江苏省南航附中2013-2014学年高一下学期周末数学能力提高练习(2014.6.14) Word版含答案[ 高考]

南航附中高一（下）周末练习2014.6.14
一、填空题：
1. 已知集合{}4,2,0,1-=P ，{}1|||<=x x Q ，则=⋂Q P __________。

2. 圆锥的侧面展开图是圆心角为3π，面积为23π的扇形，则圆锥的体积是_________。

3. 函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=3sin 2πωx x f （0>ω）的最小正周期为π，则=ω__________。

4. 函数()x
x x f 1
log 2-
=的零点个数为__________。

5. 设向量()2,-=x a ，()1,1-=x b 互相垂直，则实数x 的值为__________。

6. 求值：()︒-870sin ＝__________。

7. 函数()1,012≠>+=-a a a y x 且的图象经过一个定点，则该定点的坐标是__________。

8. 在平面直角坐标系xOy 中，若三条直线052=-+y x ，01=--y x 和03=-+y ax 相交于一点，则实数a 的值为__________。

9. 给出下列命题： ①在空间，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行；
②在空间，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线平行； ③在空间，若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线平行； ④在空间，若两条直线都与一个平面垂直，则这两条直线平行； 其中，正确命题的序号是 。

（写出所有正确命题的序号）
10. 在等差数列{}n a 中，若10,293==a a ，则=-20132a a __________。

11. 已知正三角形ABC 的边长为2，沿着BC 边上的高AD 将正三角形折起，使得平面ABD ⊥平面ACD （如图），则三棱锥A －BCD 的体积为__________。

（图1）
（图2）
12.在ABC ∆中,已知sin sin cos sin sin cos A B C A C B =sin sin cos B C A +,若,,a b c 分别是角
,,A B C 所对的边,则
ab
的最大值为__________。

13. 观察下列数表：
根据以上排列规律，数表中第()*N n n ∈行中所有数的和为__________。

14. 设()x f 是定义在R 上的奇函数，且()01=-f ，若不等式
()()02
12211<--x x x f x x f x 对区间
()0,∞-内任意两个不相等的实数21,
x x 都成立，则不等式()02<x xf 的解集是__________。

二、解答题：
15.已知向量()1,cos -=αa ，()αsin 1,2+=b ，且1-=⋅b a 。

（1）求αtan 的值；
（2）求⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+4tan πα的值。

16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且A ，B ，C 成等差数列。

（1）若32=b ，2=c ，求△ABC 的面积；
（2）若C B A sin ,sin ,sin 成等比数列，试判断△ABC 的形状。

17. 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点，AC 与BD 的交点为O 。

求证：（1）直线OE ∥平面PBC ； （2）平面ACE ⊥平面PBD 。

18.
某厂生产A 产品的年固定成本为250万元，若A 产品的年产量为x 万件，则需另投
入成本()x C （万元）。

已知A 产品年产量不超过80万件时，()x x x C 103
1
2+=；A 产品年产
量大于80万件时，()145080
10000
51--+=x x x C 。

因设备限制，A 产品年产量不超过200万件。

现已知A 产品的售价为50元/件，且年内生产的A 产品能全部销售完。

设该厂生产A 产品的年利润为L （万元）。

（1）写出L 关于x 的函数解析式()x L ；
（2）当年产量为多少时，该厂生产A 产品所获的利润最大？
19．已知函数52)(2+-=ax x x f （1>a ）. (I)若)(x f 的定义域和值域均是[]a ,1，求实数a 的值；
(II)若)(x f 在区间(]2,∞-上是减函数，且对任意的1x ，2x []1,1+∈a ，总有4)()(21≤-x f x f ，求
实数a 的取值范围.
20、设数列{}n a 的前n 项和为2
n S n -=，数列{}n b 满足：21=b ，()
131--=+n t b b n n （*,N n R t ∈∈）。

已知()n n n n b a b a +=+++311对任意的*N n ∈都成立。

（1）求t 的值；
（2）设数列{}n n n b a a +2
的前n 项和为n T ，问是否存在互不相等的正整
数r k m ,,，使得r k m ,,成等差数列，且1,1,1+++r k m T T T 成等比数列？若存在，求出
r k m ,,的值；若不存在，说明理由。

【试题答案】
说明：
1. 本解答给出的解法供参考。

如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4. 只给整数分数，填空题不给中间分数。

一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分。

1. {}0
2. 3
3. 2
4. 1
5. 2或－1
6. 2
1-
7. （2，2）
8. 1 9. ①④ 10. 6 11.
6
3 12. 12
13. 22
31
-⨯-n
14. ⎪⎭
⎫
⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-
21,00,21
二、解答题：本大题共6小题，共58分。

第15题8分，第16~20题每题10分。

15. 解：（1）因为()1sin 1cos 2-=+-=⋅ααb a ，（2分） 即cos 2sin =αα。

显然，0cos ≠α，所以2tan =α。

（4分）
（2）由（1）得α
απαtan 11
tan 4tan -+=
⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
（6分）
32
11
2-=-+=。

（8分） 16. 解：因为A ，B ，C 成等差数列，所以C A B +=2。

又A ＋B ＋C ＝π，所以3
π
=
B 。

（2分）
（1）解法一：因为32=b ，2=c ，所以
由正弦定理得
C c B b sin sin =，即B c C b sin sin =，即232sin 32⨯=C ，得2
1
sin =C 。

