吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题 含解析

长春外国语学校2018-2019学年第二学期期末考试高二年级
数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共15小题，每小题4分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={}1,2,3,4， {
}
|2B x y x ==
-，则A B =I （ ）
A. {}01,2
， B. {}1,2
C. (0)2，
D. [0,2]
【答案】B 【解析】 【分析】
可求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】B ＝{x |x ≤2}； ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：B ．
【点睛】本题考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算．
2.若(1)1z i i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A. 1 2
C. 2
D. 4
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的除法运算，化简得到z i =-，再由复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数满足(1)1z i i +=-，则()()()()
111111i i i z i i i i ---===-++-，所以1z =，
故选A.
【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3.已知函数1()22x
x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，则()f x （ ） A. 是偶函数，且在R 上是增函数 B. 是奇函数，且在R 上是增函数 C. 是偶函数，且在R 上是减函数 D. 是奇函数，且在R 上是减函数
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，由函数的解析式可得f （﹣x ）＝2x ﹣（12
）x
＝﹣f （x ），则函数f （x ）为奇函数，由指数函数的性质可得y ＝（12
）x 在R 上为减函数，y ＝2x
在R 上为增函数，则函数f （x ）＝（
12
）x ﹣2x
在R 上为减函数，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，f （x ）＝（12
）x ﹣2x
，
有f （﹣x ）＝2x ﹣（1
2
）x ＝﹣f （x ），则函数f （x ）为奇函数，
又由y ＝（12）x 在R 上为减函数，y ＝2x
在R 上为增函数，则函数f （x ）＝（12
）x ﹣2x 在R
上为减函数， 故选：D ．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握函数奇偶性、单调性的判断方法，属于基础题．
4.角α的终边与单位圆交于点55⎛- ⎝⎭
,则cos2=α（ ） A.
1
5
B. -
15
C.
35
D. 35
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角函数的定义，求得cos 5
α=
，再由余弦的倍角公式，即可求解.
【详解】由题意，角α
的终边与单位圆交于点55⎛- ⎝⎭
,
1=，
由三角函数的定义，可得cos 5α=
，则223
cos 22cos 12155
αα=-=⨯-=-， 故选D.
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及余弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的定义，以及余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
5.已知0.63a =,30.6b =,0.6log 3c =,则实数,,a b c 的大小关系是( ) A. a b c >>
B. b c a >>
C. c b a >>
D.
a c
b >>
【答案】A 【解析】 【分析】
容易得出30.6
＞1，0＜0.63
＜1，log 0.63＜0，从而可得出a ，b ，c 的大小关系． 【
详解】∵30.6＞30＝1，0＜
0.63＜0.60=1，log 0.6
3＜log 0.61＝0； ∴a ＞b ＞c ． 故选：A ．
【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，熟记单调性是关键，是基础题
6.已知向量|a r b +v
|=||a b -r r ，且||||2a b ==r r ,则|2|a b -=r r （ ）
A. B. 2
C.
【答案】C 【解析】 【分析】
由平面向量模的运算可得：a b r r ⋅=0，得 2a b -=r r 【详解】因为向量|a b +r r |a b =-r r ，
所以a b r r ⋅=0，
又2a b ==r
r ，
所以2a b -==r r
故选：C ．
【点睛】本题考查了平面向量模的运算，熟记运算性质是 关键，属基础题．
7.等差数列{}n a 中，2583a a a ++=，n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则9S =( ) A. 9 B. 18
C. 27
D. 54
【答案】A 【解析】 【分析】
由已知结合等差数列的性质求得a 5，再由考查等差数列的前n 项和公式求S 9． 【详解】在等差数列{a n }中，由a 2+a 5+a 8＝3，得3a 5＝3，即a 5＝1．
∴S 9
()1955
9299922
a a a a
+⨯⨯====．
故选：A ．
【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n 项和，是基础题．
8.26
2()x x
-的展开式中常数项为( )
A. -240
B. -160
C. 240
D. 160
【答案】C 【解析】 【分析】
求得二项式的通项12316(2)r r r
r T C x -+=-，令4r =，代入即可求解展开式的常数项，即可求解.
