苏科八年级下学期月考数学试卷(含答案)

苏科八年级下学期月考数学试卷(含答案)
一、解答题
1．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．
2．如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF 交BD于O．
（1）求证：EO=FO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．
3．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AD上，且AE=DF
求证：四边形BECF是平行四边形．
4．如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线
MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
5．用适当的方法解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）y（y﹣7）＝14﹣2y；
（3）2x2﹣3x﹣1＝0．
6．已知：如图，AC、BD相交于点O，且点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD的形外，且∠AEC＝∠BED＝90°．求证：四边形ABCD是矩形．
7．已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0．
(1)若该方程的一个根为1，求k的值；
(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB的点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．
（1）求证：FG＝FH；
（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．
9．计算：
2429
33 x x x
x x
--
-
--
10．如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为正方形,已知点A(-6,0),D(-7,3)，点B、C在第二象限内．
(1)点B的坐标；
(2)将正方形ABCD以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移t秒,若存在某一时刻t,使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
(3)在(2)的情况下,问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q,使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
11．定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．如图①，在四边形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“准矩形”；如图②，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“准菱形”．
（1）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD和“准菱形”ABCD′．（要求：D、D′在格点上）；
（2）下列说法正确的有；（填写所有正确结论的序号）
①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形；
③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形．
（3）如图⑤，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作“准菱形”ACEF，且AC＝EC，AF＝EF，AE、CF交于点D．
①若∠ACE＝∠AFE，求证：“准菱形”ACEF是菱形；
②在①的条件下，连接BD，若BD＝，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，请直接写出四边形ACEF的面积．
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C'的顶点都在格点上．
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1；
（2）若△A'B'C'是由△ABC绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心的坐标是．
13．如图1，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合）连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）求证：△ABF≌△BCE；
（2）如图2，连接EF、CF，若CE＝8，求四边形BEFC的面积；
（3）如图3，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG．
14．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD:AD:CD=2:3:4，
(1)试说明△ABC是等腰三角形；
S=160cm²，如图2，动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A (2)已知ABC
运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止，设点M运动的时间为t(秒)，
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
15．如图，已知()()1,0,0,3,90,30A B BAC ABC ︒︒∠=∠=．
（1）求ABC ∆的面积；
（2）在y 轴上是否存在点Q 使得QAB ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q 所有可能的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如果在第二象限内有一点3P m ⎛ ⎝
⎭，且过点P 作PH x ⊥轴于H ，请用含m 的代数式 表示梯形PHOB 的面积，并求当ABP ∆与ABC ∆面积相等时m 的值？
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一、解答题
1．详见解析.
【解析】
试题分析：根据已知易证∠DAC=∠ACB ，根据平行线的判定可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可判定四边形ABCD 是平行四边形．
试题解析：证明：∵∠1+∠B+∠ACB=180°，∠2+∠D+∠CAD=180°，∠B=∠D ，∠1=∠2， ∴∠DAC=∠ACB ，
∴AD ∥BC ，
∵∠1=∠2，
∴AB ∥CD ，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
考点：平行四边形的判定．
2．（1）见解析；（2）AE ＝3．
【分析】
（1）由平行四边形的性质和AAS 证明△OBE ≌△ODF ，得出对应边相等即可； （2）先证出AE=GE ，再证明DG=DO ，得出OF=FG=1，即可得出结果．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC ∥AB ，
∴∠OBE =∠ODF ．
在△OBE 与△ODF 中，
OBE ODF BOE DOF BE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△OBE ≌△ODF （AAS ）．
∴EO =FO ；
（2）∵EF ⊥AB ，AB ∥DC ，
∴∠GEA =∠GFD =90°．
∵∠A =45°，
∴∠G =∠A =45°．
∴AE =GE ，
∵BD ⊥AD ，
∴∠ADB =∠GDO =90°．
∴∠GOD =∠G =45°．
∴DG =DO ，
∴OF =FG =1，
由（1）可知，OE =OF =1，
∴GE =OE +OF +FG =3，
∴AE =3．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．
3．证明见解析.
