4}， B ={x|3x −7≥8−2x}={x|x ≥3}， ∁R B ={x|x <3}，
∴ A ∪(∁R B)={x|x <4}.
(2)C ={x|a −1≤x ≤a +3}， 且A ∩C =A ，知A ⊆C ，
由题意知C ≠⌀，
∴ {a +3≥a −1，
a +3≥4，a −1≤2，
解得{a ≥1，
a ≤3，
∴ 实数a 的取值范围是[1, 3]．
【考点】
集合关系中的参数取值问题
交、并、补集的混合运算
【解析】
（1）根据并集与补集的定义，计算即可；
（2）根据A ∩C ＝A 知A ⊆C ，列出不等式组求出实数a 的取值范围．
【解答】
解：(1)全集为R ，A ={x|2≤x <4}，
B ={x|3x −7≥8−2x}={x|x ≥3}，
∁R B ={x|x <3}，
∴ A ∪(∁R B)={x|x <4}.
(2)C ={x|a −1≤x ≤a +3}，
且A ∩C =A ，知A ⊆C ，
由题意知C ≠⌀，
∴ {a +3≥a −1，
a +3≥4，a −1≤2，
解得{a ≥1，
a ≤3，
∴ 实数a 的取值范围是[1, 3]．
【答案】
解：(1)因为A ⊆B ，所以集合A 可以分为A =⌀或A ≠⌀两种情况来讨论： 当A =⌀时，2a −3≥3a +1⇒a ≤−4．
当A ≠⌀时，得{2a −3≥−5，
3a +1≤4，
2a −3<3a +1，
⇒−1≤a ≤1． 综上，a ∈(−∞, −4]∪[−1, 1]．
(2)若存在实数a ，使A =B ，
则必有{2a −3=−5，3a +1=4，
上述不等式组无解．
故不存在实数a ，使得A =B .
【考点】
反证法
集合的包含关系判断及应用
【解析】
（1）根据A ⊆B ，建立条件关系即可求实数a 的取值范围．
（2）假设A ＝B ，建立条件关系即可求实数a 的值是否存在，即可判断．
【解答】
解：(1)因为A ⊆B ，所以集合A 可以分为A =⌀或A ≠⌀两种情况来讨论： 当A =⌀时，2a −3≥3a +1⇒a ≤−4．
当A ≠⌀时，得{2a −3≥−5，
3a +1≤4，
2a −3<3a +1，
⇒−1≤a ≤1．
综上，a ∈(−∞, −4]∪[−1, 1]．
(2)若存在实数a ，使A =B ，
则必有{2a −3=−5，3a +1=4，
上述不等式组无解．
故不存在实数a ，使得A =B .
【答案】
解：(1)∵ x ∈P 是x ∈Q 的充分不必要条件，
即x ∈P ⇒x ∈Q ，x ∈Q ⇏x ∈P ，
∴ P ⫋Q .
又P ={x|2≤x ≤10}，Q ={x|x <a 或x >2a +1}，a >0， ∴ a >10或2a +1<2，
即a >10或0<a <12． (2)∵ Q ={x|x <a 或x >2a +1}，a >0，
∴ ∁R Q ={x|a ≤x ≤2a +1}，a >0，
∵ P ∩(∁R Q)分类讨论情况比较多，
∴ 不妨求P ∩(∁R Q)=⌀，
此时2a +1<2或a >10，又a >0，
∴ 0<a <12或a >10，
∴ P ∩∁R Q ≠⌀时，a 的取值范围是12≤a ≤10．
【考点】
集合关系中的参数取值问题
必要条件、充分条件与充要条件的判断
交、并、补集的混合运算
【解析】
左侧图片未给出解析．
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：(1)∵ x ∈P 是x ∈Q 的充分不必要条件，
即x ∈P ⇒x ∈Q ，x ∈Q ⇏x ∈P ，
∴ P ⫋Q .
又P ={x|2≤x ≤10}，Q ={x|x <a 或x >2a +1}，a >0， ∴ a >10或2a +1<2，
即a >10或0<a <12． (2)∵ Q ={x|x <a 或x >2a +1}，a >0，
∴ ∁R Q ={x|a ≤x ≤2a +1}，a >0，
∵ P ∩(∁R Q)分类讨论情况比较多，
∴ 不妨求P ∩(∁R Q)=⌀，
此时2a +1<2或a >10，又a >0，
∴ 0<a <12或a >10，
∴ P ∩∁R Q ≠⌀时，a 的取值范围是12≤a ≤10． 【答案】
解：若命题p 为真命题，
则x +m −1<0对0<x <1恒成立，
∴ 1−m >x ，即1−m ≥1，解得m ≤0.
若命题q 为假命题，则其否命题∃x ∈(0,+∞)，mx 2+4x −1=0为真命题， 即关于x 的方程mx 2+4x −1=0有正实数根． 当m =0时，4x −1=0⇒x =14，有正实数根， 当m ≠0时，依题意得Δ=16+4m ≥0，即m ≥−4. 设两根为x 1，x 2，
①当方程有两个正实数根时，有
{x 1+x 2=−4m >0，x 1⋅x 2=−1m
>0， 解得：m <0，此时−4≤m <0.
②当方程有一正一负两个实数根时，x 1⋅x 2=−1m <0，
解得：m >0，此时m >0，
综上：m ≥−4.
∵ p 真，q 假，
∴ 实数m 的取值范围是{m|−4≤m ≤0}．
【考点】
全称命题与特称命题
命题的真假判断与应用
一元二次不等式的解法
【解析】
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：若命题p 为真命题，
则x +m −1<0对0<x <1恒成立，
∴ 1−m >x ，即1−m ≥1，解得m ≤0.
若命题q 为假命题，则其否命题∃x ∈(0,+∞)，mx 2+4x −1=0为真命题， 即关于x 的方程mx 2+4x −1=0有正实数根． 当m =0时，4x −1=0⇒x =14，有正实数根， 当m ≠0时，依题意得Δ=16+4m ≥0，即m ≥−4. 设两根为x 1，x 2，
①当方程有两个正实数根时，有
{x 1+x 2=−4m >0，x 1⋅x 2=−1m
>0， 解得：m <0，此时−4≤m <0.
<0，②当方程有一正一负两个实数根时，x1⋅x2=−1
m
解得：m>0，此时m>0，
综上：m≥−4.
∵ p真，q假，
∴ 实数m的取值范围是{m|−4≤m≤0}．。