【详解】由题意，二项式26
2()x x
-展开式的通项为261231662()
()(2)r r
r r r r r T C x C x x
--+=-=-， 当4r =时，44
56(2)240T C =-=，即展开式的常数项为240，故选C.
【点睛】本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解
答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
9.已知四个命题：
①如果向量a r 与b r 共线，则a b =r r
或a b =-r r ；
②3x ≤是3x ≤的充分不必要条件；
③命题p ：0(0,2)x ∃∈，2
00230x x --<的否定是p ⌝：(0,2)x ∀∈，2230x x -->；
④“指数函数x
y a =是增函数，而1()2
x
y =是指数函数，所以1()2
x
y =是增函数”此三段论
大前提错误，但推理形式是正确的. 以上命题正确的个数为（ ） A. 0 B. 1
C. 2
D. 3
【答案】B 【解析】 【分析】
由向量共线定理可判断①；由充分必要条件的定义可判断②；由特称命题的否定为全称命题，可判断③；由指数函数的单调性可判断④．
【详解】①，如果向量a r
与b r
共线，可得x a +r
y 0b =r r
，不一定a b =r
r
或a b =-r
r
，故①错误； ②，|x |≤3⇔﹣3≤x ≤3，x ≤3不能推得|x |≤3，但|x |≤3能推得x ≤3，
x ≤3是|x |≤3的必要不充分条件，故②错误；
③，命题p ：∃x 0∈（0，2），200230x x --＜的否定
是￢p ：∀x ∈（0，2），x 2﹣2x ﹣3≥0，故③错误；
④，“指数函数y ＝a x
是增函数，而1()2
x
y =是指数函数，所以1()2
x
y =是增函数”
由于a ＞1时，y ＝a x 为增函数，0＜a ＜1时，y ＝a x
为减函数，此三段论大前提错误，但推理形式是正确的，故④正确．其中正确个数为1． 故选：B ．
【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是向量共线定理和充分必要条件的判断、命题的否定和三段论，考查推理能力，属于基础题．
10.已知数据1x，2x，L，5x，2的平均值为2，方差为1，则数据1x，2x，L，5x相对于原数据（）
A. 一样稳定
B. 变得比较稳定
C. 变得比较不稳定
D. 稳定性不可以判断
【答案】C
【解析】
【分析】
推导出数据x1，x2，…，x5的方差S2
1
5
=[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+（x4﹣2）2+（x5
﹣2）2+（2﹣2）2]＞1，从而数据x1，x2，…，x5相对于原数据变得比较不稳定．【详解】∵数据x1，x2，…，x10，2的平均值为2，方差为1，
∴1
6
[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+（x4﹣2）2+（x5﹣2）2+（2﹣2）2]＝1，
即1
6
[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+（x4﹣2）2+（x5﹣2）2]＝1，
又数据x1，x2，…，x10的平均值为2，
∴数据x1，x2，…，x10的方差S2
1
5
=[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+（x4﹣2）2+（x5﹣2）
2]＞1，
∴数据x1，x2，…，x5相对于原数据变得比较不稳定．
故选：C．
【点睛】本题考查方差的求法及应用，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
11.《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中中有很多对几何体体积的研究．已知某囤积粮食的容器是由同底等高的一个圆锥和一个圆柱组成,若圆锥的底面积为8π、高为h,则该容器外接球的表面积为（）
A. 12π
B. 18π
C. 36π
D. 48π
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出外接球的半径，进一步利用球的表面积公式的应用求出结果
【详解】根据已知条件，圆锥的底面积为8π，所以π•r 2
＝8π，解得圆锥的底面半径为
r =
由题外接球球心是圆柱上下底面中心连线的中点，设外接球半径为R,则
1322R h h h ==+=，解得32,32h R h =∴==
所以表面积2
4(3)36S ππ=⋅⋅=．
故选：C ．
【点睛】本题考查的知识要点：组合体的外接球的半径的求法及应用，球的表面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