【分析】
根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形式平行四边形，可得证明结论．
【详解】
如答图，连接BC ，设对角线交于点O ．
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OD ，OB=OC ．
∵AE=DF ，OA ﹣AE=OD ﹣DF ，∴OE=OF ．
∴四边形BEDF 是平行四边形．
4．当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．证明见解析.
【分析】
当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于
OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF，而OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．
【详解】
当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．
证明：如图，
∵CE平分∠BCA，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，
同理，FO=CO，
∴EO=FO，
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF是∠BCA的外角平分线，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠5=∠2+∠4，
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，
∴∠2+∠4=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、平行四边形的判定、矩形的判定．解题的关键是利用对角线互相平分的四边形是平行四边形开证明四边形AECF 是平行四边形，并证明∠ECF 是90°．
5．（1）x 1＝-1，x 2＝5．（2）y 1＝7，y 2＝﹣2．（3）12x x =
= 【分析】
（1）根据因式分解法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
（3）利用公式法求解可得．
【详解】
（1）x 2﹣4x ﹣5＝0，
分解因式得：（x +1）（x ﹣5）＝0，
则x +1＝0或x ﹣5＝0，
解得：x 1＝-1，x 2＝5．
（2）y （y ﹣7）＝14﹣2y ，
移项得，y （y ﹣7）-14+2y =0，
分解因式得：（y ﹣7）（y +2）＝0，
则y ﹣7＝0或y +2＝0，
解得：y 1＝7，y 2＝﹣2．
（3）2x 2﹣3x ﹣1＝0，
∴a ＝2，b ＝﹣3，c ＝﹣1，
则△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
∴x 1，x 2 【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
6．见解析
【分析】
连接EO ，证四边形ABCD 是平行四边形，在Rt △AEC 中EO ＝12
AC ，在Rt △EBD 中，EO ＝12
BD ，得到AC ＝BD ，即可得出结论． 【详解】
证明：连接EO ，如图所示：
∵O是AC、BD的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EO＝1
2 BD，
在Rt△AEC中，∵O为AC的中点，
∴EO＝1
2 AC，
∴AC＝BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点睛】
此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
7．(1)k＝1；(2)证明见解析.
【分析】
（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值；
（2）求出根的判别式是非负数即可.
【详解】
(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0，
1﹣k﹣3+3k＝0
解得k＝1；
(2)证明：
1,(3),3
a b k c k
==-+=
24
b ac
∆=-
∴△＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0，
所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键. 8．（1）见解析；（2）当∠A＝90°时，FG⊥FH．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到AD＝AE，得到DB＝EC，根据三角形中位线定理证明结论；
（2）延长FG交AC于N，根据三角形中位线定理得到FH∥AC，FN∥AB，根据平行线的性质解答即可．
【详解】
（1）证明：∵AB＝AC．
∴∠ABC＝∠ACB，∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴DB＝EC，
∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点，
∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，
∴FG＝1
2
BD，FH＝
1
2
CE，
∴FG＝FH；
（2）解：延长FG交AC于N，
∵FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，
∴FH∥AC，FN∥AB，
∵FG⊥FH，
∴∠A＝90°，
∴当∠A＝90°时，FG⊥FH．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理的应用、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9．3
x-
【分析】
先把分式进行合并，再进行因式分解，然后约分，即可得到答案．
【详解】
解：原式
222
42969(3)
3
333
x x x x x x
x
x x x
--+-+-
====-
---
；
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
10．（1）（31-，
）；（2）t=9，6y x =
；（3）点P 、Q 的坐标为：P （132，0）、Q （32
，4）或P （7，0）、Q （3，2）或P （-7，0）、Q （-3，-2）． 【分析】
（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE ≌△BAF ，从而得出DE=AF ，AE=BF ，再结合点A 、D 的坐标即可求出点B 的坐标；
（2）设反比例函数为k y x
=
，根据平行的性质找出点B ′、D ′的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k 、t 的二元一次方程组，解方程组解得出结论；
（3）假设存在，设点P 的坐标为（m ，0），点Q 的坐标为（n ，6n ）．分B ′D ′为对角线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m 、n 的方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】
解：（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，如图1所示．
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AD=AB ，∠BAD=90°，
∵∠EAD+∠ADE=90°，∠EAD+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF ．
在△ADE 和△BAF 中，有
90AED BFA ADE BAF AD BA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADE ≌△BAF （AAS ），
∴DE=AF ，AE=BF ．
∵点A （-6，0），D （-7，3），
∴DE=3，AE=1，
∴点B 的坐标为（-6+3，0+1），即（-3，1）．
故答案为：（-3，1）．
（2）设反比例函数为
k y
x
=，
由题意得：点B′坐标为（-3+t，1），点D′坐标为（-7+t，3），
∵点B′和D′在该比例函数图象上，
∴
3
3(7)
k t
k t
=-+
⎧
⎨
=⨯-+
⎩
，
解得：t=9，k=6，
∴反比例函数解析式为
6
y
x
=．
（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，
6
n
）．以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：
①B′D′为对角线时，
∵四边形B′PD′Q为平行四边形，
∴
6
31
62
n
m n
⎧
-=
⎪
⎨
⎪-=-
⎩
，解得：
13
2
3
2
m
n
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴P（
13
2
，0），Q（
3
2
，4）；
②当B′D′为边时．
∵四边形PQB′D′为平行四边形，
∴
62
6
031
m n
n
-=-
⎧
⎪
⎨
-=-
⎪⎩
，解得：
7
3
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴P（7，0），Q（3，2）；
∵四边形B′QPD′为平行四边形，
∴
62
6
031
n m
n
-=-
⎧
⎪
⎨
-=-
⎪⎩
，解得：
7
3
m
n
=-
⎧
⎨
=-
⎩
．
综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点
为顶点的四边形是平行四边形，符合题意的点P、Q的坐标为：P（13
2
，0）、Q（
3
2
，
4）或P（7，0）、Q（3，2）或P（-7，0）、Q（-3，-2）．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出△ADE≌△BAF；（2）找出关于k、t的二元一次方程组；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键．
11．（1）见解析；（2）①②③④；（3）①证明见解析；②23
【分析】
（1）根据准矩形和准菱形的特点画图即可；