因为c b >，所以C B >，即C 为锐角，所以6
π
=C ，从而2
π
=
A 。

（4分）
所以322
1
==
bc S ABC △。

（6分） 解法二：由余弦定理得B ac c a b cos 22
2
2
-+=，
即0822
=--a a ，得4=a 。

（4分）
所以322
32421sin 21=⨯⨯⨯==
B ac S AB
C △。

（6分） （2）因为A sin ，B sin ，C sin 成等比数列，所以C A B sin sin sin 2
⋅=。

（7分） 由正弦定理得ac b =2
（8分）
由余弦定理得222c a b +=ac c a B ac -+=-2
2cos 2。

所以ac c a ac -+=2
2，即()02
=-c a ，即c a =。

（9分）
又因为3
π
=
B ，所以△AB
C 为等边三角形。

（10分）
17. 证：（1）在正方形ABCD 中，AC 与BD 的交点O 为BD 的中点。

又因为E 为PD 的中点，所以OE ∥PB 。

（2分） 因为OE ⊄平面PBC ，⊂PB 平面PBC ，所以OE ∥平面PBC 。

（4分）
（2）因为PD ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥AC 。

（6分） 在正方形ABCD 中，AC ⊥BD 。

又因为BD ⊂平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，且D PD BD =⋂， 所以AC ⊥平面PBD 。

（8分） 又因为AC ⊂平面ACE ， 所以平面ACE ⊥平面PBD 。

（10分） 18. 解：（1）由题意知
()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≤<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≤<-+-=--=.
20080,80100001200,800,250403
1250502
x x x x x x x C x x L （4分）
（2）①当800≤<x 时，()()950603
1
2+--
=x x L ，所以 当60=x 时，()()95060max ==L x L ；（6分） ②当20080≤<x 时，
()()()92080
1000080211208010000801120=-⋅--≤⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
-+--=x x x x x L 。

（8分）
当且仅当80
10000
80-=
-x x ，即180=x 时，“＝”成立。

因为]200,80(180∈，所以()950920max <=x L 。

（9分） 答：当年产量为60万件时，该厂所获利润最大。

（10分） 19.解：(I) ∵2
2
5)()(a a x x f -+-=（1>a ）, ∴)(x f 在[]a ,
1上是减函数，……………2分
又定义域和值域均为[]a ,
1，∴⎩⎨⎧==1
)()1(a f a
f ，……………4分
即⎩
⎨
⎧=+-=+-1525212
2a a a
a ， 解得 2=a .……………6分 (II) ∵)(x f 在区间(]2,∞-上是减函数，∴2≥a ，……………8分
又[]1,
1+∈=a a x ，且，1)1(-≤-+a a a
∴a f x f 26)1()(max -==，2
min 5)()(a a f x f -==.……………11分
∵对任意的1x ，2x []1,1+∈a ，总有4)()(21≤-x f x f ，
∴4)()(min max ≤-x f x f ， ……………13分 即 4)5()26(2
≤---a a ，解得 31≤≤-a ，
又2≥a ， ∴32≤≤a . ……………14分
20. 解：（1）当2≥n 时，()n n n S S a n n n 2112
21-=-+-=-=-；
当1=n 时，12112
11⨯-=-==S a ，也适合上式。

所以()*21N n n a n ∈-=。

（2分）
因为()n n n n b a b a +=+++311对任意的*N n ∈都成立，21=b ，
所以()122111=+-=+b a ，
所以0≠+n n b a ，且
31
1=++++n
n n n b a b a ，
所以，数列{}n n b a +是首项为1，公比为3的等比数列。

即()1232131
1-+=--=--n n b n n n ，
因为()()R t n t b b n n ∈--=+131， 所以(
)
()1123
31231
---+=++-n t n n n n
所以()()014=--n t 对任意的*N n ∈都成立， 所以4=t 。

（6分）
（2）由（1）得()()1
2321-⋅-=+=+n n n n n n n n b a a b a a ， 所以()1
32312...3735331-⋅---⨯-⨯-⨯--=n n n T ， 所以()1
32312...3735331-⋅-++⨯+⨯+⨯+=-n n n T ，
()n n n T 312...37353333432⋅-++⨯+⨯+⨯+=-，
两式相减，得
()n n n n T 31232...32323212132--⨯++⨯+⨯+⨯+=-
()
()n n n 3123...33321132⋅--+++++=-
()()23123123
13321-⋅-=⋅----⨯+=n n n
n n 。

解得()131-⋅-=n
n n T 。

（8分） 所以()n
n n T 311⋅-=+。

若存在互不相等的正整数r k m ,,成等差数列，且1,1,1+++r k m T T T 成等比数列， 则()()()1112
++=+r m k T T T ，
即()()()r
m k r m k +⋅--=⋅-3113122。

（*）
由r k m ,,成等差数列，得r m k +=2，所以r m k
+=332。

所以由（*）得()()()r m k --=-1112。

即()1122
++-=+-r m mr k k 。

所以mr k =2
，
即mr r m =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+2
2，即()02=-r m ，即r m =。

这与r m 矛盾，
所以，不存在满足条件的正整数r k m ,,。

（10分）。