12.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，则(10)f 的值为 ( ) A. 0 B. 2
C. 5
D. 10
【答案】A 【解析】 【分析】
由已知求得函数的周期为4，可得f （10）＝f （2+8）＝f （2）＝0． 【详解】∵f （1+x ）＝f （1﹣x ），∴f （﹣x ）＝f （2+x ）， 又f （x ）为定义在R 上的奇函数，∴f （2+x ）＝﹣f （x ）， 则f [2+（2+x ）]＝﹣f （2+x ）＝﹣[﹣f （x ）]＝f （x ）， 即f （4+x ）＝f （x ），
∴f （x ）为以4为周期的周期函数，
由f （1+x ）＝f （1﹣x ），得f （2）＝f （0）＝0， ∴f （10）＝f （2+8）＝f （2）＝0． 故选：A ．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．
13.已知()()sin f x x x x R =∈，若将其图像右移0ϕϕ>（）个单位后,图象关于原点
对称，则ϕ的最小值是 ( )
A.
2
π B.
6
π C.
3
π D.
4
π 【答案】C 【解析】 【分析】
利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ的最小值．
【详解】∵f （x ）＝sin x x ＝2sin （x 3
π
+） （x ∈R ）， 若将其图象右移φ（φ＞0）个单位后，可得y ＝2sin （x ﹣φ3
π
+）的图象；
若所得图象关于原点对称，则﹣φ3
π
+=k π，k ∈Z ，
故φ的最小值为3
π
，
故选：C ．
【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．
14.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>,过其右焦点F 作斜率为2的直线，交双
曲线的两条渐近线于,B C 两点（B 点在x 轴上方），则
BF CF
=（ ）
A. 2
B. 3
C.
D. 【答案】B 【解析】 【分析】
由双曲线的离心率可得a ＝b ，求得双曲线的渐近线方程，设右焦点为（c ，0），过其右焦点F 作斜率为2的直线方程为y ＝2（x ﹣c ），联立渐近线方程，求得B ，C 的坐标，再由向量共线定理，可得所求比值．
，可得c =，
即有a ＝b ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，
设右焦点为（c ，0），过其右焦点F 作斜率为2的直线方程为y ＝2（x ﹣c ）， 由y ＝x 和y ＝2（x ﹣c ），可得B （2c ，2c ），
由y ＝﹣x 和y ＝2（x ﹣c ）可得C （23c ，23
c
-）， 设BF =u u u r λFC uuu r ，即有0﹣2c ＝λ（23
c
--0）， 解得λ＝3，即则BF CF
=3．
故选：B ．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若11
2
a =
，()()n a f n n N +=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是( ) A. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C. 1[,2]2
D. 1[,1]2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），令x ＝n ，y ＝1，可得数列{a n }是以12为首项，以1
2
为等比的等比数列，进而可以求得S n ，进而S n 的取值范围．
【详解】∵对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ）， ∴令x ＝n ，y ＝1，得f （n ）•f （1）＝f （n +1），
即
()
()
1
1
n
n
f n
a
a f n
+
+
==f（1）
1
2
=，
∴数列{a n}是以1
2
为首项，以
1
2
为等比的等比数列，
∴a n＝f（n）＝（1
2
）n，
∴S n
11
1
22
1
1
2
n
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
==
-
1﹣（
1
2
）n∈[
1
2
，1）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）＝f（x+y）得到数列{a n}是等比数列，属中档题．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
16.已知实数,x y满足约束条件
40
1
x y
x y
y
-≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
，则z x y
=-的最大值为_____________.