（2）根据矩形的判定定理和菱形的判定定理结合准矩形和准菱形的性质对每一个选项进行推断即可；
（3）①先根据已知得出△ACF≌△ECF，再结合∠ACE＝∠AFE可推出AC∥EF，AF∥CE，则证明了准菱形ACEF是平行四边形，又因为AC＝EC即可得出准菱形ACEF是菱形；
②取AC的中点M，连接BM、DM，根据四边形ACEF是菱形可得A、B、C、D四点共圆，点M是圆心，根据圆周角定理可推出∠BMD=90°，即可求出AC，再根据∠ACD＝30°即可求出AD，CD的长，则可求出菱形的面积．
【详解】
（1）；
（2）①因为∠A＝∠C＝90°，结合一组对边平行可以判断四边形为矩形，故①正确；
②因为∠A＝∠C＝90°，结合一组对边相等可以判断四边形为矩形，故②正确；
③因为AB＝AD，BC＝DC，结合一组对边相等可以判断四边形为菱形，故③正确；
④因为AB＝AD，BC＝DC，结合一组对边平行可以判断四边形为菱形，故④正确；
故答案为：①②③④；
（3）①证明：∵AC＝EC，AF＝EF，CF＝CF，
∴△ACF≌△ECF（SSS）．
∴∠ACF＝∠ECF，∠AFC＝∠EFC，
∵∠ACE＝∠AFE，
∴∠ACF＝∠EFC，∠ECF＝∠AFC，
∴AC∥EF，AF∥CE，
∴准菱形ACEF是平行四边形，
∵AC＝EC，
∴准菱形ACEF是菱形；
②如图：取AC的中点M，连接BM、DM，
∵四边形ACEF是菱形，
∴AE⊥CF，∠ADC=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，点M是圆心，
∵∠ACB=15°，
∴∠AMB=30°，
∵∠ACD=30°，
∴∠AMD=60°，
∴∠BMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形，
∴BM=DM=
2
2
BD=
2
2
2=1，
∴AC=2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴AD=AC×sin30°=1，CD=AC×cos30°3
∴菱形ACEF的面积=1
2
×13×4=3
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，掌握知识点是解题关键．
12．（1）见解析（2）（3,4）
【分析】
（1）根据网格结构找出点A、C绕点B顺时针旋转90°后的对应点A1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可．
【详解】
解：（1）三角形的旋转可以分开看作每条边的旋转，分别找到对应的点，连接即可，故△A 1BC 1如图所示；
（2）连接'AA 并作其垂直平分线，连接'CC 并作其垂直平分线，交点即为旋转中心．如图所示，旋转中心为（3，4），
故答案为（3，4）．
【点睛】
本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构以及旋转的性质，准确找出对应点的位置是解题的关键．
13．（1）见解析；（2）32；（3）见解析
【分析】
（1）根据同角的余角相等得到∠GCB ＝∠FBA ，利用ASA 定理证明△ABF ≌△BCE ； （2）根据全等三角形的性质得到BF ＝CE ＝8，根据三角形的面积公式计算，得到答案； （3）作DH ⊥CE ，设AB ＝CD ＝BC ＝2a ，根据勾股定理用a 表示出CE ，根据三角形的面积公式求出BG ，根据勾股定理求出CG ，证明△CHD ≌△BGC ，得到CH ＝BG ，证明CH ＝GH ，根据线段垂直平分线的性质证明结论．
【详解】
（1）证明：∵BF ⊥CE ，
∴∠CGB ＝90°，
∴∠GCB +∠CBG ＝90，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠CBE ＝90°＝∠A ，BC ＝AB ，
∴∠FBA +∠CBG ＝90，
∴∠GCB ＝∠FBA ，
在△ABF 和△BCE 中，
A CBE A
B BC
ABF BCE ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABF ≌△BCE （ASA ）；
（2）解：∵△ABF ≌△BCE ，
∴BF ＝CE ＝8，
∴四边形BEFC的面积＝△BCE的面积+△FCE的面积
＝1
2
×CE×FG+
1
2
×CE×BG
＝1
2
×CE×（FG+BG）
＝1
2
×CE×BF
＝1
2
×8×8
＝32；
（3）证明：如图3，过点D作DH⊥CE于H，设AB＝CD＝BC＝2a，
∵点E是AB的中点，
∴EA＝EB＝1
2
AB＝a，
∴CE＝225
BE BC a
+=，
在Rt△CEB中，1
2
BG•CE＝
1
2
CB•EB，
∴BG＝
25
CB EB
a CE
⋅
=，
∴CG＝2245
BC BG a
-=，
∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，
∵CD＝BC，∠CHD＝∠CGB＝90°，
∴△CHD≌△BGC（AAS），
∴CH＝BG＝25
a，
∴GH＝CG﹣CH＝25
a＝CH，
∵CH＝GH，DH⊥CE，∴CD＝GD；
【点睛】
本题通过正方形动点问题引入，考查了三角形全等、勾股定理和垂直平分线定理的应用．
14．（1）证明见详解；（2）①5或6；②9或10或49
6
．
【分析】