【答案】2
【解析】
【分析】
作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝x﹣y对应的直线进行平移并观察z的变化，即可得到z＝x﹣y的最大值．
【详解】作出实数x，y满足约束条件
40
1
x y
x y
y
-≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（3，1），C（2，2）将直线l：z＝x﹣y进行平移，
当l经过点B时，目标函数z达到最大值；
∴z最大值＝2；
故答案为：2．
【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z ＝x ﹣y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．
17.已知抛物线2
4y x =，过焦点F 作直线与抛物线交于点A ，B 两点，若||4AF =，则点B
的坐标为 _________． 【答案】123(3或 123
(,3
【解析】 【分析】
如图所示，求得(1,0)F ，由||4AF =，可得14A x +=，解得A x ，可得直线AB 的方程，与抛物线方程联立，即可求解. 【详解】如图所示，可得(1,0)F ，
由||4AF =，由抛物线的定义，可得14A x +=，解得3A x =， 代入抛物线的方程可得23A y =或23A y =- 当(3,23)A 时，230
331
AB k ==-，
则直线的方程为03(1)y x -=
-，即33y x =-
代入2
4y x =，解得123
(,
33
B ；
同理当(3,23)A -时，解得123
(,)3B -
， 故答案为：123(,
)33B 或123
(,)33
B -.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，标准方程及其性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，着重考查了推理能力与计算能力，属于中档试题.
18.在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是_____． 【答案】甲 【解析】
试题分析：若负主要责任的是甲，则甲乙丙都在说假话，只有丁说真话，符合题意．若负主要责任的是乙，则甲丙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丙，则乙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丁，则甲乙丙丁都在说假话，不合题意． 考点：逻辑推理．
19.若函数1
()ln f x x a x
=++有且只有一个零点，则实数a 的值为__________. 【答案】-1 【解析】 【分析】 将()1f x lnx a x =+
+有且只有一个零点问题转化成a ＝﹣lnx 1x
-，两函数有一个交点，然后
令g （x ）＝﹣lnx 1
x
-，对g （x ）进行单调性分析，即可得到g （x ）的大致图象，即可得到a 的值．
【详解】由题意，可知：
令()1
f x lnx a x =+
+=0， 即：a ＝﹣lnx 1
x
-，x ＞0．
可设g （x ）＝﹣lnx 1
x
-，x ＞0．
则g ′（x ）22111x
x x x
-=-+=，x ＞0．
①当0＜x ＜1时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增； ②当x ＞1时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减；
③当x ＝1时，g ′（x ）＝0，g （x ）取极大值g （1）＝﹣1． ∵函数()1
f x lnx a x
=+
+有且只有一个零点， ∴a 只能取g （x ）的最大值﹣1． 故答案为：﹣1．
【
点睛】本题主要考查函数零点问题，构造函数的应用，用导数方法研究函数的单调性．属中档题．
三、解答题：本题共6小题，20-24题每题12分，25-26题10分,选一题作答,解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
20.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且cos cos 2cos a B b A c C +=.
（1）求角C
大小；
（2）已知等差数列{}n a 的公差不为零，若1cos 1a C =，且1a ，3a ，7a 成等比数列，求数列
12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S . 【答案】（1）3π
；（2）2
n n +. 【解析】 【分析】
1）首先利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出C 的值．（2）利用（1）的结论，进
一步利用等差数列的性质求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出数列的和．
【
详解】（1）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a cos B +b cos A ＝2c cos C ． 利用正弦定理sin A cos B +sin B cos A ＝2sin C cos C ， 所以sin （A +B ）＝sin C ＝2sin C cos C ， 由于0＜C ＜π， 解得C 3
π
=
．
（2）设公差为d 的等差数列{a n }的公差不为零，若a 1cos C ＝1，则a 1＝2， 且a 1，a 3，a 7成等比数列，所以()2
111(2)6a d a a d +=⋅+，解得d ＝1．
故a n ＝2+n ﹣1＝n +1． 所以()()1221
121212n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭
，
所以1111
1122334
12n S n n ⎛⎫=-+-++-
⎪++⎝⎭L ，
1
1222n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
，
2
n
n =
+． 【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，等差数列的性质的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
21.为庆祝党的98岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛。

从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段[)70,75，[)75,80，[)80,85，
[)85,90，[)90,95，[]95,100，到如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中a 的值及样本的中位数与众数；
（2）若从竞赛成绩在[)70,75与[]
95,100两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M ,求事件M 发生的概率.
（3）为了激励同学们的学习热情,现评出一二三等奖,得分在[]
95,100内的为一等奖,得分在
[)90,95内的为二等奖, 得分在[)85,90内的为三等奖.若将频率视为概率,现从考生中随机
抽取三名,设ξ为获得三等奖的人数,求ξ的分布列与数学期望. 【答案】(1)0.06；87.5；87.5；(2)7
15
；(3)详见解析 【解析】 【分析】
（1）根据小矩形的面积之和等于1，列出方程，求得a 的值，根据中位数定义估计中位数的范围，在列出方程求解中位数，再根据众数的定义，即可求解. （2）计算两组的人数，再计算抽取的两人在同一组的概率，即可求解；
（3）根据题意，得到随机变量服从二项分布，再利用二项分布的期望公式，即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知(0.050.0420.020.01)51a +++⨯+⨯=，解得0.06a =， 可知样本的中位数在第4组中，不妨设为x ，
则(0.010.020.04)5(85)0.050.5x ++⨯+-⨯=，解得87.5x =， 即样本的中位数为87.5，
由频率分布直方图可知，样本的众数为
8590
87.52
+=. （2）由频率分布直方图可知，在[)70,75与[]
95,100两个分数段的学生人数分别为2和4，设中两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M ，
则事件M
发生的概率为22242
6715C C C +=，即事件M 发生的概率为7
15
. （3）从考生中随机抽取三名,则随机变量ξ为获得三等奖的人数,则0,1,2,3ξ=， 由频率分布直方图知，从考升中任抽取1人，此生获得三等奖的概率为0.0650.3⨯=， 所以随机变量服从二项分布(3,0.3)B ，
则312
3(0)(10.3)0.343,(1)0.3(10.3)0.441P P C ξξ==-===⨯⨯-=，
2233(2)0.3(10.3)0.189,(3)0.30.027P C P ξξ==⨯⨯-====，
所以随机变量的分布列为
ξ
0 1 2 3 P
0.343
0.441
0.189
0.027
所以()30.30.9E ξ=⨯=.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及随机变量的分布列及其数学期望的求解，其中解答中认真审题，熟练频率分布直方图的性质，正确确定随机变量的取值，求得相应的概率，得出随机变量的分布列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
22.如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是直角梯形, 222DC AD AB ===，
DAB ∠=90ADC ∠=o ,2PB =，PDC ∆为等边三角形.
（1）证明：PD BC ⊥；
（2）求二面角A PD C --的余弦值. 【答案】(1)略；(2)13
-
【解析】 【分析】
（1）推导出,BD BC PB BC ⊥⊥，从而得到BC ⊥平面PBD ，由此可证得PD BC ⊥； （2）推导出PB BD ⊥，以B 为原点BC 为x 轴，BD 为y 轴，BP 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，
222DC AD AB ===，DAB ∠=90ADC ∠=o
,PB =PDC ∆为等边三角形，
所以BC BD ===
222BD BC CD +=，222
PB BC PC +=,
所以,BD BC PB BC ⊥⊥，又由BD PB B =I ，所以BC ⊥平面PBD ， 又因为BD ⊂平面PBD ，所以PD BC ⊥； （2）因为222BD PB PD +=，所以PB BD ⊥，
以B 为原点BC 为x 轴，BD 为y 轴，BP 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则(A P D C ，
所以(,22
PA PD PC =-
==u u u r
u u u r u u u r ， 设平面PAD 的法向量为(,,)n x y z =r
，
则022
n PA x y n
PD ⎧⋅=-
+-=⎪⎨⎪⋅==⎩u u u v v u u u v v ，取1x =，得(1,1,1)n =-r ， 设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =u r
，
则0
m PC n PD ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1x =，得(1,1,1)n =r ， 由图形可知二面角A PD C --的平面角是钝角， 设二面角A PD C --的平面角为θ，
所以1
cos 3m n m n
θ⋅=-==-⋅u r r
u
r r ，
即二面角A PD C
--的余弦值为
1
3
-.