（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；
②根据题意得出当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-8；分别得出方程，解方程即可．
【详解】
（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，
则AB=5x，
在Rt△ACD中，AC=5x，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，
∴S△ABC=1
2
×5x×4x=160cm2，而x＞0，
∴x=4cm，
则BD=8cm，AD=12cm，CD=16cm，AB=AC=20cm．
由运动知，AM=20-2t，AN=2t，
①当MN∥BC时，AM=AN，
即20-2t=2t，
∴t=5；
当DN∥BC时，AD=AN，
∴12=2t，
得：t=6；
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．
②存在，理由：
Ⅰ、当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；Ⅱ、当t=4时，点M运动到点D，不构成三角形
Ⅲ、当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．∵点E是边AC的中点，
∴DE=1
2
AC=10
当DE=DM，则2t-8=10，
∴t=9；
当ED=EM，则点M运动到点A，∴t=10；
当MD=ME=2t-8，
如图，过点E 作EF 垂直AB 于F ，
∵ED=EA ，
∴DF=AF=12
AD=6， 在Rt △AEF 中，EF=8；
∵BM=2t ，BF=BD+DF=8+6=14，
∴FM=2t-14
在Rt △EFM 中，（2t-8）2-（2t-14）2=82，
∴t=496
． 综上所述，符合要求的t 值为9或10或
496． 【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是分情况讨论．
15．（12332）存在．(0,23Q 或()32或(0,3-或33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）PHOB S 梯形334
m =，56m =-时，ABC ABP S S ∆∆=． 【分析】 （1）根据勾股定理和直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半求出AB 、AC 的长，再利用三角形面积公式求解即可；
（2）设Q （0，a ），分三种情况①AB=BQ 时；②AB=AQ 时；③BQ=AQ 时进行讨论求解即可；
（3）由题意，OH=﹣m ，利用梯形面积公式得
()12PHOB S OB PH OH =⨯+⨯梯形334
m =，结合图形可得ABP ABO PAH S S S S ∆∆∆=+-梯形PHOB 3342
=-，再由ABP ABC S S ∆∆=得到关于m 的方程，解方程即可求解m 值．
【详解】
()
()()11,0,0,3A B ， 2AB ∴=，
又90,30BAC ABC ︒︒∠=∠=， 2BC AC ∴=，
设AC a =，则2BC a =，
在Rt ABC ∆中，由勾股定理得：222BC AB AC =+， 即()2224a a =+，得：233
a =， 11223232233
ABC S AC AB ∆∴==⨯⨯=； ()2存在
设()0,Q a ，则(2224,3AB BQ a ==-，221AQ a =+， ①当AB BQ =时，即22AB BQ =，
(2
43a ∴=-， 解得：123a =232a =， (()
120,23,32Q Q ∴==；
②当AB AQ =时，即22AB AQ =， 241a ∴=+
解得：3a =3a =B 重合）， (30,3Q ∴；
③当BQ AQ =时，即22BQ AQ =， (2231,32a a a ∴=+=，
解得：3a =
43Q ⎛∴= ⎝⎭
，
综上：在y 轴上存在一点()0,23Q +或()0,32-或()0,3-或30,⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，使QAB ∆为等腰三角形；
()3
3,2P m ⎛ ⎝⎭
，
(),0H m ∴，
3,12
OH m PH AH m ∴=-==-+， ()12
PHOB S OB PH OH ∴=⨯+⨯梯形， ()1332m =⨯⨯-⎭ 334
m =， 11313222
AOB S OA OB ∆==⨯⨯=， ()1131222
APH S AH PH m ∆==⨯-⨯ )314
m =-， ABP ABO PAH S S S S ∆∆∆∴=+-梯形PHOB
)333314m m =
- 3342
=-， ABP ABC S S ∆∆=，
3323243∴-+=，
∴112 243 m=-，
解得：
5
6 m=-，
即S=
梯形PHOB ，当
5
6
m=-时，
ABC ABP
S S
∆∆
=．
【点睛】
本题考查了坐标与图形、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、平方根、解一元一次方程等知识，解答的关键是利用数形结合思想，将各知识点串起来，进行探究、推理和计算．。