【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
23.已知椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>的离心率为
1
2
，点
3
3,
2
M为椭圆上一点. （1）求椭圆C的方程；
（2）已知两条互相垂直的直线1l，2l经过椭圆
22
22
:1
x y
C
a b
+=的右焦点F，与椭圆C交于,,
A B M N
与四点，求四边形AMBN面积的的取值范围.
【答案】（1）
22
1
43
x y
+=；（2）
288
[,6]
49
【解析】
【分析】
（1）由题意可得
22
222
1
2
33
1
4
c
a
a b
a b c
⎧
=
⎪
⎪
⎪
+=
⎨
⎪
=+
⎪
⎪
⎩
，解得进而得到椭圆的方程；（2）设出直线l1，l2的方程，直
线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，分别求得|AB|，|MN|，再由四边形的面积公式，化简整理计算即可得到取值范围．
【详解】（1）由题意可得22222123314c a a b a b c ⎧=⎪⎪
⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a 2＝4，b 2＝3，c 2
＝1
故椭圆C 的方程为22
143
x y +=；
（2）当直线l 1的方程为x ＝1时，此时直线l 2与x 轴重合， 此时|AB |＝3，|MN |＝4， ∴四边形AMBN 面积为S 1
2
=
|AB |•|MN |＝6． 设过点F （1，0）作两条互相垂直的直线l 1：x ＝ky +1，直线l 2：x 1
k
=-
y +1， 由x ＝ky +1和椭圆22
43
x y +=1，可得（3k 2+4）y 2+6ky ﹣9＝0，
判别式显然大于0，y 1+y 22634k k -=
+，y 1y 229
34
k =-
+， 则|AB
|=
=
•()
222
1213434
k k k +=++， 把上式中的k 换为1k -，可得|MN |()
2
212134k k
+=+
则有四边形AMBN 面积为
S 12=|AB |•|MN |12=•()
2212134k k ++•()
()()
2
2222212172(1)343443
k k k k k ++=+++， 令1+k 2＝t ，则3+4k 2＝4t ﹣1，3k 2
+4＝3t +1，
则S ()()2222272727272
1111493141121()12()24
t t t t t t t t t ====+-+--++--+，
∴t ＞1， ∴01
t
＜＜1， ∴y ＝﹣（112t -
）2494+，在（0，12）上单调递增，在（1
2
，1）上单调递减，
∴y ∈（12，49
4
]， ∴S ∈[
288
49
，6） 故四边形PMQN 面积的取值范围是288649⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
， 【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，同时考查直线椭圆截得弦长的问题，以及韦达定理是解题的关键，属于难题．
24.已知函数ln (),(,0)a x
f x a R a x
=
∈≠. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当0a >时,对于任意正实数x ，不等式()a
f x b x
≤-恒成立，试判断实数,a b 的大小关系.
【答案】(1)当0a >时(0,)e 增；(,)e +∞减；当0a <时(0,)e 减；(,)e +∞增；(2)b a ≥ 【解析】 【分析】
（1）求出函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调性； （2）设()()ln ,0a a x a g x f x b b x x x
+=-+
=->，求导数判断函数的单调性，求出函数的极值，转化为()max 0g x ≤，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数ln ()a x f x x =，则22
ln (1ln )
(),0a a x a x f x x x x
--'==>， 令()0f x '=，解得x e =，
当0a >时，在(0,)e 上，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 在(,)e +∞上，()0f x '<，函数()f x 单调递减.
当0a <时，在(0,)e 上，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 在(,)e +∞上，()0f x '>，函数()f x 单调递增.
综上可得：当0a >时，函数()f x 在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减；当0a <时，函数
()f x 在(0,)e 单调递减，在(,)e +∞单调递增.
（2）当0a >时，设()()ln ,0a a x a g x f x b b x x x
+=-+
=-> 则()2ln a x g x x -'=，令()0g x '=，即2ln 0a x x -=，解得1x =， 当01x <<时，()0g x '>，即()g x 单调递增，
当1x >时，()0g x '<，即()g x 单调递减，
所以()()max 1g x g a b ==-， 要使得不等式()a f x b x
≤-恒成立，只需()max 0g x ≤，即0a b -≤， 所以a b ≤，故实数,a b 的大小关系为a b ≤.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
请考生注意:25-26两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
25.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
sin()13
πρθ-=，若直线l 与曲线C 相切； （1）求曲线C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；
（2）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=
，求MON ∆面积的最大值.
【答案】（1）4sin()3πρθ=+20y -+=；（2）2
【解析】
【分析】
（1）求出直线l 的直角坐标方程为y =+2，曲线C 1），半径为r 的圆，
直线l 与曲线C 相切，求出r ＝2，曲线C 的普通方程为（x 2+（y ﹣1）2＝4，由此能求
出曲线C 的极坐标方程．（2）设M （ρ1，θ），N （ρ2，6π
θ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），由
126
MON S OM ON sin π==V u u u u r u u u r 2sin （23πθ+
）MON 面积的最大值． 【详解】（1）∵直线l 的极坐标方程为sin 13πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
， ∴由题意可知直线l 的直角坐标方程为
y =+2，
曲线C
1），半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，
可得
r ==2，
∵曲线C
的参数方程为1x rcos y rsin ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩
（r ＞0，φ为参数）， ∴曲线C 的普通方程为（
x ）2+（y ﹣1）2＝4，
所以曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣
ρcos θ﹣2ρsin θ＝0， 即43sin πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
． （2）由（Ⅰ）不妨设M （ρ1，θ），N （ρ2，6π
θ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），
126MON
S OM ON sin π=V u u u u r u u u r 1214ρρ==4sin （3πθ+）sin （2
πθ+）＝2sin θcos θ
2θ ＝sin2
θ2θ=2sin （23π
θ+
） 当12π
θ=
时，2MON S =V
2MON S ≤V 所以△MON 面积的最大值为
2
【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
26.
已知函数()f x =R ；
（1）求实数m 的取值范围；
（2）设实数t 为m 的最大值，若实数a ，b ，
c 满足2222a b c t ++=，求222111111a b c +++++的最小值.
【答案】（1）3m ≤；（2）
34
【解析】
【分析】 （1）由定义域为R ，只需求解|x ﹣3|+|x |的最小值，即可得实数m 的取值范围（2）根据（1）实数t 的值，利用柯西不等式即可求解最小值．
【详解】(1)函数()f x =R ，
那么|x ﹣3|+|x |﹣m ≥0对任意x 恒成立，∴只需m ≤（|x ﹣3|+|x |）min ，
根据绝对值不等式|x ﹣3|+|﹣x |≥|x ﹣3﹣x |＝3
∴3﹣m ≥0，所以m ≤3，
故实数m 的取值范围（﹣∞，3]；
（2）由（1）可知m 的最大值为3，即t ＝3，
那么a 2+b 2+c 2＝t 2＝9，
则a 2+1+b 2+1+c 2+1＝12， 由柯西不等式可得（
222111111
a b c +++++）（a 2+1+b 2+1+c 2+1）≥（1+1+1）2＝9，
∴（222111111a b c +++++）912
≥，当a ＝b ＝c = 故得222111111a b c +++++的最小值为34． 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，转化思想和柯西不等式的应用．属于中档题。